Quelle est la différence entre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ ?

$P(A \cap B)$ est la probabilité que les deux événements soient réalisés, calculée dans toute la population. $P_A(B)$ se calcule dans la partie de la population où $A$ est réalisé : c’est $P(A \cap B)$ divisé par $P(A)$. Elle n’est donc jamais plus petite que $P(A \cap B)$.

Comment lire une probabilité conditionnelle dans un énoncé ?

Cherche les mots « parmi », « sachant que », « dans le cas où », « si on choisit un élève qui est… ». Ils annoncent une restriction à une partie de la population. Un pourcentage de « l’ensemble » ou « des clients » est au contraire une probabilité simple.

Quand faut-il utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand on connaît la probabilité d’un événement $B$ à l’intérieur de chaque cas d’une partition ($A$ et $\overline{A}$) et qu’on veut la probabilité de $B$ tout seul. Sur l’arbre, on additionne les produits de tous les chemins qui aboutissent à $B$.

Comment vérifier que deux événements sont indépendants ?

Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$, puis compare $P(A \cap B)$ à $P(A) \times P(B)$. L’égalité exacte donne l’indépendance. Tu peux aussi comparer $P_A(B)$ à $P(B)$. Un seul écart, même petit, suffit à conclure que les événements ne sont pas indépendants.

Pourquoi les branches d’un même nœud ont-elles pour somme 1 ?

À chaque nœud, on se place dans l’un des deux cas ($B$ ou $\overline{B}$) et il n’y en a pas d’autre. Les probabilités conditionnelles de ces deux cas, calculées avec la même condition, ont donc pour somme $1$. C’est ce qui permet de compléter une branche manquante par $1 - p$.

Comment le sujet de l’épreuve anticipée utilise-t-il ces notions ?

Dans les sujets de juin 2026, elles apparaissent sous forme de questions courtes (lire un arbre, compléter une probabilité, comparer des effectifs dans un tableau) et dans un exercice complet : on complète l’arbre, on calcule une intersection, une probabilité totale, puis une probabilité conditionnelle, comme dans les questions 3 et 5 du sujet de spécialité de Métropole.

Épreuve anticipée 2027 · mathématiques

Probabilités conditionnelles : arbre pondéré, probabilités totales et indépendance

Une probabilité conditionnelle mesure la chance d’un événement quand on sait qu’un autre est réalisé. Elle se lit sur un arbre pondéré, se calcule avec un quotient et sert à additionner les chemins d’un arbre (probabilités totales). Elle revient dans les trois voies de l’épreuve anticipée et au bac. Tu trouves ici l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et trois questions de sujets de 2026 avec leur corrigé.

Épreuve anticipée, spécialité : dans 6 des 7 sujets de juin 2026 ; sans spécialité : dans chacun des 7 sujets ; voie technologique : dans chacun des 6 sujets ; au bac : dans 29 des 36 sujets

Programme

Programme de spécialité de première (2026)

Probabilités et statistiques · Probabilités conditionnelles et indépendance
Automatismes · Probabilités

Programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (2026)

Contenus d’enseignement · Phénomènes aléatoires
Automatismes · Probabilités

Programme de première technologique (2026)

Statistiques et probabilités · Probabilités conditionnelles : indépendance
Automatismes · Probabilités

