À quoi sert l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Elle donne, sans connaître la loi de la variable, un majorant de la probabilité que la variable s’écarte de son espérance d’au moins $\delta$. Elle sert à garantir qu’une moyenne ou une somme reste dans un intervalle avec une probabilité minimale, et à calculer une taille d’échantillon.

Comment passer d’un encadrement à une valeur absolue ?

Calcule le milieu $m$ de l’intervalle et sa demi-largeur $\delta$ : $a < X < b$ équivaut à $|X - m| < \delta$. Pour appliquer l’inégalité, il faut que $m$ soit l’espérance de $X$. Dans les sujets, l’énoncé choisit un intervalle centré sur l’espérance.

Quelle est la différence entre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et celle de concentration ?

La première s’applique à une variable quelconque $X$ et fait intervenir $V(X)$. La seconde est la première appliquée à la moyenne $M_n$ d’un échantillon : comme $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, le majorant devient $\dfrac{V}{n\delta^2}$ et il diminue quand $n$ augmente.

Que dit la loi des grands nombres ?

Pour tout $\delta > 0$, la probabilité que la moyenne $M_n$ s’écarte de l’espérance $\mu$ d’au moins $\delta$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini. En pratique, plus l’échantillon est grand, plus la moyenne observée est proche de l’espérance.

Comment trouver la taille d’échantillon qui garantit un seuil ?

Écris la minoration $1 - \dfrac{V}{n\delta^2}$ et impose qu’elle soit au moins égale au seuil. Isole $n$ dans l’inéquation obtenue et réponds par le plus petit entier qui convient. Vérifie le résultat en remplaçant $n$ par cet entier, puis par l’entier précédent.

Comment cette notion tombe-t-elle au bac ?

Dans un exercice de probabilités, après le calcul de l’espérance et de la variance d’une somme ou d’une moyenne : on demande de justifier une minoration, puis de trouver la plus petite taille d’échantillon et de l’interpréter, comme dans les deux questions des sujets de 2026 citées plus haut.

Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres — bac de maths

Q: Quelle est la différence entre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et celle de concentration ?

La première s’applique à une variable quelconque $X$ et fait intervenir $V(X)$. La seconde est la première appliquée à la moyenne $M_n$ d’un échantillon : comme $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, le majorant devient $\dfrac{V}{n\delta^2}$ et il diminue quand $n$ augmente.

Q: Que dit la loi des grands nombres ?

Pour tout $\delta > 0$, la probabilité que la moyenne $M_n$ s’écarte de l’espérance $\mu$ d’au moins $\delta$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini. En pratique, plus l’échantillon est grand, plus la moyenne observée est proche de l’espérance.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Pour des variables aléatoires quelconques, $E(X + Y) ={}$ $E(X) + E(Y)$ et $E(aX + b) ={}$ $a\,E(X) + b$ . Pour des variables indépendantes, $V(X + Y) ={}$ $V(X) + V(Y)$  ; de plus $V(aX + b) = a^2 V(X)$ .
Un échantillon de taille $n$ d’une loi d’espérance $\mu$ et de variance $V$ est une liste $(X_1, \ldots, X_n)$ de variables indépendantes de cette loi. Pour $S_n ={}$ $X_1 + \cdots + X_n$ : $E(S_n) = n\mu$ et $V(S_n) = nV$ .
Pour la moyenne $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ : $E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ . La variance de la moyenne diminue quand $n$ augmente.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable $X$ et tout réel $\delta > 0$ , $P\big(|X - E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ . Par l’événement contraire, $P\big(|X - E(X)| < \delta\big) \geqslant 1 -{}$ $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
Inégalité de concentration : $P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V}{n\delta^2}$ . C’est Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$ .
Loi des grands nombres : pour tout $\delta > 0$ , $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) = 0$ . Sur un grand échantillon, la moyenne observée s’écarte très probablement peu de l’espérance.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Identifie la variable et ses paramètres
Est-ce une variable seule, une somme $S_n$ ou une moyenne $M_n$  ? Détermine son espérance et sa variance : pour une somme de variables indépendantes, additionne les variances ; pour une moyenne, divise la variance d’une variable par $n$ .
2.Transforme l’encadrement en valeur absolue
Un encadrement $a < X < b$ s’écrit $|X - m| < \delta$ avec $m = \dfrac{a + b}{2}$ et $\delta = \dfrac{b - a}{2}$ . Vérifie que $m$ est bien l’espérance : sinon l’inégalité ne s’applique pas directement.
3.Applique l’inégalité
Écris $P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ avec les nombres. Attention au carré de $\delta$ au dénominateur.
4.Passe au contraire pour minorer
L’événement $|X - E(X)| < \delta$ est le contraire de $|X - E(X)| \geqslant \delta$ : sa probabilité est au moins $1 -{}$ $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
5.Détermine une taille d’échantillon
Pour garantir un seuil, résous l’inéquation en $n$ , par exemple $1 -{}$ $\dfrac{V}{n\delta^2} \geqslant 0{,}95$ , et réponds par le plus petit entier qui convient.
6.Interprète en contexte
Conclus par une phrase : « la probabilité que … soit comprise entre … et … est au moins égale à … ». L’inégalité donne une garantie large, pas la probabilité exacte.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Majorer et minorer une probabilité
Un temps de trajet, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire $X$ d’espérance $30$ et de variance $9$ . Majore $P(|X - 30| \geqslant 6)$ , puis minore $P(24 < X < 36)$ .
2.La moyenne d’un échantillon
Une mesure $X$ a pour espérance $12$ et pour variance $4$ . On effectue $25$ mesures indépendantes $X_1, \ldots, X_{25}$ et on note $M_{25}$ leur moyenne. Calcule $E(M_{25})$ et $V(M_{25})$ , puis minore $P(11 < M_{25} < 13)$ .
3.Combien de mesures faut-il ?
Avec la mesure de l’exemple 2, combien de mesures indépendantes faut-il effectuer pour que la moyenne $M_n$ vérifie $P(|M_n - 12| < 0{,}4) \geqslant 0{,}95$  ?

