Comment montrer que deux vecteurs ou deux droites sont orthogonaux ?

Calcule le produit scalaire des deux vecteurs (ou des vecteurs directeurs des droites) : s’il est nul, ils sont orthogonaux. Par exemple, $(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -3)$ et $(4 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 2)$ sont orthogonaux, car $4 + 2 - 6 = 0$. Pour des droites, ajoute qu’elles sont sécantes si tu veux conclure qu’elles sont perpendiculaires.

Comment lire un vecteur normal dans l’équation d’un plan ?

Dans l’équation $ax + by + cz + d = 0$, les coefficients de $x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan : $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$. Pour $3x + y - z - 3 = 0$, un vecteur normal est $(3 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -1)$, et tout vecteur colinéaire convient aussi.

Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan ?

Il faut un vecteur normal $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ et un point $A$ du plan. Écris $ax + by + cz + d = 0$ et remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $d$. Avec trois points, cherche d’abord un vecteur normal en le prenant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires.

Comment calculer le projeté orthogonal d’un point sur un plan ?

Prends la droite qui passe par le point et dont le vecteur directeur est un vecteur normal au plan. Écris sa représentation paramétrique, remplace dans l’équation du plan, résous l’équation d’inconnue $t$ et calcule les coordonnées avec cette valeur de $t$.

Comment calculer la distance d’un point à un plan ?

Calcule le projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan, puis la longueur $AH$. C’est la plus courte distance entre $A$ et un point du plan. Si le vecteur directeur utilisé est le vecteur normal $\vec{n}$, tu as aussi $AH = |t| \times \|\vec{n}\|$, ce qui contrôle le calcul.

Comment calculer un angle dans l’espace ?

Calcule le produit scalaire de deux vecteurs et leurs normes, puis utilise $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$. Pour obtenir l’angle, utilise la calculatrice en mode degrés : par exemple, $\cos \theta = \dfrac{2}{3}$ donne $\theta \approx 48{,}2^\circ$.

Quelle est la différence entre orthogonales et perpendiculaires ?

Dans l’espace, deux droites orthogonales ont des vecteurs directeurs orthogonaux, mais elles peuvent ne pas se couper. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Dans le plan, les deux mots désignent la même chose, car deux droites orthogonales se coupent toujours.

Le produit scalaire de la première sert-il en terminale ?

Oui : en terminale, les formules sont les mêmes qu’en première, avec une coordonnée de plus. Si tu maîtrises $xx' + yy'$ dans le plan, tu sais déjà calculer $xx' + yy' + zz'$ dans l’espace, et la caractérisation de l’orthogonalité par un produit scalaire nul ne change pas.

Orthogonalité dans l’espace : vecteur normal, projeté orthogonal

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Dans un repère orthonormé de l’espace, avec $\vec{u}(x \mathrel{;} y \mathrel{;} z)$ et $\vec{v}(x' \mathrel{;} y' \mathrel{;} z')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $xx' + yy' + zz'$ , $\|\vec{u}\| ={}$ $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ et $AB ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ . On a aussi $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$ , ce qui donne un angle.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $0$ . Deux droites sont orthogonales quand leurs vecteurs directeurs le sont ; elles sont perpendiculaires si, en plus, elles sont sécantes.
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à un plan s’il est orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il suffit qu’il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Le plan qui passe par $A$ et admet $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ pour vecteur normal a pour équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ , où l’on trouve $d$ en remplaçant $x$ , $y$ , $z$ par les coordonnées de $A$ . Réciproquement, $(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ est normal au plan d’équation $ax + by + cz + d = 0$ .
Une droite est orthogonale à un plan quand son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan. Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires s’ils sont orthogonaux.
Le projeté orthogonal $H$ d’un point $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point d’intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur normal de $\mathcal{P}$ . C’est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $A$ : la distance de $A$ au plan est $AH$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Vérifie que le repère est orthonormé
Les formules avec les coordonnées ne sont valables que dans un repère orthonormé. Écris-le dans ta copie, puis calcule les coordonnées des vecteurs utiles : extrémité moins origine.
2.Prouve une orthogonalité avec un produit scalaire nul
Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en trois produits. Pour montrer qu’un vecteur est normal à un plan, montre qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, et dis pourquoi ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
3.Écris l’équation d’un plan
Avec $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ comme vecteur normal, écris $ax + by + cz + d = 0$ , puis remplace $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées d’un point du plan pour obtenir $d$ . Vérifie avec un deuxième point du plan.
4.Cherche le projeté orthogonal
Écris la représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$ . Remplace $x$ , $y$ , $z$ dans l’équation du plan : tu obtiens une équation d’inconnue $t$ . Résous-la, puis calcule les coordonnées de $H$ avec cette valeur de $t$ .
5.Calcule la distance et contrôle
La distance de $A$ au plan est $AH ={}$ $\|\overrightarrow{AH}\|$ . Contrôle que $H$ vérifie l’équation du plan et que $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire à $\vec{n}$ .

