Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математическая грамотность

Вероятность и комбинаторика: классическая вероятность, перестановки, сочетания и круги Эйлера

Сколько способов выбрать дежурных, сколько комплексных обедов можно составить, какова вероятность вытянуть выученный билет — всё это решается подсчётом. Страница готовит к ЕНТ по математической грамотности: здесь собраны правила подсчёта, порядок решения, примеры с разбором и задания в формате ЕНТ с проверкой. Главное — понять, важен ли порядок и все ли исходы равновозможны.

Спецификация ЕНТ, математическая грамотность: раздел 02 «Неопределенность», тема 05. В наших пробных вариантах по математической грамотности — задание 5.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математическая грамотность

    Раздел 02. Неопределенность

    • Тема 05. Статистические таблицы, полигоны частот, гистограммы. Теория множеств и элементы логики. Основы комбинаторики. Основы теории вероятностей

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из пяти

    В наших пробных вариантах — задание 5.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Правило произведения: если выбор состоит из шагов и первый шаг можно сделать mm способами, а второй — nn способами, то весь выбор можно сделать m⋅nm \cdot n способами. Если нужно выбрать что-то одно из двух непересекающихся наборов, способы складывают.
  • Перестановки: nn разных предметов можно расставить в ряд n!=n! ={}1⋅2⋅…⋅n 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n способами. По определению 0!=10! = 1.
  • Размещения: выбираем kk предметов из nn и порядок важен (первое место, второе место). Способов Ank=A_n^k ={}n(n−1)⋅…⋅(n−k+1) n(n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1), то есть Ank=A_n^k ={}n!(n−k)! \frac{n!}{(n - k)!}.
  • Сочетания: выбираем kk предметов из nn и порядок не важен (группа, команда). Способов Cnk=C_n^k ={}n!k! (n−k)! \frac{n!}{k!\,(n - k)!}, то есть в k!k! раз меньше, чем размещений.
  • Классическая вероятность: если все nn исходов равновозможны и mm из них благоприятны, то P=mnP = \frac{m}{n}. Вероятность всегда от 00 до 11, а вероятность противоположного события равна 1−P1 - P.
  • Круги Эйлера для двух множеств: число элементов объединения n(A∪B)n(A \cup B) равно n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A) + n(B) - n(A \cap B). Общие элементы вошли в сумму дважды, поэтому одно их количество вычитают.
  • При двух бросках кубика исходов 6⋅6=366 \cdot 6 = 36, и пары (2;5)(2; 5) и (5;2)(5; 2) — разные исходы.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Определите, что нужно найти

    Число способов, число элементов множества или вероятность? От этого зависит формула, и это первое, что стоит выписать.

  2. 2.Выясните, важен ли порядок

    Староста и его заместитель — разные должности, порядок важен. Два дежурных с одинаковыми обязанностями — порядок не важен: пара «Алия и Ержан» та же, что «Ержан и Алия».

  3. 3.Разбейте выбор на шаги

    Если выбор состоит из независимых частей, число способов каждой части перемножьте. Если возможны «либо то, либо другое» без общих вариантов, способы сложите.

  4. 4.Для вероятности посчитайте исходы

    Найдите число всех равновозможных исходов и число благоприятных. Проверьте, что исходы действительно равновозможны: суммы очков двух кубиков равновозможными не являются, а пары очков — являются.

  5. 5.Проверьте ответ

    Вероятность лежит между 00 и 11. Число способов — целое. В кругах Эйлера сумма всех частей должна дать общее число элементов.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Круги Эйлера: два языка

    В группе 35 студентов. Немецкий изучают 21 человек, французский — 17, а 6 студентов не изучают ни одного из этих языков. Сколько студентов изучают оба языка? Сколько изучают только французский?

  2. 2.Перестановки и размещения

    а) Сколькими способами можно поставить на полке в ряд 5 разных книг? б) Код состоит из трёх разных цифр, взятых из цифр от 1 до 7. Сколько существует таких кодов? Сколько их было бы, если бы цифры могли повторяться?

  3. 3.Сочетания и правило произведения

    В классе 12 девочек и 10 мальчиков. Для конкурса нужно выбрать двух девочек и одного мальчика. Сколькими способами это можно сделать?

  4. 4.Вероятность при бросках монеты

    Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза? Какова вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз?

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематическая грамотность

Один ответ из пяти

Задание 1.

В классе 19 учеников. Нужно выбрать двух дежурных на день, обязанности у них одинаковые. Сколькими способами это можно сделать?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематическая грамотность

Один ответ из пяти

Задание 2.

Мадина бросает два игральных кубика, на гранях каждого — числа от 1 до 6. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет не меньше 9.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математическая грамотность

Задание 1.

В меню школьной столовой 4 салата, 3 первых блюда, 2 вторых блюда и 2 напитка. Комплексный обед состоит из одного первого блюда, одного второго блюда и одного напитка; к нему можно добавить один салат, а можно обойтись без салата. Сколько различных комплексных обедов можно составить?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 2.