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 1, question B.3.b

Exercice 1 — Partie B

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d’une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu’un emplacement pour un véhicule. Sur ce trajet, la réservation d’une cabine et d’un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée. Ces suppléments sont d’un montant de : • 100 € pour une cabine ; • 70 € pour l’emplacement d’un véhicule. On suppose qu’une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule. À ces suppléments peuvent s’ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.). On note

X

la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de

X

.

$x_i$	$0$	$70$	$100$	$170$
$P(X = x_i)$	$0{,}19$	$0{,}06$	$0{,}51$	$0{,}24$

On note

Y

la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire

Y

a pour espérance

E(Y) = 104

et pour variance

V(Y) = 1686

. On suppose que les variables

X

et

Y

sont indépendantes.

Question B.3.b

3. On note

n

un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de

n

familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par

Z_1

la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille,

Z_2

la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite,

Z_n

la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la

n

-ième famille. On considère la variable aléatoire

M_n ={}

\dfrac{Z_1 + Z_2 + \ldots + Z_n}{n}

donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles. On admet que les variables

Z_1, Z_2, \ldots, Z_n

sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire

Z

. a. Montrer que l’espérance

E(M_n)

de la variable

M_n

est égale à

120

, et que sa variance

V(M_n)

est égale à

\dfrac{1728}{n}

. b. Déterminer le plus petit entier

n

pour lequel l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que

\mathrm{P}(114 < M_n < 126) \geqslant 0{,}85

. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 1, question B.3.b (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 1 — exercice 1, question B.2.b

Exercice 1 — Partie B

Dans le Sud de la France, on compte

12

réacteurs nucléaires qu’on numérote de

1

à

12

. On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à

16

GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à

10

GWh et enfin lorsque le réacteur est à l’arrêt, sa production journalière est nulle. On rappelle que

P(N) = 0{,}75

,

P(R) = 0{,}05

et

P(A) = 0{,}20

.

Question B.2.b

2. Pour tout entier naturel

i

compris entre

1

et

12

, on note

X_i

la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du

i

-ème réacteur. Ainsi, par exemple,

X_2

désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 2-ième réacteur. On suppose que les variables

X_1, X_2, \ldots, X_{12}

suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire

X

, et qu’elles sont indépendantes. On considère la variable aléatoire

S

qui donne la production totale journalière des

12

réacteurs. On a ainsi

S ={}

X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}

. On note

E(S)

l’espérance de la variable aléatoire

S

et

V(S)

sa variance. a. Montrer que

E(S) = 150

et

V(S) = 489

. b. Afin d’éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des

12

réacteurs doit être comprise strictement entre

100

GWh et

200

GWh. Peut-on affirmer que la probabilité d’éviter le risque de surcharge et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité est supérieure à

0{,}80

? Justifier.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Antilles-Guyane, jour 1, exercice 1, question B.2.b (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Vu en première

les bases de première

En première, en spécialité, tu as appris la loi d’une variable aléatoire, son espérance, sa variance et son écart type. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev n’est pas au programme de première : elle utilise la variance comme indicateur de dispersion, ce que la page sur les variables aléatoires prépare.

Si le calcul de

E(X)

et de

V(X)

à partir d’un tableau n’est pas automatique, reprends-le d’abord en première : tout ce qui suit repose sur ces deux nombres.

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Statistiques — Pour revoir la notion de moyenne d’une série avant celle de moyenne d’un échantillon aléatoire, relis la page du brevet sur les statistiques.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

Les variables aléatoires

X

et

Y

sont indépendantes, avec

V(X) = 6{,}3

et

V(Y) = 4

. Calculer

V(-2X + 3Y + 7)

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

On pèse

n

pommes d’un verger, choisies au hasard. Leurs masses, en grammes, sont modélisées par des variables aléatoires

X_1, \ldots, X_n

indépendantes et de même loi, d’espérance

\mu

et d’écart type

\sigma = 18

. On note

M_n ={}

\dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}

leur masse moyenne. À l’aide de l’inégalité de concentration, déterminer le plus petit entier naturel non nul

n

pour lequel cette inégalité garantit que

P(|M_n - \mu| < 4) \geqslant 0{,}98

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Une variable aléatoire

X

a pour espérance

78

et pour variance

40

. Donner le majorant de

P(|X - 78| \geqslant 20)

que fournit l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

La loi de probabilité d’une variable aléatoire

X

est donnée par le tableau suivant.

