Quelles sont les règles de calcul des puissances ?

Pour les puissances de $10$ : $10^m \times 10^n = 10^{m + n}$, $\frac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ et $\left(10^m\right)^n = 10^{m \times n}$. Les mêmes règles valent pour les puissances d’un même nombre, comme $5^6 \div 5^4 = 5^2 = 25$, mais le programme du collège ne demande d’apprendre aucune de ces règles comme une formule, même pour $10$ : écris le produit et compte les facteurs.

Que vaut une puissance négative ?

C’est l’inverse de la puissance positive : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Par exemple $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$ et $10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001$. Le résultat est un petit nombre positif, pas un nombre négatif.

Comment écrire un nombre en notation scientifique ?

Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs elle s’est déplacée : vers la gauche, l’exposant est positif ; vers la droite, il est négatif. Ainsi $47\,300\,000 = 4{,}73 \times 10^7$ et $0{,}000\,52 = 5{,}2 \times 10^{-4}$.

Notation scientifique et écriture scientifique, est-ce la même chose ?

Oui. Le programme et la liste d’automatismes disent « notation scientifique », les sujets du brevet de 2022 à 2025 « écriture scientifique » : c’est la même écriture $a \times 10^n$, avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier. Les calculatrices parlent souvent de mode « SCI ».

Qu’est-ce qu’un ordre de grandeur ?

C’est une valeur approchée simple qui donne la taille d’un nombre, souvent un chiffre suivi d’une puissance de $10$ : $47\,300\,000$ est de l’ordre de $5 \times 10^7$. Il sert à vérifier qu’un résultat est vraisemblable avant de le recopier.

Pourquoi a puissance 0 vaut-il 1 ?

Pour que la règle des quotients continue de marcher : $\frac{10^3}{10^3} = 1$, et en comptant les facteurs on trouve $10^{3 - 3} = 10^0$. On pose donc $10^0 = 1$, et de même $a^0 = 1$ pour tout nombre $a$ non nul.

Les puissances, c’est en 4e ou en 3e ?

Les puissances de $10$, les préfixes et la notation scientifique sont vus en 4e, avec les puissances d’exposant positif d’un nombre quelconque. Les exposants négatifs pour un nombre quelconque viennent en 3e. Au brevet, tout est au programme.

Puissances et notation scientifique : règles et exercices

Q: Qu’est-ce qu’un ordre de grandeur ?

C’est une valeur approchée simple qui donne la taille d’un nombre, souvent un chiffre suivi d’une puissance de $10$ : $47\,300\,000$ est de l’ordre de $5 \times 10^7$. Il sert à vérifier qu’un résultat est vraisemblable avant de le recopier.

Q: Pourquoi a puissance 0 vaut-il 1 ?

Pour que la règle des quotients continue de marcher : $\frac{10^3}{10^3} = 1$, et en comptant les facteurs on trouve $10^{3 - 3} = 10^0$. On pose donc $10^0 = 1$, et de même $a^0 = 1$ pour tout nombre $a$ non nul.

Q: Les puissances, c’est en 4e ou en 3e ?

Les puissances de $10$, les préfixes et la notation scientifique sont vus en 4e, avec les puissances d’exposant positif d’un nombre quelconque. Les exposants négatifs pour un nombre quelconque viennent en 3e. Au brevet, tout est au programme.

L’essentiel

à connaître par cœur

Pour un nombre

a

et un entier

n

strictement positif,

a^n

(«

a

exposant

n

») est le produit de

n

facteurs égaux à

a

, et

a^1 = a

. Pour

a

non nul,

a^{-n}

est l’inverse de

a^n

:

a^n ={}

\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad a^{-n} ={}

\dfrac{1}{a^n}

Ainsi

3^4 = 81

,

2^{-3} ={}

\frac{1}{2^3} ={}

\frac{1}{8} ={}

0{,}125

, et par convention

a^0 = 1

. Attention aux signes :

(-2)^4 = 16

,

(-2)^3 = -8

, mais

-2^4 = -16

, car l’exposant porte seulement sur

2

.

Les puissances de

10

s’écrivent sans calcul :

10^n

est un

1

suivi de

n

zéros, et

10^{-n}

s’écrit avec le chiffre

1

au

n

-ième rang après la virgule. Par exemple

10^6 ={}

1\,000\,000

et

10^{-3} = 0{,}001

. Multiplier par

10^n

décale la virgule de

n

rangs vers la droite, multiplier par

10^{-n}

la décale de

n

rangs vers la gauche.

