Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire ?

C’est la valeur moyenne que prend la variable si on répète l’expérience un très grand nombre de fois. Elle se calcule en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant. Elle n’est pas forcément une valeur que la variable peut prendre : l’espérance d’un lancer de dé est $3{,}5$.

Comment interpréter une espérance négative ?

Pour un gain algébrique, une espérance négative signifie que le jeu est défavorable au joueur : sur un grand nombre de parties, il perd en moyenne cette somme par partie. Une espérance nulle correspond à un jeu équitable, une espérance positive à un jeu favorable.

Que faire quand une probabilité de la loi est manquante ?

Utilise le fait que la somme de toutes les probabilités vaut $1$ : écris par exemple l’équation $p + 0{,}12 + 0{,}26 + 0{,}4 = 1$ et résous-la. Vérifie ensuite que le résultat est compris entre $0$ et $1$, sinon il y a une erreur dans la lecture du tableau.

Que doit-on savoir en voie technologique ?

En voie technologique, on travaille avec la loi de probabilité, l’espérance et la loi de Bernoulli. La variance et l’écart type ne sont au programme que de la spécialité (en première, puis en terminale) : ne les cherche pas dans un sujet de la voie technologique.

Comment calculer la variance en spécialité ?

En spécialité, calcule d’abord $E(X^2)$ avec les carrés des valeurs, puis retranche le carré de l’espérance : $V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$. L’écart type est la racine carrée de la variance. Une variance ne peut jamais être négative : si tu trouves un nombre négatif, recommence.

Comment une variable aléatoire apparaît-elle dans le sujet ?

Souvent dans un jeu : le sujet décrit une mise, des récompenses et un tirage, puis demande la loi du gain, son espérance et une interprétation. Dans les sujets de juin 2026, elle est demandée sous cette forme en spécialité (jeu de la fête foraine) et en voie technologique (nombre de pièces des logements).

