Qu’est-ce que le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$. Il mesure la rapidité avec laquelle $f$ varie autour de $a$. Si $f'(a) > 0$, la tangente monte ; si $f'(a) < 0$, elle descend ; si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale.

Comment trouver l’équation de la tangente à une courbe ?

Calcule $f(a)$, puis $f'(a)$, et utilise $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Développe ensuite pour obtenir l’équation réduite $y = mx + p$. Pour contrôler, vérifie que le point $(a \mathrel{;} f(a))$ vérifie bien ton équation.

Comment étudier les variations d’une fonction avec la dérivée ?

Calcule $f'(x)$ et factorise-la si possible. Étudie son signe avec un tableau de signes : là où elle est positive, $f$ est croissante ; là où elle est négative, $f$ est décroissante. Les valeurs où la dérivée s’annule en changeant de signe donnent les extremums.

Quelles sont les dérivées à connaître en première ?

La dérivée d’une constante est $0$, celle de $x^n$ est $nx^{n-1}$, et celle d’une somme est la somme des dérivées. En spécialité, il faut y ajouter $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $\mathrm{e}^x$, le produit et le quotient. En voie technologique, le programme s’en tient aux fonctions polynômes de degré au plus $3$.

Comment dériver un produit ?

En spécialité, applique $(uv)' = u'v + uv'$ : dérive le premier facteur et garde le second, puis garde le premier et dérive le second, et additionne. Factorise ensuite le résultat, surtout quand il contient une exponentielle, car cela facilite l’étude du signe.

Que faut-il savoir de la dérivation pour le bac de terminale ?

En terminale, on ajoute la dérivée des fonctions composées et la dérivée seconde, qui donne la convexité. Les bases de première restent indispensables : le bac demande de calculer une dérivée, d’étudier son signe et de dresser un tableau de variations.

Épreuve anticipée 2027 · mathématiques

La dérivation : nombre dérivé, dérivées usuelles, tangente et variations

Q: Comment trouver l’équation de la tangente à une courbe ?

Calcule $f(a)$, puis $f'(a)$, et utilise $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Développe ensuite pour obtenir l’équation réduite $y = mx + p$. Pour contrôler, vérifie que le point $(a \mathrel{;} f(a))$ vérifie bien ton équation.

Q: Comment étudier les variations d’une fonction avec la dérivée ?

Calcule $f'(x)$ et factorise-la si possible. Étudie son signe avec un tableau de signes : là où elle est positive, $f$ est croissante ; là où elle est négative, $f$ est décroissante. Les valeurs où la dérivée s’annule en changeant de signe donnent les extremums.

Q: Quelles sont les dérivées à connaître en première ?

La dérivée d’une constante est $0$, celle de $x^n$ est $nx^{n-1}$, et celle d’une somme est la somme des dérivées. En spécialité, il faut y ajouter $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $\mathrm{e}^x$, le produit et le quotient. En voie technologique, le programme s’en tient aux fonctions polynômes de degré au plus $3$.

Q: Comment dériver un produit ?

En spécialité, applique $(uv)' = u'v + uv'$ : dérive le premier facteur et garde le second, puis garde le premier et dérive le second, et additionne. Factorise ensuite le résultat, surtout quand il contient une exponentielle, car cela facilite l’étude du signe.

Q: Que faut-il savoir de la dérivation pour le bac de terminale ?

En terminale, on ajoute la dérivée des fonctions composées et la dérivée seconde, qui donne la convexité. Les bases de première restent indispensables : le bac demande de calculer une dérivée, d’étudier son signe et de dresser un tableau de variations.

La dérivation relie une fonction à sa pente : le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ , et le signe de la fonction dérivée donne les variations de la fonction. Elle tombe dans la seconde partie de l’épreuve anticipée, en spécialité comme en voie technologique, et au bac de terminale. Ici, tu trouves l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions des sujets de juin 2026.