On calcule avec les puissances de

10

en comptant les facteurs. Les règles, pour des entiers

m

et

n

:

Règle	Exemple
$10^m \times 10^n ={}$ $10^{m + n}$	$10^4 \times 10^{-6} ={}$ $10^{-2}$
$\dfrac{10^m}{10^n} ={}$ $10^{m - n}$	$\dfrac{10^2}{10^{-3}} ={}$ $10^{5}$
$\left(10^m\right)^n = 10^{m \times n}$	$\left(10^2\right)^3 = 10^{6}$
$10^{-n} ={}$ $\dfrac{1}{10^n}$	$10^{-3} = 0{,}001$

Le programme ne demande pas d’apprendre ces règles comme des formules, pas même pour les puissances de

10

: tu retrouves toujours le résultat en écrivant le produit, comme

2^3 \times 2^4 ={}

(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) ={}

2^7 ={}

128

.

La notation scientifique d’un nombre positif est son écriture

a \times 10^n

, où

1 \leqslant a < 10

et

n

est un entier :

345\,000 ={}

3{,}45 \times 10^5 \qquad 0{,}007\,2 ={}

7{,}2 \times 10^{-3}

Les préfixes des unités, de nano à giga :

Préfixe	Symbole	Puissance de 10
giga	G	$10^9$
méga	M	$10^6$
kilo	k	$10^3$
hecto	h	$10^2$
déca	da	$10^1$
déci	d	$10^{-1}$
centi	c	$10^{-2}$
milli	m	$10^{-3}$
micro	µ	$10^{-6}$
nano	n	$10^{-9}$

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Placer la virgule
Pour écrire un nombre en notation scientifique, place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens le nombre $a$ , compris entre $1$ et $10$ .
2.Trouver l’exposant
Compte de combien de rangs la virgule s’est déplacée : c’est la valeur de $n$ , sans son signe. Si le nombre de départ est supérieur ou égal à $10$ , $n$ est positif ; s’il est plus petit que $1$ , $n$ est négatif ; entre $1$ et $10$ , $n = 0$ . Exemple : $0{,}000\,52 ={}$ $5{,}2 \times 10^{-4}$ , car la virgule s’est déplacée de $4$ rangs vers la droite.
3.Corriger une écriture presque scientifique
Si le nombre est déjà écrit avec une puissance de $10$ mais que $a$ n’est pas entre $1$ et $10$ , transforme seulement $a$ : $42 \times 10^5 ={}$ $4{,}2 \times 10 \times 10^5 ={}$ $4{,}2 \times 10^6$ , et $0{,}35 \times 10^{-2} ={}$ $3{,}5 \times 10^{-1} \times 10^{-2} ={}$ $3{,}5 \times 10^{-3}$ .
4.Calculer un produit ou un quotient
Regroupe les nombres d’un côté et les puissances de $10$ de l’autre, calcule chaque partie, puis remets le résultat en notation scientifique.

La rédaction attendue

En partie 2, écris le calcul en entier, avec les puissances de

10

regroupées : «

A ={}

6 \times 5 \times 10^4 \times 10^{-7} ={}

30 \times 10^{-3} ={}

3 \times 10^{-2}

». Termine par une phrase qui répond à la question, avec l’unité.

Un affichage de calculatrice comme « 1.28E0 » ne se recopie pas tel quel : écris

1{,}28

. Une rédaction claire compte dans les deux points de rédaction de la partie 2.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Calculer des puissances
Partie 1, sans calculatrice. Calcule $2^5$ , $(-3)^3$ , $5^{-2}$ et $10^{-4}$ .
2.Passer en notation scientifique
Partie 1, sans calculatrice. Écris en notation scientifique $B = 0{,}000\,052\,3$ et $C = 47\,300\,000$ .
3.Un calcul avec la vitesse de la lumière
Partie 2, avec calculatrice. La distance moyenne de la Terre à la Lune est d’environ $3{,}84 \times 10^5$ km, et la lumière parcourt environ $3 \times 10^5$ km par seconde. Combien de temps la lumière met-elle pour aller de la Lune à la Terre ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Passer d’une écriture décimale à la notation scientifique. »
« Calculer la valeur d’une expression algébrique y compris avec des puissances, sans technicité excessive. »

En partie 1, sans calculatrice, on peut te demander de passer d’une écriture décimale à la notation scientifique, de calculer une expression avec des puissances de

10

ou d’écrire un produit sous la forme d’une seule puissance de

10

.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, les puissances de

10

servent dans les problèmes de grandeurs : distances dans l’espace, stockage numérique en kilo-, méga- ou gigaoctets, tailles de cellules ou de virus en micromètres ou en nanomètres. On les retrouve aussi dans les conversions d’unités.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 4 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 2Calculer $3{,}1 \times 10^2 -{}$ $5 \times 10 +{}$ $2{,}1 \times 10^{-1}$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 2Écrire $100^3 \times 10^{-2}$ sous la forme d’une puissance de $10$ .