Variables aléatoires : loi, espérance, variance — épreuve anticipée

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans 2 des 7 sujets de juin 2026
- Variables aléatoires réelles
Questions : Amérique du Nord : 1.A.2.a, 1.A.2.b, 1.A.2.c, 1.A.2.d, 1.B.1 · Antilles-Guyane : 2.5.a, 2.5.b
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, voie technologique
dans 1 des 6 sujets de juin 2026
- Variables aléatoires
Questions : Antilles-Guyane : 2.4.a, 2.4.b, 2.4.c
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Bac, spécialité mathématiques
dans 25 des 36 sujets de 2024 à 2026
- Sommes de variables aléatoires
dont 5 des 6 sujets de métropole
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire. L’événement « $X$ prend la valeur $x_i$ » se note $(X = x_i)$ et sa probabilité $P(X = x_i)$ .
Sa loi de probabilité donne, dans un tableau, chaque valeur $x_i$ avec sa probabilité $p_i = P(X = x_i)$ . Les probabilités sont comprises entre $0$ et $1$ et leur somme vaut $1$ : $p_1 + p_2 + \cdots + p_n ={}$ $1$ .
L’espérance est $E(X) ={}$ $x_1 p_1 +{}$ $x_2 p_2 +{}$ $\cdots + x_n p_n$ : la moyenne des valeurs, pondérées par leurs probabilités. Elle donne la valeur moyenne obtenue sur un très grand nombre de répétitions, pas la valeur de la prochaine.
Pour un gain algébrique (somme reçue moins mise), le jeu est équitable si $E(X) = 0$ , favorable au joueur si $E(X) > 0$ et défavorable si $E(X) < 0$ .
Une variable de Bernoulli de paramètre $p$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $p$ (succès) et la valeur $0$ avec la probabilité $1 - p$ : son espérance est $E(X) = p$ .
En spécialité, on connaît aussi la linéarité de l’espérance, $E(aX + b) ={}$ $a\,E(X) + b$ , la variance $V(X) ={}$ $E(X^2) -{}$ $\big(E(X)\big)^2$ et l’écart type $\sigma(X) ={}$ $\sqrt{V(X)}$ . Ils mesurent la dispersion des valeurs autour de l’espérance. La variance et l’écart type ne sont pas au programme de la voie technologique.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Liste les valeurs possibles
Pour un gain algébrique, calcule pour chaque issue : somme reçue moins mise. Range les valeurs dans l’ordre croissant. Ne mélange pas le gain et la somme reçue : la mise change toutes les valeurs.
2.Calcule les probabilités
Pour chaque valeur $x_i$ , détermine l’événement $(X = x_i)$ puis sa probabilité avec un arbre pondéré, un tableau ou un dénombrement. Regroupe les issues qui donnent la même valeur : leurs probabilités s’additionnent.
3.Écris la loi dans un tableau
Ligne des $x_i$ , ligne des $P(X = x_i)$ . Vérifie que les probabilités ont pour somme $1$ : c’est le test le plus rapide, et il permet de retrouver une probabilité manquante.
4.Calcule l’espérance
Multiplie chaque valeur par sa probabilité et additionne, sans oublier les valeurs négatives. Interprète ensuite : « sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne … euros par partie », avec l’unité.
5.Spécialité : calcule la variance
Calcule $E(X^2) ={}$ $x_1^2 p_1 +{}$ $\cdots + x_n^2 p_n$ , puis $V(X) ={}$ $E(X^2) -{}$ $\big(E(X)\big)^2$ et $\sigma(X) ={}$ $\sqrt{V(X)}$ . Le carré s’applique aux valeurs, pas aux probabilités.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Loi et espérance d’un jeu de dé
Pour jouer, on paie une mise de $1{,}5$ euro, puis on lance un dé équilibré à six faces. Si le dé donne $6$ , on reçoit $5$ euros ; s’il donne $1$ ou $2$ , on reçoit $1$ euro ; sinon, on ne reçoit rien. Soit $X$ le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la somme reçue moins la mise. Détermine la loi de $X$ et calcule $E(X)$ .
2.Trouver la mise d’un jeu équitable
Dans le jeu de l’exemple 1, quelle mise $m$ rend le jeu équitable ?
3.Variance et écart type en spécialité
En spécialité : une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ avec les probabilités $0{,}1$ , $0{,}4$ , $0{,}3$ et $0{,}2$ . Calcule son espérance, sa variance et son écart type.

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Amérique du Nord — exercice 1, question A.2.d

Exercice 1 — Partie A

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher. Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d’abord payer 1 euro. Ensuite, • le joueur tire une première boule qu’il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ; • le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne. Voici les récompenses qu’il obtient : • si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ; • si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ; • sinon il ne reçoit pas d’argent. Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes. On note : •

R_1

l’événement : « La première boule tirée est rouge. » •

R_2

l’événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »

Question A.2.d

2. On note

X

la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro. d. Calculer l’espérance de

X

. Interpréter le résultat.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Amérique du Nord, exercice 1, question A.2.d (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetvoie technologique

Épreuve anticipée 2026, voie technologique, Antilles-Guyane — exercice 2, question 4.c

Exercice 2

En France, en 2021, une étude portant sur 100 personnes locataires du parc social (HLM) montre que : • 70 sont des personnes qui ne vivent pas en couple et parmi elles, la moitié est sans enfant ; • Parmi les personnes vivant en couple, 12 n’ont pas d’enfant.

	sans enfant	au moins un enfant	Total
personne vivant en couple	12	18	30
personne ne vivant pas en couple	35	35	70
Total	47	53	100

On interroge une de ces personnes au hasard et on considère les évènements suivants : –

C

: « la personne vit en couple » ; –

E

: « la personne a au moins un enfant ».

