Comment justifier qu’une variable suit une loi binomiale ?

Rédige trois points : l’expérience répétée a deux issues, dont une est un succès de probabilité $p$ ; les $n$ répétitions sont identiques et indépendantes (par exemple un tirage avec remise) ; $X$ est le nombre de succès. Conclus avec les paramètres $n$ et $p$ donnés ou calculés.

À quoi sert le coefficient binomial ?

Il compte les chemins de l’arbre qui contiennent exactement $k$ succès parmi les $n$ répétitions. Chacun de ces chemins a la même probabilité $p^k (1 - p)^{n-k}$, d’où le produit dans la formule. La calculatrice le donne, mais sa valeur doit rester cohérente : $\dbinom{n}{0} = 1$ et $\dbinom{n}{n} = 1$.

Comment calculer $P(X \leqslant k)$ à la calculatrice ?

Utilise la fonction de probabilité cumulée de ta calculatrice, avec le nombre d’épreuves $n$, la probabilité $p$ et la borne $k$. Pour un intervalle, soustrais deux valeurs cumulées : $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$.

Comment trouver le plus petit $n$ qui atteint un seuil ?

Écris la probabilité demandée en fonction de $n$, par exemple $1 - (1 - p)^n \geqslant 0{,}99$. Résous l’inéquation avec un tableau de valeurs, un algorithme ou le logarithme népérien, puis réponds par un entier. Vérifie le résultat avec $n$ et $n - 1$.

Que représente l’espérance d’une loi binomiale ?

Si on répète un grand nombre de fois la série de $n$ épreuves, la moyenne du nombre de succès se rapproche de $E(X) = np$. Ce n’est pas forcément une valeur que $X$ prend : avec $n = 10$ et $p = 0{,}25$, on trouve $2{,}5$.

Où la loi binomiale tombe-t-elle au bac ?

Dans l’exercice de probabilités, après un arbre pondéré : il faut préciser les paramètres, calculer une probabilité, puis déterminer une espérance ou un seuil. Elle revient aussi avec les sommes de variables aléatoires et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Bac 2027 · spécialité mathématiques

Loi binomiale : schéma de Bernoulli, probabilités, espérance et seuil

La loi binomiale compte les succès dans une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Elle se justifie en trois phrases, se calcule à la calculatrice, et sert à trouver une probabilité, une espérance ou la taille d’échantillon qu’il faut pour atteindre un seuil. Tu trouves ici l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions de sujets du bac 2026 avec leur corrigé.

Au bac : dans 25 des 36 sujets de 2024 à 2026, en métropole comme dans les autres centres

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l’échec $\overline{S}$ , de probabilité $1 - p$ .
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli. Le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n \mathrel{;} p)$ .
Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ , $P(X = k) ={}$ $\dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$ . Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ est le nombre de chemins de l’arbre qui comptent exactement $k$ succès ; la calculatrice le donne.
$E(X) = np$ , $V(X) = np(1 - p)$ et $\sigma(X) ={}$ $\sqrt{np(1 - p)}$ .
Les probabilités cumulées se lisent à la calculatrice : $P(X \leqslant k)$ . On en déduit $P(X \geqslant k) ={}$ $1 - P(X \leqslant k - 1)$ et $P(a \leqslant X \leqslant b) ={}$ $P(X \leqslant b) -{}$ $P(X \leqslant a - 1)$ .
« Au moins un succès » se calcule avec l’événement contraire : $P(X \geqslant 1) ={}$ $1 - P(X = 0)$ , soit $1 - (1 - p)^n$ . Pour atteindre un seuil, on résout l’inéquation en $n$ : tableau de valeurs, algorithme, ou logarithme népérien.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Justifie que $X$ suit une loi binomiale
Écris trois idées : chaque répétition a deux issues (succès de probabilité $p$ ) ; les répétitions sont identiques et indépendantes (tirage avec remise, ou population assez grande pour l’assimiler) ; $X$ compte les succès. Conclus par « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \ldots$ et $p = \ldots$ ».
2.Traduis la question en événement
« Exactement $k$ » est $P(X = k)$  ; « au plus $k$ » est $P(X \leqslant k)$  ; « au moins $k$ » est $P(X \geqslant k)$  ; « strictement plus de $k$ » est $P(X \geqslant k + 1)$ . Écris l’événement avec $X$ avant de calculer.
3.Calcule à la calculatrice
Utilise la fonction de la loi binomiale pour $P(X = k)$ ou la fonction cumulée pour $P(X \leqslant k)$ . Pour un événement « au moins », passe par le contraire. Arrondis comme le demande l’énoncé.
4.Donne l’espérance et la variance
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ . Interprète $E(X)$ en contexte : c’est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions de la série de $n$ épreuves.
5.Cherche un seuil
Pose l’inéquation, par exemple $1 -{}$ $(1 - p)^n \geqslant 0{,}95$ , isole $(1 - p)^n$ , puis compare avec un tableau de valeurs à la calculatrice ou résous avec $\ln$ . Réponds par le plus petit entier, et vérifie-le avec $n$ et $n - 1$ .