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Un angle avec le produit scalaire
L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère les points $A(1 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)$ , $B(3 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 3)$ et $C(3 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 4)$ . Calcule une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au dixième de degré.
2.Équation cartésienne d’un plan
Avec les points de l’exemple précédent, détermine un vecteur normal au plan $(ABC)$ , puis une équation cartésienne de ce plan.
3.Projeté orthogonal et distance
L’espace est muni d’un repère orthonormé. Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ et le point $A$ a pour coordonnées $(-1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -1)$ . Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $\mathcal{P}$ , puis la distance de $A$ au plan $\mathcal{P}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 1.a

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Question 1.a

1. L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère : • la droite

(d)

dont une représentation paramétrique est :

\begin{cases} x = t \\ y = -1{,}5 - t \\ z = 2 - 2t \end{cases}

où

t \in \mathbb{R}

; • les points

A(3 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)

et

B(2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -3)

; • le plan

(P)

d’équation :

-x + y - 5z - 0{,}5 = 0

. a. Affirmation 1 : Le plan

(P)

est orthogonal à la droite

(AB)

, et passe par le milieu du segment

[AB]

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 2, question 1.a (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 2 — exercice 1, question 4

Exercice 1

Dans le repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

, on considère les points :

A(2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 1)

,

B(3 \mathrel{;} -2 \mathrel{;} 0)

,

C(0 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 1)

et

D(0 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)

.

Dessin en perspective du repère d’origine O, avec les vecteurs i, j et k, et du tétraèdre ABCD, aux faces grisées ; l’arête [AC] et la partie de l’axe cachée par le solide sont en pointillés. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

Question 4

4. Montrer que le projeté orthogonal de

D

sur le plan

(ABC)

est le point

H\left(-\dfrac{1}{6} \mathrel{;} \dfrac{1}{6} \mathrel{;} \dfrac{4}{3}\right)

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 2, exercice 1, question 4 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Vu en première

les bases de première

Vu en première : le produit scalaire de deux vecteurs du plan. Dans un repère orthonormé, avec

\vec{u}(x \mathrel{;} y)

et

\vec{v}(x' \mathrel{;} y')

, il vaut

xx' + yy'

, et la norme est

\|\vec{u}\| ={}

\sqrt{x^2 + y^2}

. On l’écrit aussi

\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta

, avec

\theta

l’angle entre les deux vecteurs.

La caractérisation de l’orthogonalité est la même : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Par exemple,

\vec{u}(2 \mathrel{;} -1)

et

\vec{v}(3 \mathrel{;} 6)

sont orthogonaux, car

2 \times 3 +{}

(-1) \times 6 ={}

0

. En terminale, rien ne change dans les formules, sauf la troisième coordonnée.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 2 — exercice 3, question 3

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé

(\mathrm{O} \mathrel{;} \vec{\imath} \mathrel{;} \vec{\jmath})

. Le rectangle

\mathrm{OABC}

représenté ci-contre modélise une scène de spectacle vue de dessus. On place un projecteur au point

\mathrm{F}

qui permet d’éclairer la partie du plan délimitée par le polygone

\mathrm{ABEFD}

.