Question 4.c

4. Dans cette question, on s’intéresse au nombre de pièces par logement dans le parc social. Une autre étude donne la répartition suivante : 8% des logements possèdent 5 pièces, 25% ont 4 pièces, 40% ont 3 pièces, 20% ont deux pièces et 7% ont une seule pièce. On choisit un logement au hasard et on note

X

la variable aléatoire associant à chaque logement, son nombre de pièce(s). c) Montrer que

E(X) = 3{,}07

. Interpréter ce résultat.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, voie technologique, Antilles-Guyane, exercice 2, question 4.c (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

En terminale

ce que demande le bac

En terminale, on passe de la variable aléatoire seule à des sommes de variables aléatoires. La linéarité de l’espérance donne

E(X + Y) ={}

E(X) + E(Y)

pour des variables quelconques, et la variance s’additionne pour des variables indépendantes :

V(X + Y) ={}

V(X) + V(Y)

. Le sujet du bac donne souvent la loi d’une variable

X

et demande d’en justifier l’espérance et la variance, comme la question citée ci-dessous.

Au bac, on étudie aussi la moyenne

M_n ={}

\dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}

de

n

variables indépendantes de même loi :

E(M_n) = E(X)

et

V(M_n) ={}

\dfrac{V(X)}{n}

. C’est le point de départ de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et de la loi des grands nombres, qui ont chacune leur page.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 1, question B.1

Exercice 1 — Partie B

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d’une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu’un emplacement pour un véhicule. Sur ce trajet, la réservation d’une cabine et d’un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée. Ces suppléments sont d’un montant de : • 100 € pour une cabine ; • 70 € pour l’emplacement d’un véhicule. On suppose qu’une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule. À ces suppléments peuvent s’ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.). On note

X

la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de

X

.

$x_i$	$0$	$70$	$100$	$170$
$P(X = x_i)$	$0{,}19$	$0{,}06$	$0{,}51$	$0{,}24$

On note

Y

la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire

Y

a pour espérance

E(Y) = 104

et pour variance

V(Y) = 1686

. On suppose que les variables

X

et

Y

sont indépendantes.

Question B.1

1. Justifier que

E(X) = 96

et que

V(X) = 3114

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 1, question B.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Statistiques — Pour relire une moyenne pondérée dans un tableau d’effectifs, revois la page du brevet sur les statistiques.
Probabilités — Pour retrouver la probabilité d’une issue d’un tirage ou d’un lancer de dé, revois la page du brevet sur les probabilités.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

Une roue de loterie est partagée en secteurs ; le gain

X

, en euros, obtenu en la faisant tourner suit la loi ci-dessous, où

p

est un nombre réel.

$x_i$	$-3$	$0$	$2$	$15$
$P(X = x_i)$	$p$	$0{,}3$	$0{,}05$	$0{,}35$

Déterminer

p

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 2.

Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous.

$x_i$	$0$	$2$	$7$
$P(X = x_i)$	$0{,}05$	$0{,}5$	$0{,}45$

Calculer la variance

V(X)

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 3.

À une fête, un jeu rapporte

6

€ avec la probabilité

0{,}5

,

14

€ avec la probabilité

0{,}15

et

21

€ avec la probabilité

0{,}35

. Pour jouer, on paie une mise de

m

euros. Déterminer la mise

m

pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance du gain, mise déduite, soit nulle.

€

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 4.

Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous.

$x_i$	$-5$	$-2$	$1$	$5$
$P(X = x_i)$	$0{,}4$	$0{,}1$	$0{,}25$	$0{,}25$

Calculer l’espérance

E(X)

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 5.

Une variable aléatoire

X

suit la loi de probabilité donnée par le tableau ci-dessous.

$x_i$	$-5$	$-1$	$8$	$17$
$P(X = x_i)$	$0{,}15$	$0{,}6$	$0{,}2$	$0{,}05$

Calculer

P(X \geqslant -1)