sujets : dans 6 des 7 sujets de juin 2026

À l’épreuve anticipée, la calculatrice est interdite pendant toute l’épreuve : entraîne-toi à calculer à la main.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans 6 des 7 sujets de juin 2026
- Probabilités conditionnelles et indépendance
- Probabilités
Questions : Amérique du Nord : A.5, 1.A.1 · Antilles-Guyane : 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 · Asie : A.4, A.5 · Centres étrangers : A.1, A.7 · Métropole, sujet 1 : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 · Polynésie : 1.A.1, 1.A.2, 1.A.3, 1.A.4
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, sans spécialité
dans chacun des 7 sujets de juin 2026
- Phénomènes aléatoires
- Probabilités
Questions : Amérique du Nord : 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 · Antilles-Guyane : 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 · Asie : A.10, 1.3 · Centres étrangers : A.11, A.12, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 · Métropole, sujet 1 : 1.2, 1.3, 1.4.a, 1.4.b, 1.4.c · Métropole, sujet 2 : A.6, 1.1.a, 1.1.b, 1.1.c, 1.1.d, 1.2 · Polynésie : 2.2.a, 2.2.b, 2.2.c, 2.2.d, 2.2.e
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, voie technologique
dans chacun des 6 sujets de juin 2026
- Probabilités conditionnelles : indépendance
- Probabilités
Questions : Antilles-Guyane : A.12, 2.1, 2.2, 2.3 · Asie : 2.1, 2.2, 2.3 · Centres étrangers : A.4, 1.4.a, 1.4.b · Métropole, sujet 1 : A.11, 3.3 · Métropole, sujet 2 : 1.4 · Polynésie : A.7, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Bac, spécialité mathématiques
dans 29 des 36 sujets de 2024 à 2026
- Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
dont 4 des 6 sujets de métropole
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Si $P(A) \neq 0$ , la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) ={}$ $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : c’est la probabilité de $B$ quand on sait que $A$ est réalisé.
On en tire $P(A \cap B) ={}$ $P(A) \times P_A(B)$ . Sur un arbre pondéré, on multiplie donc les probabilités rencontrées le long d’un chemin.
Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut $1$ : $P_A(\overline{B}) ={}$ $1 - P_A(B)$ .
Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne $P(B) ={}$ $P(A \cap B) +{}$ $P(\overline{A} \cap B)$ : on additionne les chemins de l’arbre qui mènent à $B$ .
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants quand $P(A \cap B) ={}$ $P(A) \times P(B)$ . Si $P(A) \neq 0$ , cela revient à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ .
Dans un tableau croisé d’effectifs, $P_A(B)$ est l’effectif de « $A$ et $B$ » divisé par l’effectif total de $A$ (une ligne ou une colonne du tableau), pas par l’effectif de toute la population.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Nomme les événements
Écris chaque événement avec une lettre et une phrase : $D$ : « l’élève est demi-pensionnaire ». Précise aussi les contraires $\overline{D}$ . Une erreur de lettre fausse tout le reste du calcul.
2.Traduis l’énoncé en probabilités
« Parmi les élèves de $A$ , 30 % … » est une probabilité conditionnelle $P_A(B) = 0{,}3$ . « 30 % de l’ensemble … » est une probabilité simple $P(B) = 0{,}3$ . Convertis les pourcentages en décimaux.
3.Dessine l’arbre pondéré
Place d’abord l’événement dont tu connais la probabilité simple, puis les branches conditionnelles. Complète chaque nœud avec « $1 -$ » pour obtenir les branches contraires.
4.Multiplie, puis additionne
Pour une intersection $P(A \cap B)$ , multiplie le long du chemin. Pour $P(B)$ , additionne les produits de tous les chemins qui finissent en $B$ : c’est la formule des probabilités totales.
5.Divise pour « sachant que »
Pour $P_B(A)$ , écris $\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , avec l’intersection au numérateur et la probabilité de l’événement donné au dénominateur. Elle est différente de $P_A(B)$ en général.
6.Vérifie
Chaque probabilité est comprise entre $0$ et $1$ . Les branches d’un même nœud ont pour somme $1$ , et les chemins complets aussi. Relis la phrase de l’énoncé pour être sûr que tu réponds à la bonne question.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Compléter un arbre et appliquer les probabilités totales
Dans un lycée, 45 % des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, 80 % prennent le bus ; parmi les autres élèves, 30 % le prennent. On choisit un élève au hasard. On note $D$ l’événement « l’élève est demi-pensionnaire » et $B$ l’événement « l’élève prend le bus ». Dessine l’arbre pondéré, puis calcule $P(D \cap B)$ et $P(B)$ .
2.Retourner le conditionnement
On reprend le lycée de l’exemple 1. On rencontre un élève qui prend le bus. Quelle est la probabilité qu’il soit demi-pensionnaire ? Arrondis à $10^{-3}$ .
3.Deux événements sont-ils indépendants ?
Un lycée compte 100 filles et 100 garçons. Parmi eux, 60 filles et 40 garçons étudient l’espagnol. On choisit un élève au hasard. On note $F$ l’événement « l’élève est une fille » et $E$ l’événement « l’élève étudie l’espagnol ». Les événements $F$ et $E$ sont-ils indépendants ?

