Comment savoir si l’ordre compte ?

Relis la situation : si échanger deux éléments donne un résultat différent (un code, un podium, un mot de passe), l’ordre compte. S’il s’agit d’un groupe, d’une équipe, d’un tirage simultané ou d’une main de cartes, l’ordre ne compte pas et on utilise une combinaison.

Quelle est la différence entre un $k$-uplet et un arrangement ?

Les deux sont des listes ordonnées de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments. Dans un $k$-uplet, les répétitions sont permises : $n^k$ listes. Dans un arrangement, les éléments sont deux à deux distincts : $n(n - 1) \cdots (n - k + 1)$ listes.

Pourquoi $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}$ ?

Choisir les $k$ éléments qu’on prend, c’est aussi choisir les $n - k$ éléments qu’on laisse de côté. Il y a donc autant de façons de faire l’un que l’autre. Cette symétrie évite des calculs longs : $\dbinom{50}{48} = \dbinom{50}{2}$.

Combien un ensemble à $n$ éléments a-t-il de parties ?

Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : pour chaque élément, on choisit de le prendre ou non, soit $2 \times 2 \times \cdots \times 2$ possibilités. On compte l’ensemble vide et l’ensemble entier. Sans l’ensemble vide, il en reste $2^n - 1$.

Comment calculer une probabilité avec un tirage simultané ?

Les tirages simultanés de $k$ objets parmi $n$ sont équiprobables et au nombre de $\dbinom{n}{k}$. Compte ensuite les tirages favorables avec le produit de combinaisons, puis divise. Garde le même modèle au numérateur et au dénominateur.

Comment le dénombrement est-il demandé au bac ?

Souvent sous forme d’affirmations « vraie ou fausse » à justifier, comme dans les sujets de 2026 cités plus haut, ou comme première étape d’un calcul de probabilité. Il faut nommer le modèle utilisé (liste, arrangement, combinaison) et détailler le calcul.

Bac 2027 · spécialité mathématiques

Dénombrement : principe multiplicatif, arrangements et combinaisons

Compter sans énumérer : voilà le rôle du dénombrement. On décompose la situation en choix successifs, puis on reconnaît si l’ordre compte et si les répétitions sont permises : k-uplets, arrangements ou combinaisons. Les sujets du bac en font des affirmations « vrai ou faux » ou des calculs de probabilité en situation d’équiprobabilité. Tu trouves ici l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions du bac 2026 avec leur corrigé.

Au bac : dans 16 des 36 sujets de 2024 à 2026, en métropole comme dans les autres centres