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu oublies de retirer la mise. Avec une mise de $1{,}5$ euro et $5$ euros reçus, le gain algébrique est $3{,}5$ euros, pas $5$ : oublier la mise décale toutes les valeurs, et l’espérance avec elles.
Tu additionnes les valeurs au lieu de les pondérer. $E(X)$ n’est pas la moyenne simple de $0$ , $1$ , $2$ et $3$ : chaque valeur est multipliée par sa probabilité, ce qui donne $1{,}6$ dans l’exemple 3 et non $1{,}5$ .
Tu oublies que la somme des probabilités vaut $1$ . Une loi dont les probabilités ne s’additionnent pas à $1$ contient une erreur : vérifie avant de calculer l’espérance.
En spécialité, tu calcules $E(X^2)$ en élevant $E(X)$ au carré. $E(X^2)$ s’obtient avec les carrés des valeurs, et $E(X)^2$ est le carré de l’espérance : la variance est leur différence.
Tu interprètes l’espérance comme le résultat de la prochaine partie. Une espérance de $-\dfrac{1}{3}$ euro ne veut pas dire qu’on perd $\dfrac{1}{3}$ euro à chaque partie, mais qu’on perd cette somme en moyenne sur un grand nombre de parties.

À retenir

$E(X) ={}$ $x_1 p_1 +{}$ $\cdots + x_n p_n$  ; la somme des $p_i$ vaut $1$ .
Gain algébrique = somme reçue − mise ; jeu équitable si $E(X) = 0$ .
Interprète toujours une espérance en contexte, avec l’unité.
En spécialité : $V(X) ={}$ $E(X^2) -{}$ $\big(E(X)\big)^2$ et $\sigma(X) ={}$ $\sqrt{V(X)}$ .

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce que l’espérance d’une variable aléatoire ?+
Réponse :C’est la valeur moyenne que prend la variable si on répète l’expérience un très grand nombre de fois. Elle se calcule en multipliant chaque valeur par sa probabilité, puis en additionnant. Elle n’est pas forcément une valeur que la variable peut prendre : l’espérance d’un lancer de dé est $3{,}5$ .
2.Comment interpréter une espérance négative ?+
Réponse :Pour un gain algébrique, une espérance négative signifie que le jeu est défavorable au joueur : sur un grand nombre de parties, il perd en moyenne cette somme par partie. Une espérance nulle correspond à un jeu équitable, une espérance positive à un jeu favorable.
3.Que faire quand une probabilité de la loi est manquante ?+
Réponse :Utilise le fait que la somme de toutes les probabilités vaut $1$ : écris par exemple l’équation $p + 0{,}12 + 0{,}26 + 0{,}4 ={}$ $1$ et résous-la. Vérifie ensuite que le résultat est compris entre $0$ et $1$ , sinon il y a une erreur dans la lecture du tableau.
4.Que doit-on savoir en voie technologique ?+
Réponse :En voie technologique, on travaille avec la loi de probabilité, l’espérance et la loi de Bernoulli. La variance et l’écart type ne sont au programme que de la spécialité (en première, puis en terminale) : ne les cherche pas dans un sujet de la voie technologique.
5.Comment calculer la variance en spécialité ?+
Réponse :En spécialité, calcule d’abord $E(X^2)$ avec les carrés des valeurs, puis retranche le carré de l’espérance : $V(X) ={}$ $E(X^2) -{}$ $\big(E(X)\big)^2$ . L’écart type est la racine carrée de la variance. Une variance ne peut jamais être négative : si tu trouves un nombre négatif, recommence.
6.Comment une variable aléatoire apparaît-elle dans le sujet ?+
Réponse :Souvent dans un jeu : le sujet décrit une mise, des récompenses et un tirage, puis demande la loi du gain, son espérance et une interprétation. Dans les sujets de juin 2026, elle est demandée sous cette forme en spécialité (jeu de la fête foraine) et en voie technologique (nombre de pièces des logements).

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Variables aléatoires : loi de probabilité, espérance et variance

Selon ta voie

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Liste les valeurs possibles

2.Calcule les probabilités

3.Écris la loi dans un tableau

4.Calcule l’espérance

5.Spécialité : calcule la variance

Exemples

1.Loi et espérance d’un jeu de dé

2.Trouver la mise d’un jeu équitable

3.Variance et écart type en spécialité

Une question du sujet

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Amérique du Nord — exercice 1, question A.2.d

Épreuve anticipée 2026, voie technologique, Antilles-Guyane — exercice 2, question 4.c

En terminale

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 1, question B.1

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À retenir

Questions fréquentes

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