Kleksa

Brevet de maths 2027 · Organisation et gestion de données, fonctions

Probabilités : cours, calcul d’une probabilité et événement contraire (4e, 3e, brevet)

Quand toutes les issues d’une expérience ont la même chance, la probabilité d’un événement est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles : avec un dé équilibré, obtenir un 55 ou un 66 a une probabilité de 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}. Voici le vocabulaire, la formule, l’événement contraire, les expériences à deux épreuves et la façon dont le brevet pose ces questions, presque chaque année.

  • 5e
  • 4e
  • 3e
  • brevet

L’essentiel

à connaître par cœur
Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, et l’on ne peut pas prévoir lequel se produira : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, faire tourner une roue. Un événement est réalisé par certaines issues : avec un dé, l’événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 22, 44 et 66.
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 00 et 11. Un événement impossible a une probabilité égale à 00, un événement certain une probabilité égale à 11. Une probabilité s’écrit en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage : 14=\frac{1}{4} ={}0,25= 0{,}25 ={}25 % 25\,\%.
Quand toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’elles sont équiprobables : c’est le cas avec un dé équilibré, une roue aux secteurs égaux ou des boules indiscernables au toucher. Alors :
P(A)=P(A) ={}nombre de cas favorablesnombre de cas possibles \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}
On fait tourner la roue du dessin : ses 88 secteurs sont égaux et 33 sont grisés, donc la probabilité qu’elle s’arrête sur un secteur grisé est 38=0,375\frac{3}{8} = 0{,}375, soit 37,5 %37{,}5\,\%.
L’événement contraire de AA, noté A‾\overline{A}, est réalisé exactement quand AA ne l’est pas, et P(A‾)=P(\overline{A}) ={}1−P(A) 1 - P(A). La probabilité de ne pas tomber sur un secteur grisé est 1−38=1 - \frac{3}{8} ={}58 \frac{5}{8}.
Pour une expérience à deux épreuves, comme lancer une pièce puis un dé, on écrit toutes les issues dans un tableau à double entrée : une ligne par résultat de la première épreuve, une colonne par résultat de la seconde. Le programme du collège s’arrête là : les arbres de probabilités ne sont pas au programme du brevet.
Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un événement se rapproche de sa probabilité. Une fréquence observée sur beaucoup d’essais sert aussi à estimer une probabilité qu’on ne peut pas calculer, comme celle qu’une punaise retombe pointe en haut.
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La méthode, pas à pas

dans l’ordre

  1. 1.Décris l’expérience

    Dis ce qu’on fait et quelles sont les issues possibles ; compte-les. Avec deux épreuves, fais un tableau à double entrée pour n’en oublier aucune.

  2. 2.Justifie l’équiprobabilité

    Écris pourquoi les issues ont la même chance : dé équilibré, boules indiscernables au toucher, secteurs de même taille, tirage au hasard.

  3. 3.Compte les cas favorables

    Liste les issues qui réalisent l’événement. Attention aux mots « au moins », « supérieur ou égal », « multiple de » : relis la consigne avant de compter.

  4. 4.Calcule, ou passe par le contraire

    Divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles et simplifie la fraction. Quand l’événement contraire est plus simple à compter, calcule 1−P(A‾)1 - P(\overline{A}).

  5. 5.Contrôle et conclus

    Une probabilité est comprise entre 00 et 11. Conclus par une phrase qui nomme l’événement.

La rédaction attendue

Les boules sont indiscernables au toucher : les 66 issues sont équiprobables.
L’événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les boules 1010, 1212, 2424 et 3030, soit 44 issues.
La probabilité d’obtenir un nombre pair est 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
En partie 2, la clarté du raisonnement et la rédaction comptent pour 22 points sur l’ensemble de la partie : nomme l’événement, dis pourquoi les issues sont équiprobables, conclus par une phrase.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

  1. 1.Une urne et l’événement contraire

    Une urne contient 33 boules rouges, 55 boules bleues et 44 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ? b) Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule verte ?