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2024, Centres étrangers, exercice 1 · question 1

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. Donner l’écriture scientifique de $0{,}193 \times 10^{-100}$ .
$1{,}93 \times 10^{-99}$ $1{,}93 \times 10^{-101}$ $193 \times 10^{-103}$ $193 \times 10^{-97}$

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2024, Centres étrangers, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Calculer

B ={}

3{,}1 \times 10^2 -{}

5 \times 10 +{}

2{,}1 \times 10^{-1}

B =

Question 2 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Question 2. (0–0,5)

Écris

C ={}

\frac{10^{4} \times 10^{-3}}{10^{3}}

sous la forme d’une puissance de 10,

10^{n}

, où

n

est un nombre entier. Quelle est la valeur de

n

?

n =

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–0,5)

L’écriture scientifique du nombre

N = 0{,}000\,746

est de la forme

a \times 10^{n}

, avec

1 \leqslant a < 10

. Quelle est la valeur de

n

?

n =

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–0,5)

L’écriture scientifique du nombre

N = 2\,860\,000

est de la forme

a \times 10^{n}

, avec

1 \leqslant a < 10

. Quelle est la valeur de

n

?

n =

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

La carte mémoire d’Inès (4,5 pts)

Inès part en voyage avec son appareil photo. La carte mémoire de l’appareil a une capacité de 32 Go (gigaoctets). On rappelle que 1 Go =

10^{9}

octets et que 1 Mo (mégaoctet) =

10^{6}

octets. Une photo occupe en moyenne 5,2 Mo et une minute de vidéo occupe en moyenne 120 Mo.

Question 1(1 pt)
Écris la capacité de la carte mémoire en octets, en notation scientifique.
Réponse rédigée
La capacité de la carte est de $32 \times 10^{9}$ octets. En notation scientifique, le premier facteur est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 : $32 \times 10^{9} ={}$ $3{,}2 \times 10^{1} \times 10^{9} ={}$ $3{,}2 \times 10^{10}$ . Résultat : la capacité de la carte est de $3{,}2 \times 10^{10}$ octets.
Barème (Kleksa)
- Capacité exprimée en octets avec une puissance de 100,5 pt
- Écriture en notation scientifique juste0,5 pt
Question 2(1,5 pts)
Combien de photos Inès peut-elle stocker au maximum sur sa carte mémoire vide ? Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
La capacité de la carte, en mégaoctets, est $\frac{32 \times 10^{9}}{10^{6}} ={}$ $32 \times 10^{3} ={}$ $32\,000$ Mo. Une photo occupe 5,2 Mo : $32\,000 \div 5{,}2 \approx 6153{,}85$ . Le nombre de photos est un nombre entier, et il ne reste pas assez de place pour une photo de plus : on arrondit à l’unité inférieure. Résultat : Inès peut stocker au maximum 6153 photos sur sa carte.
Barème (Kleksa)
- Capacité de la carte exprimée en mégaoctets0,5 pt
- Division par la taille d’une photo et réponse entière, arrondie à l’unité inférieure0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 3(1 pt)
Inès a déjà pris 3800 photos. Combien de minutes entières de vidéo peut-elle encore enregistrer sur sa carte ?
Réponse rédigée
La carte contient 32 000 Mo. Les 3800 photos occupent $3800 \times 5{,}2 ={}$ $19\,760$ Mo. Il reste sur la carte $32\,000 - 19\,760 ={}$ $12\,240$ Mo. Une minute de vidéo occupe 120 Mo. On effectue la division euclidienne de 12 240 par 120 : $12\,240 ={}$ $120 \times 102$ . Résultat : Inès peut encore enregistrer 102 minutes de vidéo.
Barème (Kleksa)
- Place restante sur la carte0,5 pt
- Nombre entier de minutes de vidéo juste0,5 pt
Question 4(1 pt)
Inès copie ensuite ses fichiers sur un disque dur d’une capacité de 4 To (téraoctet). On rappelle que 1 To = $10^{12}$ octets. Combien de fois la capacité du disque dur est-elle plus grande que celle de la carte mémoire ? Arrondis le résultat à l’unité.
Réponse rédigée
La capacité du disque dur est de $4 \times 10^{12}$ octets et celle de la carte de $32 \times 10^{9}$ octets : $\frac{4 \times 10^{12}}{32 \times 10^{9}} ={}$ $\frac{4}{32} \times 10^{3} ={}$ $125$ . Résultat : la capacité du disque dur est 125 fois plus grande que celle de la carte.
Barème (Kleksa)
- Quotient des deux capacités, puissances de 10 comprises0,5 pt
- Résultat juste, arrondi à l’unité0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Multiplier la base par l’exposant : $2^3 ={}$ $2 \times 2 \times 2 ={}$ $8$ , et non $2 \times 3 = 6$ .
Croire qu’un exposant négatif donne un nombre négatif : $10^{-2} = 0{,}01$ , qui est positif.
Confondre $-3^2$ et $(-3)^2$ : $-3^2 = -9$ , alors que $(-3)^2 = 9$ .
Laisser $a$ hors de l’intervalle : $52 \times 10^3$ est bien égal à $52\,000$ , mais sa notation scientifique est $5{,}2 \times 10^4$ .
Additionner les exposants d’une somme : $10^3 + 10^2 ={}$ $1\,000 + 100 ={}$ $1\,100$ , ce n’est pas $10^5$ . La règle $10^m \times 10^n ={}$ $10^{m + n}$ ne vaut que pour un produit.

