Trigonométrie : le cercle trigonométrique, le radian, le cosinus et le sinus

• Épreuve anticipée, spécialité

  dans 2 des 7 sujets de juin 2026

  • Trigonométrie

  Questions : Centres étrangers : 2.2.c · Métropole, sujet 1 : 3.4

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• Bac, spécialité mathématiques

  dans 10 des 36 sujets de 2024 à 2026

  • Fonctions sinus et cosinus

  dont 0 des 6 sujets de métropole

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En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

1. 1.Mets l’angle en radians

   Si l’angle est en degrés, multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$. Garde le résultat sous forme de fraction de $\pi$ : $\dfrac{5\pi}{6}$ vaut mieux qu’une valeur décimale, car les valeurs remarquables se lisent sur des fractions de $\pi$.

2. 2.Ramène-toi à la mesure principale

   Si l’angle est grand ou négatif, ajoute ou retranche des multiples de $2\pi$ jusqu’à tomber dans $\mathopen{]}-\pi \mathrel{;} \pi]$. Écris l’égalité, par exemple $x = \alpha + 2k\pi$ avec $k$ entier, pour garder la trace du calcul.

3. 3.Repère l’angle de référence

   Cherche l’angle remarquable le plus proche sur le cercle : $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{\pi}{3}$. Utilise ensuite une symétrie : $\pi - \alpha$, $\pi + \alpha$ ou $-\alpha$.

4. 4.Lis l’abscisse et l’ordonnée

   Le cosinus est l’abscisse du point, le sinus est son ordonnée. Détermine d’abord les signes avec le quart du cercle où se trouve le point, puis reprends les valeurs de l’angle de référence.

5. 5.Vérifie avec $\cos^2 x + \sin^2 x ={}$$1$

   Si tu as trouvé le cosinus et le sinus d’un même angle, la somme de leurs carrés doit valoir $1$. C’est un contrôle rapide d’une erreur de valeur ou de signe.

• Trigonométrie — Revois les rapports cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle : le cercle trigonométrique les prolonge à tous les angles.

• Tu inverses le cosinus et le sinus. Le cosinus est l’abscisse et le sinus l’ordonnée : $\cos\dfrac{\pi}{3} ={}$$\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} ={}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, pas l’inverse.
• Tu oublies le signe. Pour $\sin\dfrac{7\pi}{6}$, le point est sous l’axe des abscisses, donc le sinus est négatif : $\sin\dfrac{7\pi}{6} ={}$$-\dfrac{1}{2}$.
• Tu retranches $\pi$ au lieu de $2\pi$. Pour $\dfrac{7\pi}{3}$, le réel $\dfrac{7\pi}{3} -{}$$\pi = \dfrac{4\pi}{3}$ ne donne pas le même point du cercle : il faut retrancher un tour complet, $\dfrac{7\pi}{3} -{}$$2\pi = \dfrac{\pi}{3}$, qui est bien dans $\mathopen{]}-\pi \mathrel{;} \pi]$.
• Tu utilises $L = R\theta$ avec un angle en degrés. Pour un rayon de $4$ cm et un angle de $90^\circ$, il faut d’abord écrire $\dfrac{\pi}{2}$ radians : $L ={}$$4 \times \dfrac{\pi}{2} ={}$$2\pi$ cm, et non $4 \times 90$.
• Tu acceptes un couple impossible. Un cosinus de $0{,}8$ et un sinus de $0{,}7$ ne vont pas ensemble, car $0{,}8^2 + 0{,}7^2 ={}$$1{,}13$ et non $1$.

1. 1.Comment passer des degrés aux radians ?+

   Réponse :Un angle plat mesure $180^\circ$, soit $\pi$ radians. Pour convertir des degrés en radians, multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ ; pour convertir des radians en degrés, multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$. Retiens que $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ et $90^\circ$ valent $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$.
2. 2.Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?+

   Réponse :C’est le cercle de centre l’origine et de rayon $1$ dans un repère orthonormé, orienté dans le sens direct. À chaque réel $x$ correspond un point $M$ de ce cercle, et ses coordonnées sont $(\cos x \mathrel{;} \sin x)$. Il sert à lire cosinus et sinus sans calculatrice.
3. 3.Comment trouver la mesure principale d’un angle ?+

   Réponse :Ajoute ou retranche des multiples de $2\pi$ pour arriver dans l’intervalle $\mathopen{]}-\pi \mathrel{;} \pi]$. Par exemple, $\dfrac{11\pi}{3} ={}$$-\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, donc sa mesure principale est $-\dfrac{\pi}{3}$. Écris l’égalité : elle prouve que le point est le même.
4. 4.Comment retenir les valeurs remarquables ?+

   Réponse :Pour $\dfrac{\pi}{4}$, la diagonale d’un carré de côté $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ vaut $1$, d’où $\cos\dfrac{\pi}{4} ={}$$\sin\dfrac{\pi}{4} ={}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Pour $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$, souviens-toi que les valeurs sont $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et vérifie avec $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$.
5. 5.Comment calculer la longueur d’un arc de cercle ?+

   Réponse :Avec $L = R\theta$, où $R$ est le rayon et $\theta$ l’angle au centre en radians. Si l’angle est en degrés, convertis-le d’abord. Par exemple, pour un rayon de $2$ cm et un angle de $\dfrac{3\pi}{4}$, la longueur est $2 \times \dfrac{3\pi}{4} ={}$$\dfrac{3\pi}{2}$ cm.
6. 6.Peut-on trouver un angle si on connaît son cosinus ?+

   Réponse :Oui, avec une valeur remarquable : si le cosinus vaut $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et que l’angle est dans $[0 \mathrel{;} \pi]$, il vaut $\dfrac{\pi}{4}$. Dans $[0 \mathrel{;} \pi]$, un cosinus donné correspond à un seul angle, ce qui permet de conclure sans ambiguïté.
7. 7.La trigonométrie est-elle au programme de toutes les voies de l’épreuve anticipée ?+

   Réponse :Non : elle n’est au programme que de la spécialité. Le programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (sans spécialité) et celui de la voie technologique ne la contiennent pas. Si tu es dans l’une de ces voies, regarde plutôt les notions de ta voie.