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Principe multiplicatif : si une situation se décompose en $k$ choix successifs qui offrent $n_1$ , puis $n_2$ , …, puis $n_k$ possibilités, le nombre de résultats est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ . Principe additif : si on partage les cas en groupes sans élément commun, on additionne leurs nombres.
Un $k$ -uplet d’un ensemble à $n$ éléments est une liste ordonnée de $k$ éléments, avec répétitions possibles : il y en a $n^k$ . Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties, en comptant l’ensemble vide et lui-même.
La factorielle est $n! ={}$ $n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1$ , avec $0! = 1$ . Il y a $n!$ façons d’ordonner $n$ éléments distincts : ce sont les permutations.
Un arrangement de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments est une liste ordonnée d’éléments deux à deux distincts : il y en a $n(n - 1) \cdots (n - k + 1) ={}$ $\dfrac{n!}{(n - k)!}$ .
Une combinaison de $k$ éléments est une partie à $k$ éléments, où l’ordre ne compte pas : il y en a $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ . On a $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dbinom{n}{n - k}$ et la relation de Pascal $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dbinom{n - 1}{k - 1} +{}$ $\dbinom{n - 1}{k}$ .
En situation d’équiprobabilité, la probabilité est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles, comptés avec le même modèle. Un tirage simultané de $k$ objets parmi $n$ donne $\dbinom{n}{k}$ cas possibles.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Pose les deux questions
L’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ? Ordre et répétitions : $k$ -uplet, $n^k$ . Ordre sans répétition : arrangement. Ni ordre ni répétition : combinaison, $\dbinom{n}{k}$ . Un tirage simultané ou un groupe de personnes n’a pas d’ordre.
2.Décris la construction pas à pas
Imagine que tu fabriques l’objet à compter : « je choisis d’abord …, puis … ». Compte les possibilités de chaque étape et multiplie. Vérifie que le nombre de possibilités d’une étape ne dépend pas des choix déjà faits, sinon sépare les cas.
3.Sépare les cas sans élément commun
Pour « exactement $j$ éléments de type $A$ », choisis ces $j$ éléments parmi les éléments de type $A$ puis les autres parmi le reste, et multiplie : $\dbinom{a}{j} \times \dbinom{b}{k - j}$ . Pour plusieurs cas distincts, additionne.
4.Passe par le contraire pour « au moins un »
Compte tous les cas, puis retranche ceux où il n’y a aucun élément cherché. C’est presque toujours plus court que d’additionner « un », « deux », « trois », etc.
5.Termine par la probabilité
En équiprobabilité, divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, comptés de la même façon : $\dfrac{\dbinom{5}{2} \dbinom{4}{1}}{\dbinom{9}{3}}$ pour un tirage simultané de trois boules.
6.Contrôle ton résultat
Teste ta méthode sur un petit cas que tu peux énumérer (deux ou trois éléments). Demande-toi si tu comptes deux fois la même situation, ou si tu comptes l’ordre alors que l’énoncé ne le distingue pas.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Principe multiplicatif et contraire
Un code d’accès est formé de $4$ chiffres choisis parmi $0, 1, \ldots, 9$ et saisis dans l’ordre. Combien y a-t-il de codes possibles ? Combien ont leurs quatre chiffres distincts ? Combien ont au moins deux chiffres identiques ?
2.Combinaisons avec condition
Un jury de $3$ personnes est choisi parmi $14$ candidats : $6$ femmes et $8$ hommes. Combien de jurys sont possibles ? Combien comptent exactement deux femmes ? Combien comptent au moins une femme ?
3.Une probabilité avec un tirage simultané
Une urne contient $5$ boules rouges et $4$ boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément $3$ boules. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement $2$ boules rouges ?

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 2

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Question 2

2. Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de

8

touches portant des symboles différents : • le digicode de la porte A utilise un code de

3

symboles différents devant être saisis dans l’ordre ; • celui de la porte B utilise un code de

4

symboles différents qui peuvent être saisis dans n’importe quel ordre. N’étant pas parvenus à obtenir d’indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes. Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B. On considère que les choix des codes sont équiprobables. Affirmation 4 : Titouan a plus de chances d’ouvrir sa porte que Clotilde.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 2, question 2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Asie, jour 1 — exercice 2, question 5

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation.

Question 5

5. On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d’un quadrillage. Affirmation 5 : On peut réaliser

\dbinom{16}{3}

coloriages différents.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Asie, jour 1, exercice 2, question 5 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

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si une étape bloque

Probabilités — Les calculs de probabilité par cas favorables sur cas possibles sont ceux du brevet : revois la page du brevet sur les probabilités.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

Un cadenas comporte

6

molettes, chacune portant les chiffres de

0

9

. Un code est la suite des six chiffres affichés, lue de gauche à droite. Combien de codes différents peut-on former ?

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Lors d’un festival,

10

groupes de musique sont candidats pour jouer sur la grande scène le premier soir. Les organisateurs en retiennent

2

, qui joueront l’un après l’autre. Combien de programmes différents (les groupes retenus et leur ordre de passage) peut-on établir ?

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Pour un concert, on forme un groupe de

3

choristes choisis parmi les

5

sopranos et les

7

ténors d’une chorale. Combien de groupes différents comportent exactement un ténor ?

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Un ensemble

E

comporte

11

éléments. Combien de parties l’ensemble

E

admet-il, en comptant l’ensemble vide et

E

lui-même ?

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 5.

