Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?

Avec les coordonnées dans un repère orthonormé, multiplie les abscisses, multiplie les ordonnées et additionne : $xx' + yy'$. Avec les normes et l’angle $\theta$ entre les vecteurs, calcule $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$. Choisis la formule selon les données de l’énoncé.

Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Par exemple, $\vec{u}(m \mathrel{;} 2)$ et $\vec{v}(4 \mathrel{;} -6)$ sont orthogonaux quand $4m - 12 = 0$, c’est-à-dire pour $m = 3$. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.

À quoi sert la formule d’Al-Kashi ?

Elle généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque. Elle donne le troisième côté quand on connaît deux côtés et l’angle compris, ou un angle quand on connaît les trois côtés. Quand l’angle est droit, son cosinus est nul et on retrouve Pythagore.

Comment trouver un angle avec le produit scalaire ?

Calcule le produit scalaire par les coordonnées, puis les deux normes, et divise : $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$. Par exemple, pour $\vec{u}(1 \mathrel{;} 1)$ et $\vec{v}(0 \mathrel{;} 2)$, on trouve $\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc un angle de $45^\circ$.

Que dit le signe du produit scalaire ?

Il dépend du cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Il est positif si l’angle est aigu, nul si l’angle est droit, négatif si l’angle est obtus. C’est un moyen rapide de décider si un angle est obtus sans le calculer.

Le produit scalaire est-il au programme de toutes les voies de l’épreuve anticipée ?

Non : il n’est au programme que de la spécialité. Le programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (sans spécialité) et celui de la voie technologique ne le contiennent pas. Si tu es dans l’une de ces voies, passe cette page et regarde les notions de ta voie.

Que demande le bac de terminale sur le produit scalaire ?

Au bac de terminale, le produit scalaire est surtout utilisé dans l’espace, avec trois coordonnées : il sert à montrer qu’une droite est orthogonale à un plan, à trouver un angle ou à calculer une distance. Il apparaît dans les exercices de géométrie, comme dans l’affirmation 3 de l’exercice 2 du sujet de métropole, jour 1, de 2026.

Épreuve anticipée 2027 · mathématiques

Le produit scalaire : calcul, orthogonalité et formule d’Al-Kashi

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Il se calcule avec les coordonnées, ou avec les normes et le cosinus de l’angle. Il sert à démontrer que deux droites sont perpendiculaires, à trouver un angle ou une longueur dans un triangle. En spécialité, il est tombé dans 5 des 7 sujets de juin 2026 ; au bac de terminale, il passe dans l’espace. Voici l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et des questions de vrais sujets.

Épreuve anticipée, spécialité : dans 5 des 7 sujets de juin 2026 ; au bac : dans 4 des 36 sujets

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans 5 des 7 sujets de juin 2026
- Calcul vectoriel et produit scalaire
Questions : Antilles-Guyane : A.3, 3.1, 3.2.a, 3.2.b · Asie : 1.B.4, 2.B.2.a, 2.B.2.b, 2.B.2.c, 2.C.2 · Centres étrangers : 2.1.a, 2.1.b, 2.2.a, 2.2.b, 2.2.c · Métropole, sujet 1 : 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 · Métropole, sujet 2 : 3.3, 3.4, 3.5
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Bac, spécialité mathématiques
dans 4 des 36 sujets de 2024 à 2026
- Orthogonalité et distances dans l’espace
dont 0 des 6 sujets de métropole
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . Avec les normes et l’angle $\theta$ entre les deux vecteurs : $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$ .
Dans un repère orthonormé, avec $\vec{u}(x \mathrel{;} y)$ et $\vec{v}(x' \mathrel{;} y')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $xx' + yy'$ . La norme est $\|\vec{u}\| ={}$ $\sqrt{x^2 + y^2}$ , et $\vec{u} \cdot \vec{u} ={}$ $\|\vec{u}\|^2$ .
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $0$ . Le produit scalaire est positif quand l’angle est aigu, négatif quand il est obtus.
Avec un projeté orthogonal : si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ , alors $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} ={}$ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ , qui vaut $AB \times AH$ si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de même sens, et $-AB \times AH$ sinon.
On peut aussi le calculer avec les normes seules : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 ={}$ $\|\vec{u}\|^2 +{}$ $2\,\vec{u} \cdot \vec{v} +{}$ $\|\vec{v}\|^2$ .
La formule d’Al-Kashi donne un côté d’un triangle $ABC$ quand on connaît les deux autres et l’angle compris : $BC^2 ={}$ $AB^2 +{}$ $AC^2 -{}$ $2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$ . Pour un angle droit, on retrouve le théorème de Pythagore.
En isolant le cosinus, la même formule donne un angle : $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Choisis la formule selon les données
Les coordonnées sont données dans un repère orthonormé : utilise $xx' + yy'$ . On te donne des longueurs et un angle : utilise $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$ . On te donne trois longueurs : pense à la polarisation ou à Al-Kashi.
2.Écris les vecteurs avant de calculer
Calcule les coordonnées de chaque vecteur avec « extrémité moins origine », par exemple $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A \mathrel{;} y_B - y_A)$ . Une erreur de signe ici fausse tout le produit scalaire.
3.Calcule en deux lignes
Écris d’abord le produit terme à terme, puis le résultat. Garde les parenthèses autour d’un nombre négatif : $(-2) \times 3$ , et non $-2 \times 3$ au milieu d’une somme.
4.Conclus avec le signe ou le zéro
Un produit scalaire nul prouve que deux vecteurs sont orthogonaux, donc que deux droites sont perpendiculaires. Un produit négatif dit que l’angle est obtus. Pour un angle, divise par le produit des normes.
5.Contrôle ton résultat
Calcule le produit scalaire par une seconde méthode quand c’est possible, ou vérifie un ordre de grandeur : un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ .

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Produit scalaire avec les coordonnées
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les vecteurs $\vec{u}(2 \mathrel{;} -5)$ et $\vec{v}(6 \mathrel{;} 3)$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et $\|\vec{u}\|$ , puis dis si l’angle formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est aigu ou obtus.
2.Un triangle rectangle
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les points $A(2 \mathrel{;} 1)$ , $B(5 \mathrel{;} 4)$ et $C(0 \mathrel{;} 3)$ . Montre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , puis calcule son aire.
3.Un angle avec Al-Kashi
Dans un triangle $ABC$ , on a $AB = 3$ , $AC = 5$ et $BC = 7$ . Détermine la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 3, question 3

Exercice 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points

\mathrm{P}(4 \mathrel{;} 0)

\mathrm{K}(1 \mathrel{;} 0)

. On considère un réel

x

et on note

\mathrm{M}

le point de coordonnées

(x \mathrel{;} 3)

Repère orthonormé avec un quadrillage d’une unité, l’axe des abscisses gradué de 0 à 4 et l’axe des ordonnées de 0 à 3. Les points K, P et M sont marqués d’un gros point. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

Question 3

3. Montrer que le produit scalaire

\overrightarrow{\mathrm{KP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KM}}

est égal à

3x - 3

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 3, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 3, question 4

Exercice 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points

\mathrm{P}(4 \mathrel{;} 0)

\mathrm{K}(1 \mathrel{;} 0)

. On considère un réel

x

et on note

\mathrm{M}

le point de coordonnées

(x \mathrel{;} 3)

Question 4

4. Montrer que si l’angle

\widehat{\mathrm{PKM}}

est égal à

\dfrac{\pi}{3}

, alors le réel

x

est solution de l’équation

(E) \qquad \sqrt{(x - 1)^2 + 9} ={}

2x - 2

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 3, question 4 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

En terminale

ce que demande le bac

En terminale, le produit scalaire passe dans l’espace. Les formules sont les mêmes qu’en première, avec une coordonnée de plus : pour

\vec{u}(x \mathrel{;} y \mathrel{;} z)

\vec{v}(x' \mathrel{;} y' \mathrel{;} z')

dans un repère orthonormé,

\vec{u} \cdot \vec{v} ={}

xx' + yy' + zz'

\|\vec{u}\| ={}

\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Au bac, il sert surtout à prouver une orthogonalité et à calculer un angle ou une distance. Par exemple, les vecteurs

\vec{u}(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -1)

\vec{v}(3 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 1)

sont orthogonaux, car

1 \times 3 +{}

2 \times (-1) +{}

(-1) \times 1 ={}

0

. Si tu maîtrises le calcul dans le plan, la seule nouveauté de la terminale est la troisième coordonnée.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 1.c

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Question 1.c

1. L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère : • la droite

(d)

dont une représentation paramétrique est :

\begin{cases} x = t \\ y = -1{,}5 - t \\ z = 2 - 2t \end{cases}

où

t \in \mathbb{R}

; • les points

A(3 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)

B(2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -3)

; • le plan

(P)

d’équation :

-x + y - 5z - 0{,}5 = 0

. c. On considère le point

C

de coordonnées

(1{,}5 \mathrel{;} -3 \mathrel{;} -1)

. Affirmation 3 : La mesure de l’angle

\widehat{ACB}

, arrondie à

10^{-1}

, est égale à

70{,}5^\circ

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 2, question 1.c (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Théorème de Pythagore — La norme d’un vecteur est une longueur : revois le théorème de Pythagore, qui en donne la formule dans un repère orthonormé.
Trigonométrie — Pour retrouver le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle, revois la page du brevet sur la trigonométrie.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les vecteurs

\vec{u}(-6 \mathrel{;} 4)

\vec{v}(-1 \mathrel{;} -4)

. Calculer le produit scalaire

\vec{u} \cdot \vec{v}

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 2.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Les vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

vérifient

\|\vec{u}\| = 7

\|\vec{v}\| = 2

et l’angle géométrique entre

\vec{u}

\vec{v}

mesure

\theta = \dfrac{\pi}{4}

. Calculer la valeur exacte de

\vec{u} \cdot \vec{v}

; une racine carrée s’écrit sqrt, par exemple sqrt(3) pour

\sqrt{3}

\vec{u} \cdot \vec{v} =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 3.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère les vecteurs

\vec{u}(m \mathrel{;} -1)

\vec{v}(-6 \mathrel{;} 2)

, où

m

est un réel. Déterminer

m

pour que

\vec{u}

\vec{v}

soient orthogonaux. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible ou d’un nombre entier.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 4.