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Justifier la loi et calculer une probabilité
Un test de 10 questions propose pour chacune quatre réponses, dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions, indépendamment les unes des autres. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. Justifie que $X$ suit une loi binomiale, puis calcule $P(X = 3)$ à $10^{-3}$ près.
2.« Au moins un », espérance et variance
On reprend le test de l’exemple 1. Calcule la probabilité d’avoir au moins une bonne réponse, à $10^{-3}$ près, puis l’espérance, la variance et l’écart type de $X$ .
3.Trouver un seuil
Une machine fabrique des pièces dont 20 % sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève $n$ pièces. Détermine le plus petit entier $n$ pour lequel la probabilité d’obtenir au moins une pièce défectueuse est supérieure ou égale à $0{,}95$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Amérique du Nord, jour 1 — exercice 1, question B.1

Exercice 1 — Partie B

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d’abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne » qu’on peut activer pour chaque type d’abonnement et qui permet de télécharger de la musique. Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d’établir que : • 25 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l’abonnement « Famille » ; • 45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l’option « Écoute hors-ligne » ; • 30 % des abonnés « Classique » ont activé l’option « Écoute hors-ligne » ; • 12 % des abonnés ont choisi l’abonnement « Famille » et ont activé l’option « Écoute hors-ligne ». On prélève au hasard le profil d’un abonné et on considère les événements suivants : •

E

: l’abonné a choisi l’abonnement « Étudiant » ; •

C

: l’abonné a choisi l’abonnement « Classique » ; •

F

: l’abonné a choisi l’abonnement « Famille » ; •

H

: l’abonné a activé l’option « Écoute hors-ligne ». On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante. On considère qu’il y a suffisamment d’abonnés pour que ce choix soit assimilé à un tirage avec remise. On rappelle que la probabilité qu’un abonné ait activé l’option « Écoute hors-ligne » est de

0{,}4125

. On note

X

la variable aléatoire donnant le nombre d’abonnés ayant activé l’option « Écoute hors-ligne ».

Question B.1

1. On admet que la variable aléatoire

X

suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Amérique du Nord, jour 1, exercice 1, question B.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Asie, jour 1 — exercice 2, question 3

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation.

Question 3

3. Soit

p

un nombre réel tel que

0 < p < 1

. On considère une variable aléatoire

X

qui suit la loi binomiale de paramètres

3

p

. On note

P(X = 1)

la probabilité de l’évènement

(X = 1)

. Affirmation 3 :

P(X = 1) ={}

3p - 6p^2 + 3p^3

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Asie, jour 1, exercice 2, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Vu en première

les bases de première

En première, la loi binomiale n’est pas au programme. Ce que tu y as appris la prépare : l’arbre pondéré, la formule des probabilités totales et l’indépendance de deux événements. Une loi binomiale n’est qu’un arbre répété

n

fois, dont on compte les chemins qui ont exactement

k

succès.

Pour

n = 3

par exemple, l’événement « un seul succès » correspond à trois chemins (succès au premier, au deuxième ou au troisième tirage), chacun de probabilité

p(1 - p)^2

: on retrouve

\dbinom{3}{1} p (1 - p)^2

. Si les arbres pondérés te posent encore problème, commence par la page sur les probabilités conditionnelles.

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Probabilités — Pour revoir ce qu’est une probabilité et comment on la calcule dans une expérience simple, relis la page du brevet sur les probabilités.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

On admet que la variable aléatoire

X

suit la loi binomiale

\mathcal{B}(12 \mathrel{;} 0{,}69)

. Calculer

P(X = 9)

. Donner une valeur arrondie à

10^{-3}

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Dans une ruche, 60 % des abeilles sont des butineuses. On prélève au hasard

45

abeilles de la ruche ; la colonie est assez nombreuse pour que ce prélèvement soit assimilé à

45

tirages successifs avec remise. On note

X

le nombre de butineuses parmi les

45

abeilles prélevées. Calculer la probabilité que strictement plus de

21

abeilles prélevées soient des butineuses. Donner une valeur arrondie à

10^{-3}

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Une boulangerie cache une fève en or dans 10 % de ses galettes. Un client achète

n

galettes ; la production est assez importante pour que cet achat soit assimilé à

n

tirages successifs avec remise. Déterminer le plus petit entier naturel

n

tel que la probabilité que le client obtienne au moins une fève en or soit supérieure ou égale à

0{,}9

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Une newsletter est envoyée à