Épreuve anticipée, spécialité : dans chacun des 7 sujets de juin 2026 ; voie technologique : dans chacun des 6 sujets ; au bac : dans 34 des 36 sujets

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans chacun des 7 sujets de juin 2026
- Dérivation
- Variations et courbes représentatives des fonctions
Questions : Amérique du Nord : 3.1, 3.2, 3.3 · Antilles-Guyane : 3.2.a, 3.2.b · Asie : 1.B.2 · Centres étrangers : 3.1.a, 3.1.b, 3.1.c, 3.2.a, 3.2.b, 3.3 · Métropole, sujet 1 : 2.3 · Métropole, sujet 2 : 1.A.1, 1.A.2, 1.B.3, 1.B.4.a · Polynésie : 2.A.1, 2.A.4, 2.B.2
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, voie technologique
dans chacun des 6 sujets de juin 2026
- Dérivation
Questions : Antilles-Guyane : 3.2.a, 3.2.b · Asie : 1.A.2, 1.A.3, 1.B.1.a, 1.B.1.b, 1.B.2, 1.B.3 · Centres étrangers : 2.1.b, 2.2.b, 2.2.c, 2.2.d, 2.2.e · Métropole, sujet 1 : 1.2, 1.6.a, 1.6.c · Métropole, sujet 2 : 3.3, 3.4, 3.5.a, 3.5.b, 3.6 · Polynésie : 3.2, 3.3.b
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Bac, spécialité mathématiques
dans 34 des 36 sujets de 2024 à 2026
- Compléments sur la dérivation
dont 6 des 6 sujets de métropole
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ . C’est la valeur dont se rapproche le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ quand $h$ se rapproche de $0$ .
La tangente en $A(a \mathrel{;} f(a))$ a pour équation $y ={}$ $f'(a)(x - a) + f(a)$ . Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$ .
Dérivées usuelles : $(k)' = 0$ , $(x)' = 1$ , $(x^n)' = nx^{n-1}$ pour $n$ entier. On dérive une somme terme à terme et $(ku)' = ku'$ : la dérivée de $ax^2 + bx + c$ est $2ax + b$ .
En spécialité, on dérive aussi $\dfrac{1}{x}$ (dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$ ), $\sqrt{x}$ (dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ) et $\mathrm{e}^x$ (dérivée $\mathrm{e}^x$ ), ainsi qu’un produit, $(uv)' = u'v + uv'$ , et un quotient, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Signe de $f'$ et variations : si $f'(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante sur cet intervalle ; si $f'(x) \leqslant 0$ , $f$ est décroissante. Quand $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum en ce point.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Précise l’intervalle de définition
Avant de dériver, vérifie sur quel intervalle la fonction est définie et dérivable : $\mathbb{R}$ pour un polynôme. En spécialité, $\sqrt{x}$ ne se dérive que sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ , et $\dfrac{1}{x}$ sur $\mathopen{]}-\infty \mathrel{;} 0[$ ou sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ .
2.Dérive terme à terme
Reconnais la forme de chaque terme : puissance de $x$ , constante, produit par un réel. Dérive chaque terme avec sa formule usuelle. En spécialité, repère aussi un produit ou un quotient et applique la formule qui lui correspond, sans oublier le dénominateur $v^2$ .
3.Calcule le nombre dérivé et l’image
Pour une tangente en $a$ , il te faut deux nombres : $f(a)$ et $f'(a)$ . Calcule-les séparément, puis écris $y ={}$ $f'(a)(x - a) + f(a)$ et réduis.
4.Étudie le signe de la dérivée
Résous $f'(x) = 0$ , factorise $f'(x)$ si c’est possible, puis dresse un tableau de signes en plaçant les valeurs dans l’ordre croissant. Pour un polynôme du second degré, le signe est celui de $a$ à l’extérieur des racines.
5.Conclus sur les variations
Là où $f'$ est positive, $f$ croît ; là où $f'$ est négative, $f$ décroît. Calcule les images aux changements de sens : ce sont les extremums. Vérifie la cohérence avec une valeur numérique.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Dériver et trouver une tangente
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) ={}$ $2x^3 - 5x^2 + x - 4$ . Détermine $f'(x)$ , puis l’équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $2$ .
2.Variations d’une fonction polynôme
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) ={}$ $x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ . Étudie ses variations sur $\mathbb{R}$ et donne ses extremums.
3.En spécialité : un produit avec l’exponentielle
En spécialité, on considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) ={}$ $(2x + 1)\mathrm{e}^{x}$ . Montre que $h'(x) ={}$ $(2x + 3)\mathrm{e}^{x}$ , puis donne l’équation de la tangente au point d’abscisse $0$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 2, question 3

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.