Dans un triangle

ABC

, on a

AB = 5

AC = 9

\widehat{BAC} ={}

\dfrac{\pi}{3}

radian. Calculer

BC^2

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu prends le produit scalaire pour un vecteur. Pour $\vec{u}(1 \mathrel{;} 2)$ et $\vec{v}(3 \mathrel{;} 4)$ , ce n’est pas $(3 \mathrel{;} 8)$ : c’est le nombre $1 \times 3 + 2 \times 4 ={}$ $11$ .
Dans la formule d’Al-Kashi, tu mets un signe plus devant $2 \times AB \times AC \times \cos$ . Avec $AB = 4$ , $AC = 6$ et un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ , on trouve $BC^2 ={}$ $16 + 36 - 24 ={}$ $28$ , et non $76$ .
Tu écris $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 ={}$ $\|\vec{u}\|^2 +{}$ $\|\vec{v}\|^2$ sans le double produit. Pour $\vec{u}(1 \mathrel{;} 0)$ et $\vec{v}(1 \mathrel{;} 1)$ , on a $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 ={}$ $5$ , alors que $\|\vec{u}\|^2 +{}$ $\|\vec{v}\|^2 ={}$ $3$ .
Tu cherches des coordonnées dont le produit est nul. Il faut que la somme $xx' + yy'$ soit nulle : $\vec{u}(2 \mathrel{;} 3)$ et $\vec{v}(-3 \mathrel{;} 2)$ sont orthogonaux, car $-6 + 6 = 0$ , alors qu’aucune coordonnée n’est nulle.
Tu utilises la formule des coordonnées dans un repère qui n’est pas orthonormé. Vérifie que l’énoncé dit « orthonormé » (ou « orthonormal ») avant d’écrire $xx' + yy'$ .

À retenir

Le produit scalaire est un nombre.
Coordonnées, repère orthonormé : $xx' + yy'$ .
Normes et angle : $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$ .
Orthogonaux $\iff$ produit scalaire nul.
Al-Kashi : $BC^2 ={}$ $AB^2 +{}$ $AC^2 -{}$ $2\,AB \times AC \cos \widehat{BAC}$ .

Questions fréquentes

1.Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?+
Réponse :Avec les coordonnées dans un repère orthonormé, multiplie les abscisses, multiplie les ordonnées et additionne : $xx' + yy'$ . Avec les normes et l’angle $\theta$ entre les vecteurs, calcule $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos \theta$ . Choisis la formule selon les données de l’énoncé.
2.Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?+
Réponse :Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Par exemple, $\vec{u}(m \mathrel{;} 2)$ et $\vec{v}(4 \mathrel{;} -6)$ sont orthogonaux quand $4m - 12 = 0$ , c’est-à-dire pour $m = 3$ . Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
3.À quoi sert la formule d’Al-Kashi ?+
Réponse :Elle généralise le théorème de Pythagore à un triangle quelconque. Elle donne le troisième côté quand on connaît deux côtés et l’angle compris, ou un angle quand on connaît les trois côtés. Quand l’angle est droit, son cosinus est nul et on retrouve Pythagore.
4.Comment trouver un angle avec le produit scalaire ?+
Réponse :Calcule le produit scalaire par les coordonnées, puis les deux normes, et divise : $\cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ . Par exemple, pour $\vec{u}(1 \mathrel{;} 1)$ et $\vec{v}(0 \mathrel{;} 2)$ , on trouve $\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} ={}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , donc un angle de $45^\circ$ .
5.Que dit le signe du produit scalaire ?+
Réponse :Il dépend du cosinus de l’angle entre les deux vecteurs. Il est positif si l’angle est aigu, nul si l’angle est droit, négatif si l’angle est obtus. C’est un moyen rapide de décider si un angle est obtus sans le calculer.
6.Le produit scalaire est-il au programme de toutes les voies de l’épreuve anticipée ?+
Réponse :Non : il n’est au programme que de la spécialité. Le programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (sans spécialité) et celui de la voie technologique ne le contiennent pas. Si tu es dans l’une de ces voies, passe cette page et regarde les notions de ta voie.
7.Que demande le bac de terminale sur le produit scalaire ?+
Réponse :Au bac de terminale, le produit scalaire est surtout utilisé dans l’espace, avec trois coordonnées : il sert à montrer qu’une droite est orthogonale à un plan, à trouver un angle ou à calculer une distance. Il apparaît dans les exercices de géométrie, comme dans l’affirmation 3 de l’exercice 2 du sujet de métropole, jour 1, de 2026.

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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Le produit scalaire : calcul, orthogonalité et formule d’Al-Kashi

Selon ta voie

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Choisis la formule selon les données

2.Écris les vecteurs avant de calculer

3.Calcule en deux lignes

4.Conclus avec le signe ou le zéro

5.Contrôle ton résultat

Exemples

1.Produit scalaire avec les coordonnées

2.Un triangle rectangle

3.Un angle avec Al-Kashi

Une question du sujet

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