Comment trouver une représentation paramétrique d’une droite ?

Il te faut un point $A$ de la droite et un vecteur directeur $\vec{u}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$, par exemple $\overrightarrow{AB}$ si la droite passe par $A$ et $B$. Écris alors $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$ et $z = z_A + ct$, avec $t$ réel. Vérifie que $t = 0$ donne $A$.

Comment montrer que trois points sont alignés ?

Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis montre qu’ils sont colinéaires : un réel $k$ doit vérifier $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ sur les trois coordonnées. Par exemple, pour $\overrightarrow{AB}(2 \mathrel{;} 4 \mathrel{;} 4)$ et $\overrightarrow{AC}(3 \mathrel{;} 6 \mathrel{;} 6)$, on a $k = \dfrac{3}{2}$ pour chaque coordonnée.

Comment étudier la position relative de deux droites de l’espace ?

Regarde d’abord les vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues). Sinon, résous le système obtenu en égalant les trois coordonnées avec deux paramètres différents : une solution donne un point d’intersection, aucune solution signifie que les droites ne sont pas coplanaires.

Que veut dire « deux droites non coplanaires » ?

Il n’existe aucun plan qui contient les deux droites. Elles ne sont pas parallèles et elles n’ont aucun point commun. Cette situation n’existe pas dans le plan, mais elle est fréquente dans l’espace, par exemple pour les droites $(AB)$ et $(CG)$ d’un cube $ABCDEFGH$.

Comment montrer que trois vecteurs sont coplanaires ?

Choisis deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Utilise deux coordonnées pour trouver $a$ et $b$, puis vérifie la troisième. Si elle ne convient pas, les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Comment savoir si un point est sur une droite donnée par une représentation paramétrique ?

Remplace les coordonnées du point dans les trois équations et cherche le paramètre $t$ avec l’une d’elles. Le point est sur la droite si la même valeur de $t$ convient pour les trois équations. Par exemple, $(4 \mathrel{;} 5 \mathrel{;} 2)$ est sur la droite $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2$ pour $t = 4$.

La géométrie dans l’espace tombe-t-elle tous les ans au bac ?

Oui : sur les sujets de 2024 à 2026, elle est posée dans chacun des 36 sujets, en métropole comme dans les autres centres. Il vaut donc la peine de maîtriser les droites, les plans et les représentations paramétriques.

Géométrie dans l’espace : représentation paramétrique, droites, plans

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Dans un repère de l’espace, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A \mathrel{;} y_B - y_A \mathrel{;} z_B - z_A)$ . On calcule avec les vecteurs comme dans le plan, coordonnée par coordonnée : somme, produit par un réel, combinaison linéaire $a\vec{u} + b\vec{v}$ .
Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ : toutes les coordonnées sont multipliées par le même $k$ . Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Une droite est déterminée par un point $A(x_A \mathrel{;} y_A \mathrel{;} z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ . Elle a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$ : chaque valeur de $t$ donne un point de la droite.
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (confondues si elles ont un point commun). Sinon, on cherche un point commun en résolvant un système : une solution, les droites sont sécantes ; aucune, elles ne sont pas coplanaires. Prends deux paramètres différents, $t$ et $s$ .
Trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ , avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires, sont coplanaires si et seulement si $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{w} ={}$ $a\vec{u} + b\vec{v}$ .
Une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle à un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ quand $\vec{w}$ , $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires. Sinon, la droite et le plan sont sécants en un point.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Calcule les vecteurs utiles
Écris les coordonnées de chaque vecteur avec « extrémité moins origine » : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A \mathrel{;} y_B - y_A \mathrel{;} z_B - z_A)$ . Une erreur de signe ici fausse toute la suite.
2.Teste la colinéarité
Cherche $k$ avec une coordonnée non nulle, puis vérifie les deux autres. Si l’une ne convient pas, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Si $k$ convient pour les trois, ils le sont.
3.Écris une représentation paramétrique
Prends un point de la droite et un vecteur directeur, puis écris $x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ . Pour savoir si un point est sur la droite, cherche le $t$ qui donne sa première coordonnée et vérifie les deux autres.
4.Cherche l’intersection avec deux paramètres
Pour deux droites, utilise $t$ pour l’une et $s$ pour l’autre, égale les trois coordonnées et résous. Trouve $t$ et $s$ avec deux équations, puis vérifie la troisième : si elle est fausse, il n’y a pas de point commun.
5.Conclus avec les mots du cours
Parallèles, sécantes, non coplanaires : deux droites qui ne se coupent pas ne sont pas forcément parallèles. Écris la phrase qui répond à la question posée, après le calcul qui la prouve.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Points alignés et représentation paramétrique
Dans un repère de l’espace, on considère les points $A(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -1)$ , $B(3 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 2)$ et $C(5 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 5)$ . Montre que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, puis donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .
2.Deux droites sécantes
Dans un repère de l’espace, la droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = 3 + t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$ , et la droite $d'$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 6 - 3s \\ y = -4 + 3s \\ z = 2 + 2s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$ . Montre que $d$ et $d'$ sont sécantes et donne leur point d’intersection.
3.Deux droites non coplanaires
Avec la droite $d$ de l’exemple précédent, on considère la droite $d''$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = s \\ y = 1 + s \\ z = 2 + 3s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$ . Les droites $d$ et $d''$ sont-elles sécantes ? parallèles ?
4.Vecteurs coplanaires
On considère les vecteurs $\vec{u}(1 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)$ , $\vec{v}(0 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -1)$ et $\vec{w}(2 \mathrel{;} 5 \mathrel{;} -1)$ . Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont-ils coplanaires ?