Question 3

3. On considère la fonction

f

définie sur

\mathbf{R}

par

f(x) ={}

\mathrm{e}^x - 1

. On note

\mathcal{C}

la courbe représentative de la fonction

f

dans un repère. On note

T

la tangente à la courbe

\mathcal{C}

au point d’abscisse

0

. On note

A

le point de coordonnées

(3 \mathrel{;} 3)

. Affirmation : le point

A

appartient à la tangente

T

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 2, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetvoie technologique

Épreuve anticipée 2026, voie technologique, Métropole, sujet 1 — exercice 1, question 2

Exercice 1

Repère quadrillé : l’axe des abscisses est gradué de −3 à 4, l’axe des ordonnées de −12 à 5 ; chaque unité est partagée en quatre petits carreaux. La courbe Cf est tracée de l’abscisse −3 à l’abscisse 4. Les points A et B sont marqués d’une croix sur la courbe, le point C d’une croix hors de la courbe. La droite (d) passe par A et par C et touche la courbe en A ; la droite T touche la courbe en B. Une lettre j isolée est imprimée près de l’axe des ordonnées. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

On considère la courbe représentative

C_f

d’une fonction

f

définie sur l’intervalle

[-3 \mathrel{;} 4]

. On note

f'

la fonction dérivée de la fonction

f

. On précise que : - la droite

(d)

est tangente à la courbe

C_f

au point A et passe par le point C ; - la tangente à

C_f

au point B est parallèle à l’axe des abscisses. Par lecture graphique :

Question 2

2. Déterminer

f'(-2)

f'(1)

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, voie technologique, Métropole, sujet 1, exercice 1, question 2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

En terminale

ce que demande le bac

En terminale, la dérivation reste l’outil central, avec des fonctions plus riches : au bac, on dérive des fonctions composées (

\mathrm{e}^{u}

\sqrt{u}

u^n

), des quotients et des produits mêlant exponentielle et fractions. Un exercice d’analyse demande souvent de calculer

f'(x)

, d’étudier son signe et de dresser le tableau de variations, en s’appuyant sur la factorisation de la dérivée.

En terminale, on dérive aussi la dérivée : la dérivée seconde, dont le signe donne la convexité de la courbe et ses points d’inflexion. Les méthodes de première servent donc de base : savoir dériver proprement et étudier un signe est le préalable de tout le programme d’analyse.

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Fonction affine et fonction linéaire — Le coefficient directeur d’une tangente est celui d’une droite : revois la page du brevet sur la fonction affine si la pente te pose problème.
Fonctions — Lire une image ou un antécédent sur une courbe, c’est la base du travail sur les tangentes : la page du brevet sur les fonctions le rappelle.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -x^2 - 9x - 8

. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de

f

au point d’abscisse

-2

y =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 2.

La fonction

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

et, pour tout réel

x

f'(x) ={}

-2(x + 5)(x - 4)

. On peut affirmer que :

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 3.

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) ={}

x^3 + 4x^2 - 6x + 9

. Déterminer l’expression de

f'(x)

, où

f'

est la fonction dérivée de

f

f'(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 4.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction

f

et sa tangente au point

A

d’abscisse

3

. Lire graphiquement le nombre dérivé

f'(3)

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 5.