Sur un quadrillage, un pion part du point

O(0 \mathrel{;} 0)

et se déplace à chaque étape d’une unité vers la droite ou vers le haut. Combien de chemins mènent du point

O

au point

B(4 \mathrel{;} 6)

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu confonds arrangement et combinaison. Pour un podium de trois coureurs sur douze, l’ordre compte : $12 \times 11 \times 10 ={}$ $1320$ . Pour un groupe de trois sans rôle, il ne compte pas : $\dbinom{12}{3} = 220$ , soit $1320$ divisé par $3! = 6$ .
Tu oublies que les répétitions changent le modèle. Un code où un chiffre peut revenir est un $k$ -uplet ( $10^4$ ), pas un arrangement ( $10 \times 9 \times 8 \times 7$ ).
Tu additionnes au lieu de multiplier pour des choix successifs. Choisir un chiffre puis un autre donne $10 \times 9$ possibilités, pas $10 + 9$ . On additionne uniquement des cas qui s’excluent.
Tu énumères « au moins un » cas par cas. Retranche plutôt au total les situations sans aucun élément cherché : $364 - 56 = 308$ jurys avec au moins une femme.
Tu mélanges deux modèles dans une même probabilité. Si les cas possibles sont des tirages simultanés ( $\dbinom{9}{3}$ ), les cas favorables se comptent aussi sans ordre : $\dbinom{5}{2} \times \dbinom{4}{1}$ .

À retenir

Étapes successives : on multiplie ; cas sans élément commun : on additionne.
$k$ -uplets : $n^k$  ; parties : $2^n$  ; permutations : $n!$ .
Arrangements : $\dfrac{n!}{(n - k)!}$  ; combinaisons : $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ .
$\dbinom{n}{k} ={}$ $\dbinom{n}{n - k}$ et $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dbinom{n - 1}{k - 1} +{}$ $\dbinom{n - 1}{k}$ .
« Au moins un » : total moins aucun.

Questions fréquentes

1.Comment savoir si l’ordre compte ?+
Réponse :Relis la situation : si échanger deux éléments donne un résultat différent (un code, un podium, un mot de passe), l’ordre compte. S’il s’agit d’un groupe, d’une équipe, d’un tirage simultané ou d’une main de cartes, l’ordre ne compte pas et on utilise une combinaison.
2.Quelle est la différence entre un $k$ -uplet et un arrangement ?+
Réponse :Les deux sont des listes ordonnées de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments. Dans un $k$ -uplet, les répétitions sont permises : $n^k$ listes. Dans un arrangement, les éléments sont deux à deux distincts : $n(n - 1) \cdots (n - k + 1)$ listes.
3.Pourquoi $\dbinom{n}{k} ={}$ $\dbinom{n}{n - k}$  ?+
Réponse :Choisir les $k$ éléments qu’on prend, c’est aussi choisir les $n - k$ éléments qu’on laisse de côté. Il y a donc autant de façons de faire l’un que l’autre. Cette symétrie évite des calculs longs : $\dbinom{50}{48} ={}$ $\dbinom{50}{2}$ .
4.Combien un ensemble à $n$ éléments a-t-il de parties ?+
Réponse :Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : pour chaque élément, on choisit de le prendre ou non, soit $2 \times 2 \times \cdots \times 2$ possibilités. On compte l’ensemble vide et l’ensemble entier. Sans l’ensemble vide, il en reste $2^n - 1$ .
5.Comment calculer une probabilité avec un tirage simultané ?+
Réponse :Les tirages simultanés de $k$ objets parmi $n$ sont équiprobables et au nombre de $\dbinom{n}{k}$ . Compte ensuite les tirages favorables avec le produit de combinaisons, puis divise. Garde le même modèle au numérateur et au dénominateur.
6.Comment le dénombrement est-il demandé au bac ?+
Réponse :Souvent sous forme d’affirmations « vraie ou fausse » à justifier, comme dans les sujets de 2026 cités plus haut, ou comme première étape d’un calcul de probabilité. Il faut nommer le modèle utilisé (liste, arrangement, combinaison) et détailler le calcul.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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La méthode, pas à pas

1.Pose les deux questions

2.Décris la construction pas à pas

3.Sépare les cas sans élément commun

4.Passe par le contraire pour « au moins un »

5.Termine par la probabilité

6.Contrôle ton résultat

Exemples

1.Principe multiplicatif et contraire

2.Combinaisons avec condition

3.Une probabilité avec un tirage simultané

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À retenir

Questions fréquentes

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