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 1.b

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Question 1.b

1. L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère : • la droite

(d)

dont une représentation paramétrique est :

\begin{cases} x = t \\ y = -1{,}5 - t \\ z = 2 - 2t \end{cases}

où

t \in \mathbb{R}

; • les points

A(3 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 2)

et

B(2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} -3)

; • le plan

(P)

d’équation :

-x + y - 5z - 0{,}5 = 0

. b. Affirmation 2 : Les droites

(d)

et

(AB)

sont sécantes.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 2, question 1.b (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Asie, jour 1 — exercice 3, question 1.a

Exercice 3

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath} \mathrel{;} \vec{\jmath} \mathrel{;} \vec{k})

de l’espace, on considère les points suivants

A(0 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 1)

;

B(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 3)

;

C(3 \mathrel{;} 3 \mathrel{;} 1)

;

E(2 \mathrel{;} -2 \mathrel{;} 2)

;

F(3 \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 4)

et

G(5 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 2)

.

Question 1.a

1. a. Montrer que les points

B

,

C

et

E

ne sont pas alignés.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Asie, jour 1, exercice 3, question 1.a (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

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bac

Question 1.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les points

A(4 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 5)

,

B(2 \mathrel{;} -5 \mathrel{;} 3)

et

C(1 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 1)

. Déterminer les coordonnées du point

D

tel que

\overrightarrow{AD} ={}

-\overrightarrow{AB} +{}

3\overrightarrow{AC}

.

x_D =

y_D =

z_D =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les points

A(1 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 3)

,

B(-2 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 0)

et

C(m \mathrel{;} 0 \mathrel{;} 6)

, où

m

est un réel. Déterminer la valeur de

m

pour laquelle les points

A

,

B

et

C

sont alignés.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. La droite

(d)

admet pour représentation paramétrique

\begin{cases} x = -3 - t \\ y = -2 + 2t \\ z = -3 \end{cases}

, où

t \in \mathbb{R}

. Le point

M(-6 \mathrel{;} 4 \mathrel{;} -3)

appartient à la droite

(d)

. Donner la valeur du paramètre

t

associée au point

M

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les droites

(d_1)

et

(d_2)

de représentations paramétriques respectives

\begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - 2t \end{cases}

, où

t \in \mathbb{R}

, et

\begin{cases} x = 2 + 4s \\ y = 5 + 4s \\ z = -2 - 4s \end{cases}

, où

s \in \mathbb{R}

. Quelle est la position relative des droites

(d_1)

et

(d_2)

?

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 5.

L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O \mathrel{;} \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})

. On considère les droites

(d_1)

et

(d_2)

de représentations paramétriques respectives

\begin{cases} x = -3 \\ y = 3 \\ z = -1 + t \end{cases}

, où

t \in \mathbb{R}

, et

\begin{cases} x = -2 + s \\ y = 1 - 2s \\ z = -4 - 2s \end{cases}

, où

s \in \mathbb{R}

. On admet que les droites

(d_1)

et

(d_2)