  2. 2.Un dé et les nombres premiers, sans calculatrice

    On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre premier ? Et celle d’obtenir un nombre premier pair ?

  3. 3.Deux épreuves avec un tableau à double entrée

    On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d’obtenir pile et un nombre pair ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)
  • « Attribuer des probabilités dans des cas simples (équiprobabilité). »
  • « Exprimer une fréquence simple. »
Dans la partie 1, en 2020 minutes et sans calculatrice, il faut attribuer des probabilités dans des cas simples où les issues sont équiprobables, et exprimer une fréquence simple. C’est une question courte : un dé, une urne, des jetons numérotés. Donne la réponse sous forme de fraction, simplifiée si tu le peux.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans la partie 2, un exercice entier porte souvent sur les probabilités : calculer une probabilité, la comparer à une autre, passer par l’événement contraire, ou chercher combien de boules ajouter pour obtenir une probabilité donnée. Les questions mêlent volontiers l’arithmétique, avec des nombres premiers, des multiples ou des diviseurs à compter.
La rédaction compte : dis pourquoi les issues sont équiprobables, liste les issues favorables, puis conclus par une phrase. Le sujet de référence n° 02 demande même deux méthodes, dont l’une par l’événement contraire, expliquées avec un vocabulaire précis.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 27 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

  • Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 1Un sac de 2020 boules : la probabilité de tirer une boule rouge, puis celle de tirer une boule noire ou jaune par deux méthodes, dont l’une passe par l’événement contraire, puis des boules bleues à ajouter pour obtenir 15\frac{1}{5}.
  • Sujet zéro B (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 22121 jetons numérotés : la probabilité d’obtenir 22, 33 ou 1010, puis celle d’obtenir un diviseur de 2424.
Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2025, Métropole, exercice 1 · questions 1 à 5

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

On dispose d’une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 et d’une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.
Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On tire une boule dans l’urne A, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
2. On tire une boule dans l’urne B, justifier que la probabilité d’obtenir un nombre premier est de 13\frac{1}{3}.
3. Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
4. On tire une boule au hasard dans l’une des urnes. Démontrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie ?
5. En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d’ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d’entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-t-elle toujours égale quelle que soit l’urne choisie ?

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2025, Métropole, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Un sac contient 4 boules bleues, 8 boules noires et 9 boules rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–0,5)

On lance un dé équilibré à 10 faces numérotées de 1 à 10. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre premier ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–0,5)

La probabilité qu’il pleuve demain est égale à 0,45. Quelle est la probabilité qu’il ne pleuve pas demain ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les deux nombres obtenus. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 11 ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

Le sachet de bonbons (4,5 pts)

Un sachet contient 10 bonbons à la fraise, 12 bonbons au citron et 6 bonbons à la menthe, tous de même forme et de même taille. Jules prend un bonbon au hasard dans le sachet.

  1. Question 1(1 pt)

    Quelle est la probabilité que Jules prenne un bonbon à la menthe ?

  2. Question 2(1,5 pts)

    Jules affirme : « J’ai plus d’une chance sur deux de prendre un bonbon qui n’est pas au citron. » A-t-il raison ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.

  3. Question 3(1 pt)

    On revient au sachet de départ. Jules en retire 3 bonbons à la fraise et les mange. Sa sœur prend ensuite un bonbon au hasard dans le sachet. Quelle est la probabilité que ce soit un bonbon à la fraise ?

  4. Question 4(1 pt)

    On revient au sachet de départ. Combien de bonbons au citron faut-il retirer du sachet pour que la probabilité de prendre un bonbon à la menthe soit égale à 13\frac{1}{3} ?

