Comment trouver le sommet d’une parabole ?

Si tu connais les deux racines, l’abscisse $\alpha$ du sommet est leur moyenne, car l’axe de symétrie passe au milieu ; son ordonnée est $\beta = f(\alpha)$. En spécialité, tu peux aussi lire $S(\alpha \mathrel{;} \beta)$ sur la forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$, ou calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

À quoi sert la forme factorisée ?

Elle donne directement les racines, c’est-à-dire les solutions de $f(x) = 0$ et les points où la parabole coupe l’axe des abscisses. Elle donne aussi le signe de $f(x)$ : signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe opposé entre elles. C’est la forme à choisir pour une inéquation.

Le discriminant est-il au programme hors spécialité ?

Non : il est au programme de la spécialité seulement. En voie technologique et sans spécialité, on travaille avec la forme factorisée, une racine évidente ou une lecture graphique : les sujets donnent alors l’expression sous une forme qui permet de conclure sans lui.

Comment savoir si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?

Regarde le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum ; si $a < 0$, elle est tournée vers le bas et le sommet est un maximum. Cela se voit aussi sur un tableau de variations.

Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Mets tout dans un membre pour comparer à $0$, puis factorise. Écris le tableau de signes avec les racines dans l’ordre croissant et lis l’ensemble des solutions. Attention aux crochets : avec $\geqslant$, les racines sont comprises dans l’intervalle.

Comment le second degré tombe-t-il à l’épreuve anticipée ?

Souvent en automatismes : lire un sommet, reconnaître une forme, trouver une racine ou dire si un point est sur la courbe, comme dans la question 7 du sujet de juin 2026 en spécialité. Il revient aussi dans les exercices de la seconde partie, par exemple pour étudier un bénéfice ou une aire.

Épreuve anticipée 2027 · mathématiques

Le second degré : discriminant, forme canonique, racines et signe du trinôme

Q: Comment résoudre une inéquation du second degré ?

Mets tout dans un membre pour comparer à $0$, puis factorise. Écris le tableau de signes avec les racines dans l’ordre croissant et lis l’ensemble des solutions. Attention aux crochets : avec $\geqslant$, les racines sont comprises dans l’intervalle.

Q: Comment le second degré tombe-t-il à l’épreuve anticipée ?

Souvent en automatismes : lire un sommet, reconnaître une forme, trouver une racine ou dire si un point est sur la courbe, comme dans la question 7 du sujet de juin 2026 en spécialité. Il revient aussi dans les exercices de la seconde partie, par exemple pour étudier un bénéfice ou une aire.

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ , avec $a \neq 0$  ; sa courbe est une parabole. Sous forme canonique, on lit son sommet ; sous forme factorisée, on lit ses racines et son signe. Le second degré tombe dans les trois voies de l’épreuve anticipée, souvent en automatismes. Ici, tu trouves l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions du sujet de juin 2026.

Épreuve anticipée, spécialité : dans 6 des 7 sujets de juin 2026 ; voie technologique : dans 3 des 6 sujets ; sans spécialité : dans 2 des 7 sujets ; au bac : dans 9 des 36 sujets

Programme

Programme de spécialité de première (2026)

Algèbre · Équations, fonctions polynômes du second degré
Automatismes · Calcul numérique et algébrique

Programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (2026)

Phénomènes d’évolution, modélisation par des fonctions · Modélisation quadratique
Automatismes · Calcul numérique et algébrique

Programme de première technologique (2026)

Analyse · Fonctions polynômes de degré 2
Automatismes · Calcul numérique et algébrique