В меню школьной столовой 4 салата, 4 первых блюда, 4 вторых блюда и 3 напитка. Комплексный обед состоит из одного первого блюда, одного второго блюда и одного напитка; к нему можно добавить один салат, а можно обойтись без салата. Сколько различных комплексных обедов можно составить?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 3.

К экзамену подготовлено 40 билетов. Ержан выучил 29 из них. Билет вытягивают наугад. Найдите вероятность того, что Ержану достанется билет, который он не выучил.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 4.

В классе 28 учеников. Из них 14 ходят в баскетбольную секцию, 6 — в английский клуб, причём 4 из них ходят и туда, и туда. Сколько учеников класса не посещают ни одного из этих двух занятий?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Считают порядок там, где он не важен. Два дежурных с одинаковыми обязанностями из 10 учеников: 10⋅9=9010 \cdot 9 = 90 даёт каждую пару дважды, верное число способов — 4545.
  • Не считают порядок там, где он важен. Староста и заместитель — разные должности, поэтому выбор «Алия — староста, Ержан — заместитель» отличается от выбора «Ержан — староста, Алия — заместитель».
  • Забывают вариант «без добавки». Если к чаю можно взять один из 3 видов печенья, а можно не брать ничего, у выбора 3+1=43 + 1 = 4 варианта, а не 3.
  • Считают пары (3;5)(3; 5) и (5;3)(5; 3) одним исходом. При двух бросках кубика исходов 3636, а не 2121.
  • Складывают, не вычитая общую часть: 21+17=3821 + 17 = 38 больше числа студентов группы, потому что те, кто изучает оба языка, вошли в сумму дважды.

Запомните

  • Правило произведения: независимые шаги — способы перемножают.
  • Порядок важен — размещения Ank=A_n^k ={}n!(n−k)! \frac{n!}{(n - k)!}; порядок не важен — сочетания Cnk=C_n^k ={}n!k! (n−k)! \frac{n!}{k!\,(n - k)!}.
  • Перестановки: n!=n! ={}1⋅2⋅…⋅n 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n, 0!=10! = 1.
  • Классическая вероятность: P=mnP = \frac{m}{n}, где исходы равновозможны.
  • Противоположное событие: 1−P1 - P.
  • Круги Эйлера: n(A∪B)n(A \cup B) равно n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A) + n(B) - n(A \cap B).

Вопросы и ответы

  1. 1.Чем сочетания отличаются от размещений?+
    Ответ:В размещениях важен порядок выбранных предметов, в сочетаниях — нет. Для одних и тех же nn и kk размещений в k!k! раз больше: Ank=A_n^k ={}Cnk⋅k! C_n^k \cdot k!. Спросите себя, изменится ли результат, если поменять выбранных местами. Если изменится — размещения, если нет — сочетания.
  2. 2.Что такое факториал и чему равен 0!0!?+
    Ответ:Факториал числа nn — произведение всех натуральных чисел от 1 до nn: 4!=4! ={}1⋅2⋅3⋅4= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 ={}24 24. Договорились считать 0!=10! = 1, это согласует формулы: например, Cnn=C_n^n ={}n!n! 0!= \frac{n!}{n!\,0!} ={}1 1 — ровно один способ выбрать всех.
  3. 3.Как найти вероятность противоположного события?+
    Ответ:Вычтите вероятность события из единицы. Если вероятность выиграть равна 0,20{,}2, вероятность не выиграть равна 1−0,2=0,81 - 0{,}2 = 0{,}8. Этим удобно пользоваться в задачах «хотя бы один»: проще найти вероятность того, что ни одного нет, и вычесть её из единицы.
  4. 4.Сколько исходов при двух бросках игрального кубика?+
    Ответ:Тридцать шесть: на каждый из 6 исходов первого броска приходится 6 исходов второго. Исходы — это упорядоченные пары, поэтому (2;5)(2; 5) и (5;2)(5; 2) считаются разными. Сумма очков принимает 11 значений от 2 до 12, но они не равновозможны: сумма 7 выпадает чаще суммы 2.
  5. 5.Как пользоваться кругами Эйлера?+
    Ответ:Нарисуйте два пересекающихся круга и впишите количество элементов в каждую часть, начиная с пересечения. Данные «всего», «только первое», «только второе» и «ни то ни другое» тогда складываются в общее число элементов. Число элементов объединения n(A∪B)n(A \cup B) равно n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A) + n(B) - n(A \cap B): это тот же рисунок, записанный формулой.
  6. 6.Нужны ли более сложные разделы теории вероятностей?+
    Ответ:В списке тем спецификации математической грамотности названы «Основы комбинаторики» и «Основы теории вероятностей». Условной вероятности, формулы Байеса и бинома Ньютона в списке тем спецификации нет. Опирайтесь на правило произведения, сочетания и классическое определение вероятности.

Смотрите также

Все темы математической грамотности

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 10 заданий в формате ЕНТ, 20 минут