La fonction exponentielle : propriétés, dérivée, équations et inéquations

• Épreuve anticipée, spécialité

  dans 6 des 7 sujets de juin 2026

  • Fonction exponentielle

  Questions : Amérique du Nord : A.9, 3.1 · Antilles-Guyane : 3.2.a, 3.2.b · Asie : 1.B.1, 1.B.2 · Métropole, sujet 1 : 2.3 · Métropole, sujet 2 : 1.B.1, 1.B.2, 1.B.3, 3.1 · Polynésie : 2.A.1

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• Bac, spécialité mathématiques

  dans 32 des 36 sujets de 2024 à 2026

  • Limites des fonctions

  dont 6 des 6 sujets de métropole

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En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

1. 1.Mets tout sous la forme $\mathrm{e}^{\text{quelque chose}}$

   Pour simplifier, transforme les puissances et les produits avec $\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b} ={}$$\mathrm{e}^{a + b}$, $\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}} ={}$$\mathrm{e}^{a - b}$ et $(\mathrm{e}^{a})^{n} ={}$$\mathrm{e}^{na}$. Écris le résultat avec un seul exposant, qu’il suffit ensuite de réduire.

2. 2.Résous une équation ou une inéquation

   Écris chaque membre sous la forme $\mathrm{e}^{\ldots}$, puis compare les exposants : $\mathrm{e}^{u} ={}$$\mathrm{e}^{v}$ équivaut à $u = v$, et $\mathrm{e}^{u} \leqslant \mathrm{e}^{v}$ équivaut à $u \leqslant v$. Pour une inéquation, rappelle-toi que $1 = \mathrm{e}^{0}$.

3. 3.Dérive

   Utilise $(\mathrm{e}^{ax + b})' ={}$$a\,\mathrm{e}^{ax + b}$ pour un exposant affine. Pour un produit $u(x) \times \mathrm{e}^{ax + b}$, applique $(uv)' = u'v + uv'$ puis factorise par l’exponentielle.

4. 4.Étudie le signe de la dérivée

   Dans une dérivée de la forme $P(x)\mathrm{e}^{x}$, l’exponentielle est strictement positive : le signe de la dérivée est celui du facteur $P(x)$. Dresse alors le tableau de signes de ce facteur seul.

5. 5.Conclus sur les variations

   Là où la dérivée est positive, la fonction croît ; là où elle est négative, elle décroît. Donne les valeurs exactes aux extremums, avec $\mathrm{e}$, sans approximation décimale.

• Puissances et notation scientifique — Les règles sur les exposants, comme $a^m \times a^n ={}$$a^{m+n}$, sont celles de la page du brevet sur les puissances : l’exponentielle les prolonge à des exposants réels.

• Tu écris $\mathrm{e}^{a + b} ={}$$\mathrm{e}^{a} +{}$$\mathrm{e}^{b}$. La somme des exposants correspond au produit : $\mathrm{e}^{a + b} ={}$$\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}$.
• Tu dérives $\mathrm{e}^{2x}$ en $\mathrm{e}^{2x}$. Le facteur de $x$ descend : $(\mathrm{e}^{2x})' ={}$$2\mathrm{e}^{2x}$, et $(\mathrm{e}^{-5x})' ={}$$-5\mathrm{e}^{-5x}$.
• Tu cherches le signe de l’exponentielle. $\mathrm{e}^{x}$ est strictement positive pour tout réel $x$ : dans $P(x)\mathrm{e}^{x}$, seul $P(x)$ décide du signe.
• Tu oublies de changer le sens de l’inégalité en divisant par un nombre négatif. De $\mathrm{e}^{-4x + 2} \leqslant \mathrm{e}^{0}$ on tire $-4x + 2 \leqslant 0$, puis $x \geqslant \dfrac{1}{2}$.
• Tu écris $\mathrm{e}^{0} = 0$. On a $\mathrm{e}^{0} = 1$ : c’est le point $(0 \mathrel{;} 1)$ de la courbe, et la fonction n’est jamais nulle.

1. 1.Qu’est-ce que la fonction exponentielle ?+

   Réponse :C’est la fonction notée $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$, définie comme l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui est égale à sa dérivée et vaut $1$ en $0$. Elle est strictement positive et strictement croissante. Sa courbe passe par le point $(0 \mathrel{;} 1)$ et monte de plus en plus vite.
2. 2.Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?+

   Réponse :La dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ est elle-même. Pour une fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{ax + b}$, la dérivée est $x \mapsto a\,\mathrm{e}^{ax + b}$ : on multiplie par le coefficient de $x$. Par exemple, la dérivée de $\mathrm{e}^{5x}$ est $5\mathrm{e}^{5x}$.
3. 3.Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?+

   Réponse :Écris les deux membres sous la forme $\mathrm{e}^{u}$ et $\mathrm{e}^{v}$, puis résous $u = v$. Si un membre est un nombre comme $1$, écris-le avec une exponentielle ($1 = \mathrm{e}^{0}$). Cette méthode marche parce que l’exponentielle est strictement croissante, donc injective.
4. 4.Comment résoudre une inéquation avec des exponentielles ?+

   Réponse :Comme l’exponentielle est strictement croissante, $\mathrm{e}^{u} \leqslant \mathrm{e}^{v}$ équivaut à $u \leqslant v$ : le sens de l’inégalité ne change pas. Résous ensuite l’inéquation sur les exposants. Attention aux inéquations où tu divises par un nombre négatif : le sens change.
5. 5.Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours positive ?+

   Réponse :Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} \times \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} = \left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^{2}$ : c’est un carré, donc il est positif ou nul. Il n’est jamais nul, car $\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x} ={}$$\mathrm{e}^{0} ={}$$1$. Cela simplifie les études de signe : dans un produit $P(x)\mathrm{e}^{x}$, le signe est celui de $P(x)$.
6. 6.L’exponentielle tombe-t-elle à l’épreuve anticipée sans spécialité ?+

   Réponse :Non : la voie sans spécialité étudie les suites géométriques et les fonctions $x \mapsto a^{x}$ (avec $a > 0$ et $x \geqslant 0$), pas la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$. Cette page parle de la spécialité, dont 6 des 7 sujets de juin 2026 posent une question sur l’exponentielle.