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 1, question 3

Exercice 1

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes. • 60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique. • Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance. • 20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance. On choisit un client au hasard et on note les événements :

T

: « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;

A

: « le client a pris une assurance ».

Question 3

3. Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu’il ait pris une assurance est égale à

0{,}15

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 1, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 1 — exercice 1, question 5

Exercice 1

T

: « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;

A

: « le client a pris une assurance ».

Question 5

5. Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu’il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, exercice 1, question 5 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

En terminale

ce que demande le bac

En terminale, les outils sont les mêmes : arbre pondéré, probabilités totales, indépendance. Ce qui change, c’est l’usage. Les sujets du bac demandent souvent de retourner le conditionnement, c’est-à-dire de passer de

P_A(B)

, lue sur l’arbre, à

P_B(A)

, par un quotient. Les probabilités conditionnelles servent aussi à justifier que deux événements ne sont pas indépendants.

Au bac, l’arbre se prolonge : on répète la même épreuve de façon indépendante, et le nombre de succès suit une loi binomiale. Cela suppose d’être à l’aise avec les chemins d’un arbre et leurs produits ; la page sur la loi binomiale part de là.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 1, question A.3

Exercice 1 — Partie A

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d’une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu’un emplacement pour un véhicule. Parmi l’ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que 30 % réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, 80 % réservent une cabine. On sait par ailleurs que 75 % des familles effectuant la traversée réservent une cabine. On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants : •

V

: « la famille réserve un emplacement pour un véhicule » ; •

C

: « la famille réserve une cabine ». Pour un événement quelconque

E

, on désigne par

\overline{E}

son évènement contraire et par

P(E)

sa probabilité.

Question A.3

3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu’elle réserve un emplacement pour un véhicule.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 1, question A.3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Probabilités — Si la notion de probabilité d’un événement à une étape te paraît lointaine, revois la page du brevet sur les probabilités.
Pourcentages — Pour passer sans erreur de « 30 % » à $0{,}3$ , revois la page du brevet sur les pourcentages.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

On considère deux événements

A

B

, et l’arbre pondéré ci-dessous. Calculer

P_B(A)

. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

sans spécialité

Question 2.

Le tableau ci-dessous répartit les visiteurs d’une médiathèque.

Visiteurs	Groupe	Individuel	Total
Avec réservation	$100$	$30$	$130$
Sans réservation	$85$	$30$	$115$
Total	$185$	$60$	$245$

On choisit un visiteur au hasard. On note

A

l’événement « le visiteur a réservé » et

B

l’événement « le visiteur vient en groupe ». Calculer

P_A(B)

. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 3.

Les événements

A

B

sont indépendants, avec

P(A) = 0{,}2

P(B) = 0{,}3

. Calculer

P(A \cup B)

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 4.

Le tableau ci-dessous donne la répartition des achats d’aspirateurs d’un magasin d’électroménager.

	Avec sac	Sans sac	Total
Avec fil	$102$	$58$	$160$
Sans fil	$20$	$70$	$90$
Total	$122$	$128$	$250$

On interroge au hasard un client parmi ceux qui ont acheté un aspirateur sans fil. La probabilité que ce client ait acheté un aspirateur avec sac est :

QCM de juin 2026 — Épreuve anticipée de mathématiques 2026, voie technologique, Métropole, sujet 1, automatismes, question 11 — corrigé Kleksa (non officiel)