sont sécantes. Déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

x =

y =

z =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu utilises la même lettre pour les deux paramètres. Pour deux droites, écris $t$ pour l’une et $s$ pour l’autre : avec $t$ partout, tu cherches un point commun qui a le même paramètre sur les deux droites, ce qui n’est pas demandé.
Tu vérifies la colinéarité sur une seule coordonnée. Les vecteurs $(1 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} 3)$ et $(2 \mathrel{;} 4 \mathrel{;} 7)$ ont deux coordonnées proportionnelles avec $k = 2$ , mais $2 \times 3 = 6$ et non $7$ : ils ne sont pas colinéaires.
Tu inverses l’origine et l’extrémité. Pour $A(2 \mathrel{;} 1 \mathrel{;} 0)$ et $B(5 \mathrel{;} -1 \mathrel{;} 4)$ , on a $\overrightarrow{AB}(3 \mathrel{;} -2 \mathrel{;} 4)$ , et non $(-3 \mathrel{;} 2 \mathrel{;} -4)$ : c’est l’extrémité moins l’origine.
Tu conclus « parallèles » parce qu’il n’y a pas d’intersection. Dans l’espace, deux droites peuvent n’être ni sécantes ni parallèles : elles ne sont alors pas coplanaires. Les droites sont parallèles seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Tu arrêtes la résolution trop tôt. Avec deux équations, tu trouves $t$ et $s$  ; il faut ensuite vérifier la troisième. Si elle n’est pas vraie, les droites n’ont pas de point commun.

À retenir

$\overrightarrow{AB}$ : extrémité moins origine, trois coordonnées.
Colinéaires : $\vec{v} = k\vec{u}$ , avec le même $k$ sur les trois coordonnées.
Droite : point $A$ et vecteur directeur $\vec{u}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ donnent $x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ .
Deux droites : directions colinéaires, sécantes, ou non coplanaires.
Coplanaires : $\vec{w} ={}$ $a\vec{u} + b\vec{v}$ avec $\vec{u}$ , $\vec{v}$ non colinéaires.

Questions fréquentes

1.Comment trouver une représentation paramétrique d’une droite ?+
Réponse :Il te faut un point $A$ de la droite et un vecteur directeur $\vec{u}(a \mathrel{;} b \mathrel{;} c)$ , par exemple $\overrightarrow{AB}$ si la droite passe par $A$ et $B$ . Écris alors $x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ et $z = z_A + ct$ , avec $t$ réel. Vérifie que $t = 0$ donne $A$ .
2.Comment montrer que trois points sont alignés ?+
Réponse :Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis montre qu’ils sont colinéaires : un réel $k$ doit vérifier $\overrightarrow{AC} ={}$ $k\overrightarrow{AB}$ sur les trois coordonnées. Par exemple, pour $\overrightarrow{AB}(2 \mathrel{;} 4 \mathrel{;} 4)$ et $\overrightarrow{AC}(3 \mathrel{;} 6 \mathrel{;} 6)$ , on a $k = \dfrac{3}{2}$ pour chaque coordonnée.
3.Comment étudier la position relative de deux droites de l’espace ?+
Réponse :Regarde d’abord les vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues). Sinon, résous le système obtenu en égalant les trois coordonnées avec deux paramètres différents : une solution donne un point d’intersection, aucune solution signifie que les droites ne sont pas coplanaires.
4.Que veut dire « deux droites non coplanaires » ?+
Réponse :Il n’existe aucun plan qui contient les deux droites. Elles ne sont pas parallèles et elles n’ont aucun point commun. Cette situation n’existe pas dans le plan, mais elle est fréquente dans l’espace, par exemple pour les droites $(AB)$ et $(CG)$ d’un cube $ABCDEFGH$ .
5.Comment montrer que trois vecteurs sont coplanaires ?+
Réponse :Choisis deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , puis cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} ={}$ $a\vec{u} + b\vec{v}$ . Utilise deux coordonnées pour trouver $a$ et $b$ , puis vérifie la troisième. Si elle ne convient pas, les vecteurs ne sont pas coplanaires.
6.Comment savoir si un point est sur une droite donnée par une représentation paramétrique ?+
Réponse :Remplace les coordonnées du point dans les trois équations et cherche le paramètre $t$ avec l’une d’elles. Le point est sur la droite si la même valeur de $t$ convient pour les trois équations. Par exemple, $(4 \mathrel{;} 5 \mathrel{;} 2)$ est sur la droite $x = t$ , $y = 1 + t$ , $z = 2$ pour $t = 4$ .
7.La géométrie dans l’espace tombe-t-elle tous les ans au bac ?+
Réponse :Oui : sur les sujets de 2024 à 2026, elle est posée dans chacun des 36 sujets, en métropole comme dans les autres centres. Il vaut donc la peine de maîtriser les droites, les plans et les représentations paramétriques.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Géométrie dans l’espace : droites, plans et représentation paramétrique

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Calcule les vecteurs utiles

2.Teste la colinéarité

3.Écris une représentation paramétrique

4.Cherche l’intersection avec deux paramètres

5.Conclus avec les mots du cours

Exemples

1.Points alignés et représentation paramétrique

2.Deux droites sécantes

3.Deux droites non coplanaires

4.Vecteurs coplanaires

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 2, question 1.b

Bac 2026, Asie, jour 1 — exercice 3, question 1.a

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À retenir

Questions fréquentes

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