Repère orthonormé (O ; i ; j) quadrillé d’une unité, l’axe des abscisses gradué de −1 à 6 et l’axe des ordonnées de −1 à 10. Le rectangle OABC, de sommet O à l’origine du repère, est tracé. Les points D, E et F sont sur trois de ses côtés ; les segments [DF] et [FE] sont tracés ; le polygone ABEFD est grisé. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

Question 3

3. Déterminer les coordonnées des vecteurs

\overrightarrow{\mathrm{FD}}

et

\overrightarrow{\mathrm{FE}}

et calculer le produit scalaire

\overrightarrow{\mathrm{FD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FE}}

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 2, exercice 3, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

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si une étape bloque

Théorème de Pythagore — La distance entre deux points est une racine de somme de carrés : c’est le théorème de Pythagore, étendu à trois coordonnées. Revois cette page du brevet.

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vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les vecteurs

\vec{u}\,(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -1)

et

\vec{v}\,(-5 \mathrel{;} 5 \mathrel{;} -1)

. Calculer

\vec{u} \cdot \vec{v}

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les points

A(2 \mathrel{;} -4 \mathrel{;} 4)

,

B(0 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} -3)

et

C(-2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -1)

. Déterminer une mesure de l’angle

\widehat{ABC}

, en degrés. Donner une valeur arrondie au dixième de degré.

°

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. Le plan

\mathcal{P}

passe par le point

A(4 \mathrel{;} -2 \mathrel{;} 0)

et admet le vecteur

\vec{n}\,(3 \mathrel{;} 4 \mathrel{;} -1)

pour vecteur normal. Une équation cartésienne du plan

\mathcal{P}

est de la forme

3x + 4y - z + d = 0

. Déterminer

d

.

d =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère le plan

\mathcal{P}

d’équation

2x - y - z - 13 = 0

et le point

M(6 \mathrel{;} -4 \mathrel{;} -3)

. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal

H

du point

M

sur le plan

\mathcal{P}

.

x_H =

y_H =

z_H =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 5.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère le plan

\mathcal{P}

d’équation

y + 3z + 3 = 0

et le point

M(-2 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 2)

. On note

H

le projeté orthogonal du point

M

sur le plan

\mathcal{P}

. Déterminer la valeur exacte de la distance

MH

du point

M

au plan

\mathcal{P}

.

MH =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu prends le vecteur normal pour un vecteur du plan. Dans l’équation $2x - y + 2z - 3 = 0$ , le vecteur $(2 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 2)$ est orthogonal au plan, il n’est pas dedans.
Tu te trompes de signe pour $d$ . Le plan de vecteur normal $(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 3)$ qui passe par $A(1 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 1)$ a pour équation $x + 2y + 3z + d = 0$ avec $1 + 2 + 3 + d = 0$ , donc $d = -6$ , et non $6$ .
Tu confonds orthogonales et perpendiculaires. Les droites d’équations $y = 0,\ z = 0$ et $x = 0,\ z = 1$ ont des vecteurs directeurs orthogonaux, mais elles ne se coupent pas : elles sont orthogonales sans être perpendiculaires.
Tu mesures la distance à un point du plan quelconque. Pour le plan $z = 0$ et $A(0 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 3)$ , le point $M(4 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 0)$ est à $AM = 5$ , mais la distance de $A$ au plan est $AH = 3$ , avec $H(0 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 0)$ .
Tu oublies la racine dans une norme. Pour $\vec{n}(2 \mathrel{;} 3 \mathrel{;} 6)$ , on a $\|\vec{n}\| ={}$ $\sqrt{4 + 9 + 36} ={}$ $\sqrt{49} ={}$ $7$ , et non $49$ .