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu confonds $P_A(B)$ et $P_B(A)$ . Dans l’exemple du bus, $P_D(B) = 0{,}8$ mais $P_B(D) ={}$ $\dfrac{24}{35}$ : le dénominateur est la probabilité de l’événement qu’on suppose réalisé.
Tu additionnes au lieu de multiplier le long d’un chemin. Sur un arbre, on multiplie les branches d’un même chemin et on additionne ensuite les chemins qui mènent au même événement.
Tu oublies un chemin dans les probabilités totales. Pour $P(B)$ , il faut tous les chemins qui finissent en $B$ : ici $0{,}36 + 0{,}165$ , pas seulement $0{,}36$ .
Tu crois que « disjoints » veut dire « indépendants ». Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : $P(A \cap B) = 0$ alors que $P(A) \times P(B) \neq 0$ .
Dans un tableau croisé, tu divises par l’effectif total au lieu de l’effectif de la ligne ou de la colonne donnée. Pour « sachant que », le dénominateur est celui de l’événement donné.

À retenir

$P_A(B) ={}$ $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ et $P(A \cap B) ={}$ $P(A) \times P_A(B)$ .
Sur un arbre : on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins.
Les branches d’un même nœud ont pour somme $1$ .
$P(B) ={}$ $P(A \cap B) +{}$ $P(\overline{A} \cap B)$ .
Indépendance : $P(A \cap B) ={}$ $P(A) \times P(B)$ .

Questions fréquentes

1.Quelle est la différence entre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$  ?+
Réponse : $P(A \cap B)$ est la probabilité que les deux événements soient réalisés, calculée dans toute la population. $P_A(B)$ se calcule dans la partie de la population où $A$ est réalisé : c’est $P(A \cap B)$ divisé par $P(A)$ . Elle n’est donc jamais plus petite que $P(A \cap B)$ .
2.Comment lire une probabilité conditionnelle dans un énoncé ?+
Réponse :Cherche les mots « parmi », « sachant que », « dans le cas où », « si on choisit un élève qui est… ». Ils annoncent une restriction à une partie de la population. Un pourcentage de « l’ensemble » ou « des clients » est au contraire une probabilité simple.
3.Quand faut-il utiliser la formule des probabilités totales ?+
Réponse :Quand on connaît la probabilité d’un événement $B$ à l’intérieur de chaque cas d’une partition ( $A$ et $\overline{A}$ ) et qu’on veut la probabilité de $B$ tout seul. Sur l’arbre, on additionne les produits de tous les chemins qui aboutissent à $B$ .
4.Comment vérifier que deux événements sont indépendants ?+
Réponse :Calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ , puis compare $P(A \cap B)$ à $P(A) \times P(B)$ . L’égalité exacte donne l’indépendance. Tu peux aussi comparer $P_A(B)$ à $P(B)$ . Un seul écart, même petit, suffit à conclure que les événements ne sont pas indépendants.
5.Pourquoi les branches d’un même nœud ont-elles pour somme 1 ?+
Réponse :À chaque nœud, on se place dans l’un des deux cas ( $B$ ou $\overline{B}$ ) et il n’y en a pas d’autre. Les probabilités conditionnelles de ces deux cas, calculées avec la même condition, ont donc pour somme $1$ . C’est ce qui permet de compléter une branche manquante par $1 - p$ .
6.Comment le sujet de l’épreuve anticipée utilise-t-il ces notions ?+
Réponse :Dans les sujets de juin 2026, elles apparaissent sous forme de questions courtes (lire un arbre, compléter une probabilité, comparer des effectifs dans un tableau) et dans un exercice complet : on complète l’arbre, on calcule une intersection, une probabilité totale, puis une probabilité conditionnelle, comme dans les questions 3 et 5 du sujet de spécialité de Métropole.

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

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Probabilités conditionnelles : arbre pondéré, probabilités totales et indépendance

Selon ta voie

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Nomme les événements

2.Traduis l’énoncé en probabilités

3.Dessine l’arbre pondéré

4.Multiplie, puis additionne

5.Divise pour « sachant que »

6.Vérifie

Exemples

1.Compléter un arbre et appliquer les probabilités totales

2.Retourner le conditionnement

3.Deux événements sont-ils indépendants ?

Une question du sujet

En terminale

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

3.Deux événements sont-ils indépendants ?