On considère la fonction

f

définie et dérivable sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par

f(x) ={}

-\dfrac{1}{x} + 3x^2

. Déterminer l’expression de

f'(x)

f'(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu oublies $f(a)$ dans l’équation de la tangente. Elle s’écrit $y ={}$ $f'(a)(x - a) + f(a)$ , pas $y = f'(a)(x - a)$ : le nombre dérivé donne la pente, l’image donne la hauteur.
Tu dérives mal une puissance. $(x^3)' = 3x^2$ , pas $3x^3$ ni $x^2$ : l’exposant descend en facteur et diminue de $1$ .
Tu dérives une constante en la gardant : la dérivée de $x^2 + 7$ est $2x$ , car $(7)' = 0$ .
En spécialité, tu dérives un produit comme le produit des dérivées. Pour $x\mathrm{e}^{x}$ , $(x\mathrm{e}^{x})' ={}$ $\mathrm{e}^{x} +{}$ $x\mathrm{e}^{x} ={}$ $(1 + x)\mathrm{e}^{x}$ , et non $\mathrm{e}^{x}$ .
Tu lis le signe de $f$ au lieu du signe de $f'$ pour les variations. C’est $f'$ positive qui rend $f$ croissante, même si $f$ prend des valeurs négatives.

À retenir

$f'(a)$ = coefficient directeur de la tangente en $a$ .
Tangente : $y ={}$ $f'(a)(x - a) + f(a)$ .
$(x^n)' = nx^{n-1}$  ; $(ax^2 + bx + c)' ={}$ $2ax + b$ .
En spécialité : $(uv)' = u'v + uv'$ et $(\mathrm{e}^x)' ={}$ $\mathrm{e}^x$ .
$f' \geqslant 0$ : $f$ croissante ; $f' \leqslant 0$ : $f$ décroissante.

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce que le nombre dérivé ?+
Réponse :Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ . Il mesure la rapidité avec laquelle $f$ varie autour de $a$ . Si $f'(a) > 0$ , la tangente monte ; si $f'(a) < 0$ , elle descend ; si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.
2.Comment trouver l’équation de la tangente à une courbe ?+
Réponse :Calcule $f(a)$ , puis $f'(a)$ , et utilise $y ={}$ $f'(a)(x - a) + f(a)$ . Développe ensuite pour obtenir l’équation réduite $y = mx + p$ . Pour contrôler, vérifie que le point $(a \mathrel{;} f(a))$ vérifie bien ton équation.
3.Comment étudier les variations d’une fonction avec la dérivée ?+
Réponse :Calcule $f'(x)$ et factorise-la si possible. Étudie son signe avec un tableau de signes : là où elle est positive, $f$ est croissante ; là où elle est négative, $f$ est décroissante. Les valeurs où la dérivée s’annule en changeant de signe donnent les extremums.
4.Quelles sont les dérivées à connaître en première ?+
Réponse :La dérivée d’une constante est $0$ , celle de $x^n$ est $nx^{n-1}$ , et celle d’une somme est la somme des dérivées. En spécialité, il faut y ajouter $\dfrac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ , $\mathrm{e}^x$ , le produit et le quotient. En voie technologique, le programme s’en tient aux fonctions polynômes de degré au plus $3$ .
5.Comment dériver un produit ?+
Réponse :En spécialité, applique $(uv)' = u'v + uv'$ : dérive le premier facteur et garde le second, puis garde le premier et dérive le second, et additionne. Factorise ensuite le résultat, surtout quand il contient une exponentielle, car cela facilite l’étude du signe.
6.Que faut-il savoir de la dérivation pour le bac de terminale ?+
Réponse :En terminale, on ajoute la dérivée des fonctions composées et la dérivée seconde, qui donne la convexité. Les bases de première restent indispensables : le bac demande de calculer une dérivée, d’étudier son signe et de dresser un tableau de variations.

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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La dérivation : nombre dérivé, dérivées usuelles, tangente et variations

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L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Précise l’intervalle de définition

2.Dérive terme à terme

3.Calcule le nombre dérivé et l’image

4.Étudie le signe de la dérivée

5.Conclus sur les variations

Exemples

1.Dériver et trouver une tangente

2.Variations d’une fonction polynôme

3.En spécialité : un produit avec l’exponentielle

Une question du sujet

En terminale

Revoir les bases du brevet

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À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

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