266

abonnés. Chaque abonné l’ouvre avec la probabilité

0{,}56

, indépendamment des autres. On note

X

le nombre d’abonnés qui ouvrent cette newsletter. Calculer l’espérance

E(X)

et la variance

V(X)

E(X) =

V(X) =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu appliques la loi binomiale sans justifier. Sans l’indépendance des répétitions et la même probabilité de succès à chaque fois, la loi n’est pas binomiale : un tirage sans remise dans une petite urne ne donne pas une loi binomiale.
Tu confonds $P(X \geqslant k)$ et $1 - P(X \leqslant k)$ . Le contraire de « au moins $k$ » est « au plus $k - 1$ » : $P(X \geqslant 3) ={}$ $1 - P(X \leqslant 2)$ , pas $1 - P(X \leqslant 3)$ .
Tu lis « strictement plus de $k$ » comme $P(X \geqslant k)$ . Strictement plus de $k$ signifie au moins $k + 1$ : l’événement est $X \geqslant k + 1$ .
Tu oublies le coefficient binomial. $P(X = 3)$ vaut $\dbinom{10}{3} 0{,}25^3 \, 0{,}75^7$ avec $\dbinom{10}{3} = 120$  ; sans lui, tu ne calcules que la probabilité d’un seul chemin.
Tu arrondis trop tôt. Garde les valeurs de la calculatrice jusqu’au résultat final, puis arrondis comme l’énoncé le demande : $0{,}2503$ s’écrit $0{,}250$ à $10^{-3}$ près.

À retenir

$X \sim \mathcal{B}(n \mathrel{;} p)$ : $P(X = k) ={}$ $\dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$ .
$E(X) = np$ , $V(X) = np(1 - p)$ .
$P(X \geqslant 1) ={}$ $1 - (1 - p)^n$ .
Justifie toujours : deux issues, même $p$ , répétitions indépendantes.
« Au moins $k$ » : passe par le contraire.

Questions fréquentes

1.Comment justifier qu’une variable suit une loi binomiale ?+
Réponse :Rédige trois points : l’expérience répétée a deux issues, dont une est un succès de probabilité $p$  ; les $n$ répétitions sont identiques et indépendantes (par exemple un tirage avec remise) ; $X$ est le nombre de succès. Conclus avec les paramètres $n$ et $p$ donnés ou calculés.
2.À quoi sert le coefficient binomial ?+
Réponse :Il compte les chemins de l’arbre qui contiennent exactement $k$ succès parmi les $n$ répétitions. Chacun de ces chemins a la même probabilité $p^k (1 - p)^{n-k}$ , d’où le produit dans la formule. La calculatrice le donne, mais sa valeur doit rester cohérente : $\dbinom{n}{0} = 1$ et $\dbinom{n}{n} = 1$ .
3.Comment calculer $P(X \leqslant k)$ à la calculatrice ?+
Réponse :Utilise la fonction de probabilité cumulée de ta calculatrice, avec le nombre d’épreuves $n$ , la probabilité $p$ et la borne $k$ . Pour un intervalle, soustrais deux valeurs cumulées : $P(a \leqslant X \leqslant b) ={}$ $P(X \leqslant b) -{}$ $P(X \leqslant a - 1)$ .
4.Comment trouver le plus petit $n$ qui atteint un seuil ?+
Réponse :Écris la probabilité demandée en fonction de $n$ , par exemple $1 -{}$ $(1 - p)^n \geqslant 0{,}99$ . Résous l’inéquation avec un tableau de valeurs, un algorithme ou le logarithme népérien, puis réponds par un entier. Vérifie le résultat avec $n$ et $n - 1$ .
5.Que représente l’espérance d’une loi binomiale ?+
Réponse :Si on répète un grand nombre de fois la série de $n$ épreuves, la moyenne du nombre de succès se rapproche de $E(X) = np$ . Ce n’est pas forcément une valeur que $X$ prend : avec $n = 10$ et $p = 0{,}25$ , on trouve $2{,}5$ .
6.Où la loi binomiale tombe-t-elle au bac ?+
Réponse :Dans l’exercice de probabilités, après un arbre pondéré : il faut préciser les paramètres, calculer une probabilité, puis déterminer une espérance ou un seuil. Elle revient aussi avec les sommes de variables aléatoires et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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Loi binomiale : schéma de Bernoulli, probabilités, espérance et seuil

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Justifie que XXX suit une loi binomiale

2.Traduis la question en événement

3.Calcule à la calculatrice

4.Donne l’espérance et la variance

5.Cherche un seuil

Exemples

1.Justifier la loi et calculer une probabilité

2.« Au moins un », espérance et variance

3.Trouver un seuil

Une question du sujet

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

1.Justifie que $X$ suit une loi binomiale