sujets : dans 6 des 7 sujets de juin 2026

À l’épreuve anticipée, la calculatrice est interdite pendant toute l’épreuve : entraîne-toi à calculer à la main.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans 6 des 7 sujets de juin 2026
- Équations, fonctions polynômes du second degré
- Calcul numérique et algébrique
Questions : Amérique du Nord : A.4 · Antilles-Guyane : A.5 · Asie : A.6, 2.C.1 · Métropole, sujet 1 : A.7, 2.1 · Métropole, sujet 2 : A.9, 2.4 · Polynésie : 2.B.1
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, sans spécialité
dans 2 des 7 sujets de juin 2026
- Modélisation quadratique
- Calcul numérique et algébrique
Questions : Amérique du Nord : 3.3 · Métropole, sujet 2 : 2.1, 2.3.a, 2.3.e, 2.4.a, 2.4.b, 2.4.c
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, voie technologique
dans 3 des 6 sujets de juin 2026
- Fonctions polynômes de degré 2
- Calcul numérique et algébrique
Questions : Antilles-Guyane : 3.3 · Centres étrangers : 2.2.a · Métropole, sujet 1 : A.8
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Bac, spécialité mathématiques
dans 9 des 36 sujets de 2024 à 2026
- Compléments sur la dérivation
dont 1 des 6 sujets de métropole
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une fonction polynôme du second degré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ , où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels et $a \neq 0$ . Sa courbe représentative est une parabole.
Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut et $f$ admet un minimum ; si $a < 0$ , elle est tournée vers le bas et $f$ admet un maximum. Ce minimum ou ce maximum est atteint au sommet de la parabole.
En spécialité, la forme canonique est $f(x) ={}$ $a(x - \alpha)^2 + \beta$ . Le sommet est le point $S(\alpha \mathrel{;} \beta)$ et la droite d’équation $x = \alpha$ est l’axe de symétrie de la parabole.
La forme factorisée $f(x) ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ donne les racines $x_1$ et $x_2$ : ce sont les solutions de $f(x) = 0$ , les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses. L’axe de symétrie passe au milieu : $\alpha = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .
Signe : quand $f$ a deux racines $x_1 < x_2$ , $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe opposé entre les racines.
En spécialité, on calcule aussi le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta > 0$ , il y a deux racines $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$  ; si $\Delta = 0$ , une seule, $-\dfrac{b}{2a}$  ; si $\Delta < 0$ , aucune racine réelle.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repère la forme de l’expression
Développée, canonique ou factorisée ? Chacune répond à une question : la forme développée donne l’image de $0$ , la forme canonique le sommet, la forme factorisée les racines et le signe. Choisis celle qui répond le plus vite à ce qu’on te demande.
2.Trouve les racines
Si l’expression est factorisée, résous $x - x_1 = 0$ et $x - x_2 = 0$ . Si une racine est évidente (essaie $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ ), l’autre se déduit de la factorisation. Sinon, en spécialité, calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ et applique les formules.
3.Trouve le sommet
Prends pour $\alpha$ le milieu des deux racines, puis calcule $\beta = f(\alpha)$ : le sommet est $S(\alpha \mathrel{;} \beta)$ . En spécialité, tu peux aussi le lire sur la forme canonique, ou prendre $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ .
4.Écris le signe dans un tableau
Place les racines dans l’ordre croissant, mets le signe de $a$ aux deux extrémités et le signe opposé entre les racines. Vérifie avec une valeur : par exemple, $f(0) = c$ doit avoir le signe que le tableau donne en $0$ .
5.Vérifie en développant
Une forme canonique ou factorisée doit redonner, une fois développée, la forme de départ. Développe-la avant de t’en servir : c’est rapide et cela évite une erreur de signe qui fausse toute la suite.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Forme canonique et sommet, en spécialité
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Écris $f(x)$ sous forme canonique, puis donne le sommet de sa courbe, les points où elle coupe les axes et le minimum de $f$ .
2.Une équation résolue en spécialité
Résous dans $\mathbb{R}$ l’équation $2x^2 - 3x - 2 = 0$ .
3.Signe d’une forme factorisée
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) ={}$ $-2(x - 1)(x - 5)$ . Donne ses racines, l’axe de symétrie de sa courbe, puis résous $g(x) \geqslant 0$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — automatismes, question 7

Première partie : automatismes – QCM

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 7.

On considère une fonction

f

définie sur

\mathbf{R}

par

f(x) ={}

0{,}5(x - 3)^2 + 10

. On note

\mathcal{C}

sa courbe représentative dans un repère. Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe

\mathcal{C}

. Lequel ?

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, automatismes, question 7 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 2, question 1

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.

Question 1

1. On considère un réel

u

. On considère sur

\mathbf{R}

l’équation :

(E) \qquad x^2 + x - u^2 ={}

0

. Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel

u

, l’équation

(E)

possède deux solutions réelles distinctes.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 2, question 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

En terminale

ce que demande le bac

En terminale, le second degré n’est plus un chapitre à part : c’est un outil qu’on utilise partout. Le cas le plus fréquent est l’étude des variations d’une fonction dont la dérivée est un polynôme du second degré. Par exemple, si

f'(x) ={}

3x^2 - 12x + 9 ={}

3(x - 1)(x - 3)

, alors

f'(x)

est positif en dehors de

[1 \mathrel{;} 3]

et négatif entre

1

3

f

croît, décroît, puis croît.

Au bac, on le retrouve aussi en géométrie dans l’espace : quand un point

M

se déplace sur une droite, la distance au carré

AM^2

est souvent un polynôme du second degré en fonction du paramètre

t

, et son minimum, atteint au sommet de la parabole, donne la plus courte distance.

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Équations — Si tu bloques sur une équation produit nul comme $(x - 2)(2x + 1) = 0$ , revois la page du brevet sur les équations.
Calcul littéral — Pour développer et factoriser sans erreur, revois les identités remarquables sur la page du brevet sur le calcul littéral.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

Calculer le discriminant

\Delta

du polynôme

P(x) = x^2 + x + 3

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

sans spécialité

Question 2.

On considère la fonction polynôme du second degré

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -4x(x + 4)

. Résoudre l’équation

f(x) = 0

. Écrire l’ensemble des solutions entre accolades, en séparant les solutions par un point-virgule.