À retenir

Repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $xx' + yy' + zz'$ .
Orthogonaux $\iff$ produit scalaire nul.
Plan de vecteur normal $(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ : $ax + by + cz + d = 0$ .
Projeté de $A$ : droite par $A$ dirigée par $\vec{n}$ , coupée avec le plan.
Distance de $A$ au plan : $AH$ .

Questions fréquentes

1.Comment montrer que deux vecteurs ou deux droites sont orthogonaux ?+
Réponse :Calcule le produit scalaire des deux vecteurs (ou des vecteurs directeurs des droites) : s’il est nul, ils sont orthogonaux. Par exemple, $(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -3)$ et $(4 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 2)$ sont orthogonaux, car $4 + 2 - 6 = 0$ . Pour des droites, ajoute qu’elles sont sécantes si tu veux conclure qu’elles sont perpendiculaires.
2.Comment lire un vecteur normal dans l’équation d’un plan ?+
Réponse :Dans l’équation $ax + by + cz + d = 0$ , les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan : $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ . Pour $3x + y - z - 3 = 0$ , un vecteur normal est $(3 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -1)$ , et tout vecteur colinéaire convient aussi.
3.Comment trouver l’équation cartésienne d’un plan ?+
Réponse :Il faut un vecteur normal $\vec{n}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ et un point $A$ du plan. Écris $ax + by + cz + d = 0$ et remplace $x$ , $y$ , $z$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $d$ . Avec trois points, cherche d’abord un vecteur normal en le prenant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires.
4.Comment calculer le projeté orthogonal d’un point sur un plan ?+
Réponse :Prends la droite qui passe par le point et dont le vecteur directeur est un vecteur normal au plan. Écris sa représentation paramétrique, remplace dans l’équation du plan, résous l’équation d’inconnue $t$ et calcule les coordonnées avec cette valeur de $t$ .
5.Comment calculer la distance d’un point à un plan ?+
Réponse :Calcule le projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan, puis la longueur $AH$ . C’est la plus courte distance entre $A$ et un point du plan. Si le vecteur directeur utilisé est le vecteur normal $\vec{n}$ , tu as aussi $AH ={}$ $|t| \times \|\vec{n}\|$ , ce qui contrôle le calcul.
6.Comment calculer un angle dans l’espace ?+
Réponse :Calcule le produit scalaire de deux vecteurs et leurs normes, puis utilise $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ . Pour obtenir l’angle, utilise la calculatrice en mode degrés : par exemple, $\cos \theta = \dfrac{2}{3}$ donne $\theta \approx 48{,}2^\circ$ .
7.Quelle est la différence entre orthogonales et perpendiculaires ?+
Réponse :Dans l’espace, deux droites orthogonales ont des vecteurs directeurs orthogonaux, mais elles peuvent ne pas se couper. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Dans le plan, les deux mots désignent la même chose, car deux droites orthogonales se coupent toujours.
8.Le produit scalaire de la première sert-il en terminale ?+
Réponse :Oui : en terminale, les formules sont les mêmes qu’en première, avec une coordonnée de plus. Si tu maîtrises $xx' + yy'$ dans le plan, tu sais déjà calculer $xx' + yy' + zz'$ dans l’espace, et la caractérisation de l’orthogonalité par un produit scalaire nul ne change pas.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Orthogonalité dans l’espace : vecteur normal, plan et projeté orthogonal

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Vérifie que le repère est orthonormé

2.Prouve une orthogonalité avec un produit scalaire nul

3.Écris l’équation d’un plan

4.Cherche le projeté orthogonal

5.Calcule la distance et contrôle

Exemples

1.Un angle avec le produit scalaire

2.Équation cartésienne d’un plan

3.Projeté orthogonal et distance

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 1.a

Bac 2026, Métropole, jour 2 — exercice 1, question 4

Vu en première

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 2 — exercice 3, question 3

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

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