$x_i$	$-3$	$1$	$15$
$P(X = x_i)$	$0{,}35$	$0{,}32$	$0{,}33$

Calculer l’espérance

E(X)

et la variance

V(X)

.

E(X) =

V(X) =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu oublies le carré dans $V(aX) = a^2 V(X)$ . Si $V(X) = 3$ , alors $V(2X) = 12$ et non $6$ .
Tu additionnes les variances sans indépendance. $V(X + Y) ={}$ $V(X) + V(Y)$ suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes : si $V(X) = 3$ et $V(Y) = 9$ , on obtient $12$ dans ce cas seulement.
Tu oublies d’élever $\delta$ au carré. Avec $V(X) = 9$ et $\delta = 6$ , le majorant est $\dfrac{9}{36} = 0{,}25$ , pas $\dfrac{9}{6}$ , qui dépasse $1$ et n’apprend rien.
Tu appliques l’inégalité à un encadrement qui n’est pas centré sur l’espérance. $|X - E(X)| < \delta$ est un intervalle centré sur $E(X)$  ; si l’énoncé donne un intervalle décentré, ramène-toi à un intervalle centré plus petit.
Tu prends le majorant pour la probabilité. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une garantie : la vraie probabilité est souvent beaucoup plus petite, et le $n$ trouvé est suffisant, pas minimal pour la vraie probabilité.

À retenir

$E(M_n) = \mu$ et $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ .
$P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
$P(|X - E(X)| < \delta) \geqslant 1 -{}$ $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
Variances qui s’additionnent : variables indépendantes seulement.
Loi des grands nombres : la moyenne se rapproche de l’espérance.

Questions fréquentes

1.À quoi sert l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?+
Réponse :Elle donne, sans connaître la loi de la variable, un majorant de la probabilité que la variable s’écarte de son espérance d’au moins $\delta$ . Elle sert à garantir qu’une moyenne ou une somme reste dans un intervalle avec une probabilité minimale, et à calculer une taille d’échantillon.
2.Comment passer d’un encadrement à une valeur absolue ?+
Réponse :Calcule le milieu $m$ de l’intervalle et sa demi-largeur $\delta$ : $a < X < b$ équivaut à $|X - m| < \delta$ . Pour appliquer l’inégalité, il faut que $m$ soit l’espérance de $X$ . Dans les sujets, l’énoncé choisit un intervalle centré sur l’espérance.
3.Quelle est la différence entre l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et celle de concentration ?+
Réponse :La première s’applique à une variable quelconque $X$ et fait intervenir $V(X)$ . La seconde est la première appliquée à la moyenne $M_n$ d’un échantillon : comme $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , le majorant devient $\dfrac{V}{n\delta^2}$ et il diminue quand $n$ augmente.
4.Que dit la loi des grands nombres ?+
Réponse :Pour tout $\delta > 0$ , la probabilité que la moyenne $M_n$ s’écarte de l’espérance $\mu$ d’au moins $\delta$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini. En pratique, plus l’échantillon est grand, plus la moyenne observée est proche de l’espérance.
5.Comment trouver la taille d’échantillon qui garantit un seuil ?+
Réponse :Écris la minoration $1 - \dfrac{V}{n\delta^2}$ et impose qu’elle soit au moins égale au seuil. Isole $n$ dans l’inéquation obtenue et réponds par le plus petit entier qui convient. Vérifie le résultat en remplaçant $n$ par cet entier, puis par l’entier précédent.
6.Comment cette notion tombe-t-elle au bac ?+
Réponse :Dans un exercice de probabilités, après le calcul de l’espérance et de la variance d’une somme ou d’une moyenne : on demande de justifier une minoration, puis de trouver la plus petite taille d’échantillon et de l’interpréter, comme dans les deux questions des sujets de 2026 citées plus haut.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Identifie la variable et ses paramètres

2.Transforme l’encadrement en valeur absolue

3.Applique l’inégalité

4.Passe au contraire pour minorer

5.Détermine une taille d’échantillon

6.Interprète en contexte

Exemples

1.Majorer et minorer une probabilité

2.La moyenne d’un échantillon

3.Combien de mesures faut-il ?

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 1, question B.3.b

Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 1 — exercice 1, question B.2.b

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

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Sources

Dernier exercice.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Identifie la variable et ses paramètres

2.Transforme l’encadrement en valeur absolue

3.Applique l’inégalité

4.Passe au contraire pour minorer

5.Détermine une taille d’échantillon

6.Interprète en contexte

Exemples

1.Majorer et minorer une probabilité

2.La moyenne d’un échantillon

3.Combien de mesures faut-il ?

Une question du sujet

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À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

3.Combien de mesures faut-il ?