S =

Un intervalle : ]2 ; 5] ou [0 ; +∞[ (∞ peut s’écrire inf), une réunion avec U.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 3.

On considère la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 3x(x + 6)

. Donner les coordonnées du sommet de la parabole qui représente

f

abscisseordonnée

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 4.

On considère la représentation graphique d’une fonction

f

polynôme du second degré, définie sur

\mathbb{R}

Le tableau de signes de cette fonction

f

est :

Repère quadrillé : l’axe des abscisses est gradué de −1 à 9, l’axe des ordonnées de −1 à 5, une unité par carreau. Une parabole rouge est tracée dans ce repère. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

QCM de juin 2026 — Épreuve anticipée de mathématiques 2026, voie technologique, Métropole, sujet 1, automatismes, question 8 — corrigé Kleksa (non officiel)

Plus d’exercices : fais gratuitement un sujet entier

Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

En spécialité, tu lis mal le sommet sur la forme canonique. Dans $f(x) = 2(x + 3)^2 - 5$ , on a $\alpha = -3$ , pas $3$ : le sommet est $S(-3 \mathrel{;} -5)$ .
Tu oublies le coefficient $a$ dans la forme factorisée. $x^2 - 6x + 5$ et $2x^2 - 12x + 10$ ont les mêmes racines, $1$ et $5$ , mais la seconde s’écrit $2(x - 1)(x - 5)$ .
En spécialité, tu te trompes de signe dans le discriminant : pour $x^2 - 3x - 4$ , $\Delta = (-3)^2 -{}$ $4 \times 1 \times (-4) ={}$ $25$ , et non $9 - 16$ .
Tu donnes le signe à l’envers : avec $a < 0$ , $f(x)$ est positif entre les racines, pas à l’extérieur. Vérifie toujours avec une valeur simple, comme $f(0)$ .
Tu divises par $x$ dans $x^2 = 3x$ et tu perds la solution $0$ . Écris plutôt $x(x - 3) = 0$ : les solutions sont $0$ et $3$ .

À retenir

En spécialité, forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ : sommet $S(\alpha \mathrel{;} \beta)$ , axe $x = \alpha$ .
Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : racines $x_1$ et $x_2$ .
L’axe de symétrie passe au milieu des racines ; en spécialité, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ .
Signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe opposé entre elles.
En spécialité : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Questions fréquentes

1.Comment trouver le sommet d’une parabole ?+
Réponse :Si tu connais les deux racines, l’abscisse $\alpha$ du sommet est leur moyenne, car l’axe de symétrie passe au milieu ; son ordonnée est $\beta = f(\alpha)$ . En spécialité, tu peux aussi lire $S(\alpha \mathrel{;} \beta)$ sur la forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ , ou calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ .
2.À quoi sert la forme factorisée ?+
Réponse :Elle donne directement les racines, c’est-à-dire les solutions de $f(x) = 0$ et les points où la parabole coupe l’axe des abscisses. Elle donne aussi le signe de $f(x)$ : signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe opposé entre elles. C’est la forme à choisir pour une inéquation.
3.Le discriminant est-il au programme hors spécialité ?+
Réponse :Non : il est au programme de la spécialité seulement. En voie technologique et sans spécialité, on travaille avec la forme factorisée, une racine évidente ou une lecture graphique : les sujets donnent alors l’expression sous une forme qui permet de conclure sans lui.
4.Comment savoir si une parabole est tournée vers le haut ou vers le bas ?+
Réponse :Regarde le signe du coefficient $a$ de $x^2$ . Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum ; si $a < 0$ , elle est tournée vers le bas et le sommet est un maximum. Cela se voit aussi sur un tableau de variations.
5.Comment résoudre une inéquation du second degré ?+
Réponse :Mets tout dans un membre pour comparer à $0$ , puis factorise. Écris le tableau de signes avec les racines dans l’ordre croissant et lis l’ensemble des solutions. Attention aux crochets : avec $\geqslant$ , les racines sont comprises dans l’intervalle.
6.Comment le second degré tombe-t-il à l’épreuve anticipée ?+
Réponse :Souvent en automatismes : lire un sommet, reconnaître une forme, trouver une racine ou dire si un point est sur la courbe, comme dans la question 7 du sujet de juin 2026 en spécialité. Il revient aussi dans les exercices de la seconde partie, par exemple pour étudier un bénéfice ou une aire.

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

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Le second degré : discriminant, forme canonique, racines et signe du trinôme

Selon ta voie

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère la forme de l’expression

2.Trouve les racines

3.Trouve le sommet

4.Écris le signe dans un tableau

5.Vérifie en développant

Exemples

1.Forme canonique et sommet, en spécialité

2.Une équation résolue en spécialité

3.Signe d’une forme factorisée

Une question du sujet

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À retenir

Questions fréquentes

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