À savoir par cœur

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ et $a^0 = 1$ , pour $a$ non nul.
$10^n$ : un $1$ suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}$ : le chiffre $1$ au $n$ -ième rang après la virgule.
La notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ .
Les préfixes : giga $10^9$ , méga $10^6$ , kilo $10^3$ , milli $10^{-3}$ , micro $10^{-6}$ , nano $10^{-9}$ .

Questions fréquentes

1.Quelles sont les règles de calcul des puissances ?+
Rép. :Pour les puissances de $10$ : $10^m \times 10^n ={}$ $10^{m + n}$ , $\frac{10^m}{10^n} ={}$ $10^{m - n}$ et $\left(10^m\right)^n = 10^{m \times n}$ . Les mêmes règles valent pour les puissances d’un même nombre, comme $5^6 \div 5^4 ={}$ $5^2 ={}$ $25$ , mais le programme du collège ne demande d’apprendre aucune de ces règles comme une formule, même pour $10$ : écris le produit et compte les facteurs.
2.Que vaut une puissance négative ?+
Rép. :C’est l’inverse de la puissance positive : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Par exemple $2^{-3} ={}$ $\frac{1}{8} ={}$ $0{,}125$ et $10^{-3} ={}$ $\frac{1}{1\,000} ={}$ $0{,}001$ . Le résultat est un petit nombre positif, pas un nombre négatif.
3.Comment écrire un nombre en notation scientifique ?+
Rép. :Place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis compte de combien de rangs elle s’est déplacée : vers la gauche, l’exposant est positif ; vers la droite, il est négatif. Ainsi $47\,300\,000 ={}$ $4{,}73 \times 10^7$ et $0{,}000\,52 ={}$ $5{,}2 \times 10^{-4}$ .
4.Notation scientifique et écriture scientifique, est-ce la même chose ?+
Rép. :Oui. Le programme et la liste d’automatismes disent « notation scientifique », les sujets du brevet de 2022 à 2025 « écriture scientifique » : c’est la même écriture $a \times 10^n$ , avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier. Les calculatrices parlent souvent de mode « SCI ».
5.Qu’est-ce qu’un ordre de grandeur ?+
Rép. :C’est une valeur approchée simple qui donne la taille d’un nombre, souvent un chiffre suivi d’une puissance de $10$ : $47\,300\,000$ est de l’ordre de $5 \times 10^7$ . Il sert à vérifier qu’un résultat est vraisemblable avant de le recopier.
6.Pourquoi a puissance 0 vaut-il 1 ?+
Rép. :Pour que la règle des quotients continue de marcher : $\frac{10^3}{10^3} = 1$ , et en comptant les facteurs on trouve $10^{3 - 3} = 10^0$ . On pose donc $10^0 = 1$ , et de même $a^0 = 1$ pour tout nombre $a$ non nul.
7.Les puissances, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :Les puissances de $10$ , les préfixes et la notation scientifique sont vus en 4e, avec les puissances d’exposant positif d’un nombre quelconque. Les exposants négatifs pour un nombre quelconque viennent en 3e. Au brevet, tout est au programme.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Puissances et notation scientifique : règles, puissances de 10 et exercices (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Placer la virgule

2.Trouver l’exposant

3.Corriger une écriture presque scientifique

4.Calculer un produit ou un quotient

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Calculer des puissances

2.Passer en notation scientifique

3.Un calcul avec la vitesse de la lumière

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2024, Centres étrangers, exercice 1 · question 1

Teste-toi

Exercice type brevet

La carte mémoire d’Inès (4,5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.