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire
  • Donner une probabilité supérieure à 11 ou négative. C’est toujours le signe d’une erreur, le plus souvent une fraction écrite à l’envers : on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles, pas l’inverse.
  • Compter des issues qui ne sont pas équiprobables. Avec deux dés, les 1111 sommes possibles, de 22 à 1212, n’ont pas la même probabilité : la somme 77 sort dans 66 cas sur 3636, la somme 22 dans 11 seul cas. On compte les 3636 couples dans un tableau à double entrée.
  • Oublier qu’ajouter une boule change aussi le nombre total de boules. Avec la boule 5050, l’urne A passe de 66 à 77 boules : la probabilité devient 37\frac{3}{7}, et non 36\frac{3}{6}.
  • Confondre fréquence et probabilité. La fréquence observée change d’une série d’essais à l’autre ; la probabilité, elle, ne change pas. Sur peu d’essais, l’écart entre les deux peut être grand.
  • Mal lire « supérieur ou égal », « au moins » ou « multiple de ». « Supérieur ou égal à 2020 » compte aussi le nombre 2020, et 11 n’est pas un nombre premier.

À savoir par cœur

  • Une probabilité est comprise entre 00 (événement impossible) et 11 (événement certain).
  • Issues équiprobables : P(A)=P(A) ={}nombre de cas favorablesnombre de cas possibles \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.
  • Événement contraire : P(A‾)=P(\overline{A}) ={}1−P(A) 1 - P(A).
  • Deux épreuves : un tableau à double entrée, 2×6=122 \times 6 = 12 issues pour une pièce et un dé, 6×6=366 \times 6 = 36 pour deux dés.
  • Sur un grand nombre d’essais, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

Questions fréquentes

  1. 1.Comment calculer une probabilité ?+
    Rép. :Quand toutes les issues ont la même chance, on divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles. Dans une urne de 1212 boules indiscernables dont 55 sont bleues, la probabilité de tirer une boule bleue est 512\frac{5}{12}. Le résultat est toujours entre 00 et 11.
  2. 2.Qu’est-ce que l’événement contraire ?+
    Rép. :C’est l’événement qui est réalisé exactement quand l’événement de départ ne l’est pas. On le note A‾\overline{A}, et P(A‾)=P(\overline{A}) ={}1−P(A) 1 - P(A). Si la probabilité qu’il pleuve est 0,350{,}35, la probabilité qu’il ne pleuve pas est 1−0,35=0,651 - 0{,}35 = 0{,}65.
  3. 3.Faut-il savoir faire un arbre de probabilité au brevet ?+
    Rép. :Non. Le programme du collège traite les expériences à deux épreuves uniquement avec des tableaux à double entrée, en précisant que la notion d’arbre ne figure pas au programme. Les arbres pondérés se rencontrent au lycée. Au brevet, un tableau à double entrée suffit pour écrire toutes les issues et les compter.
  4. 4.Qu’est-ce que l’équiprobabilité ?+
    Rép. :Des issues sont équiprobables quand elles ont toutes la même probabilité : les six faces d’un dé équilibré, les boules d’une urne indiscernables au toucher, les secteurs d’une roue de même taille. C’est seulement dans ce cas qu’on peut diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.
  5. 5.Une probabilité peut-elle s’écrire en pourcentage ?+
    Rép. :Oui : une probabilité peut s’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Sur une roue de 88 secteurs égaux dont 33 sont grisés, la probabilité de tomber sur un secteur grisé est 38=\frac{3}{8} ={}0,375= 0{,}375 ={}37,5 % 37{,}5\,\%. Au brevet, la fraction est souvent la forme la plus simple.
  6. 6.Quel est le lien entre fréquence et probabilité ?+
    Rép. :Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un événement se rapproche de sa probabilité : c’est ce qu’on appelle au lycée la loi des grands nombres. Si une punaise tombe 248248 fois pointe en haut sur 400400 lancers, la fréquence 0,620{,}62 donne une estimation de cette probabilité.
  7. 7.Les probabilités, c’est en quelle classe ?+
    Rép. :Le vocabulaire et les cas simples sont vus dès la 5e. En 4e viennent les situations qui ne sont pas forcément équiprobables et l’événement contraire ; en 3e, le lien entre fréquence et probabilité et les expériences à deux épreuves avec un tableau à double entrée. Au brevet, la partie 1 se fait sans calculatrice.

Notions liées

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Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

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