Comment trouver l’équation réduite d’une droite ?

Calcule d’abord le coefficient directeur $m$ avec deux points ou sur le graphique. Écris ensuite $y = mx + p$, remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point de la droite et résous pour trouver $p$. Vérifie avec un autre point de la droite.

Comment calculer le coefficient directeur avec deux points ?

Fais la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, dans le même ordre au numérateur et au dénominateur. Par exemple, pour $(0 \mathrel{;} 3)$ et $(2 \mathrel{;} 7)$, on obtient $\dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$. Cette méthode ne marche pas si les deux abscisses sont égales : la droite est alors verticale.

Comment lire l’équation d’une droite sur un graphique ?

Repère le point où la droite coupe l’axe des ordonnées : son ordonnée est $p$. Avance ensuite d’une unité vers la droite et regarde de combien d’unités la droite monte ou descend : c’est $m$. Lis les graduations, car un carreau vaut parfois une demi-unité. Si la droite coupe l’axe en $(0 \mathrel{;} 3)$ et monte de $2$ quand on avance de $1$, l’équation est $y = 2x + 3$.

Comment savoir si un point appartient à une droite ?

Remplace $x$ et $y$ dans l’équation par les coordonnées du point. Si l’égalité est vraie, le point est sur la droite. Par exemple, $(5 \mathrel{;} 13)$ est sur $y = 2x + 3$, car $2 \times 5 + 3 = 13$, alors que $(4 \mathrel{;} 10)$ n’y est pas, car $2 \times 4 + 3 = 11$.

À quoi sert le vecteur normal ?

En spécialité, un vecteur normal est perpendiculaire à la droite. Il donne directement les coefficients $a$ et $b$ d’une équation $ax + by + c = 0$ ; il reste à trouver $c$ avec un point de la droite. Il sert aussi à montrer que deux droites sont perpendiculaires.

Comment reconnaître une équation de cercle ?

En spécialité, une équation de la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ est celle d’un cercle de centre $(a \mathrel{;} b)$ et de rayon $r$. Si l’équation est développée, regroupe les termes en $x$ et ceux en $y$, puis complète les carrés pour retrouver cette forme.

Quelles voies de l’épreuve anticipée ont les équations de droite au programme ?

Les trois : spécialité, sans spécialité et voie technologique tracent et lisent une droite, et calculent un coefficient directeur. Le vecteur normal, l’équation cartésienne et l’équation de cercle ne sont au programme que de la spécialité.

Épreuve anticipée 2027 · mathématiques

Équation de droite : coefficient directeur, équation réduite, vecteur normal et cercle

Une droite non verticale a une équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est son coefficient directeur et $p$ son ordonnée à l’origine. Tu dois savoir la tracer, la lire sur un graphique et trouver son équation avec deux points. En spécialité, on y ajoute le vecteur normal, l’équation cartésienne et l’équation de cercle. Cette notion est au programme des trois voies de l’épreuve anticipée : voici l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions de sujets.

Épreuve anticipée, spécialité : dans 5 des 7 sujets de juin 2026 ; sans spécialité : dans 6 des 7 sujets ; voie technologique : dans 3 des 6 sujets

Programme

Programme de spécialité de première (2026)

Géométrie · Géométrie repérée
Automatismes · Fonctions et représentations

Programme de mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (2026)

Automatismes · Fonctions et représentations
Phénomènes d’évolution, modélisation par des fonctions · Variation linéaire

Programme de première technologique (2026)

Automatismes · Fonctions et représentations

sujets : dans 5 des 7 sujets de juin 2026

À l’épreuve anticipée, la calculatrice est interdite pendant toute l’épreuve : entraîne-toi à calculer à la main.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Selon ta voie

compté dans les sujets

Ce que le programme de chaque voie contient, et dans quelles questions des sujets de juin 2026 la notion est tombée.

Épreuve anticipée, spécialité
dans 5 des 7 sujets de juin 2026
- Géométrie repérée
- Fonctions et représentations
Questions : Asie : A.3, 2.A.1, 2.A.2 · Centres étrangers : A.4 · Métropole, sujet 1 : A.2 · Métropole, sujet 2 : A.4, A.7, 3.1, 3.2 · Polynésie : A.7
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, sans spécialité
dans 6 des 7 sujets de juin 2026
- Fonctions et représentations
- Variation linéaire
Questions : Amérique du Nord : A.9 · Antilles-Guyane : A.3 · Centres étrangers : A.5 · Métropole, sujet 1 : A.7 · Métropole, sujet 2 : A.9 · Polynésie : A.7
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie
Épreuve anticipée, voie technologique
dans 3 des 6 sujets de juin 2026
- Fonctions et représentations
Questions : Antilles-Guyane : A.7, A.8, 3.3 · Métropole, sujet 1 : A.5 · Polynésie : A.3
Toutes les notions de cette voie Le sujet gratuit de cette voie

En juin 2026, la première partie (automatismes) était un QCM ; à partir de juin 2027, ce sont des questions à réponse courte.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une droite non verticale a une équation réduite $y = mx + p$ . Le nombre $m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ l’ordonnée à l’origine : la droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0 \mathrel{;} p)$ . Une droite verticale a une équation de la forme $x = k$ .
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ , avec $x_A \neq x_B$ , est $m ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Si $m > 0$ , la droite monte ; si $m < 0$ , elle descend. Quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $m$ .
Pour lire une équation sur un graphique, repère l’ordonnée à l’origine $p$ , puis avance d’une unité vers la droite et note de combien d’unités tu montes ou descends : c’est $m$ . Lis les graduations des axes : un carreau ne vaut pas toujours une unité.
Un point $M(x \mathrel{;} y)$ est sur la droite quand ses coordonnées vérifient l’équation. Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur. Les coordonnées de leur point d’intersection, quand elles en ont un, vérifient les deux équations à la fois.
Sans spécialité (variation linéaire), le coefficient directeur est le taux d’accroissement : une grandeur qui suit $y = mx + p$ augmente de $m$ chaque fois que $x$ augmente de $1$ .
En spécialité, dans un repère orthonormé, la droite d’équation cartésienne $ax + by + c = 0$ admet le vecteur normal $\vec{n}(a \mathrel{;} b)$ , perpendiculaire à la droite. Avec un point $A$ et un vecteur normal, on trouve $c$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ .
En spécialité, le cercle de centre $\Omega(a \mathrel{;} b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ . Pour reconnaître un cercle dans une équation développée, on complète les carrés.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repère ce que l’énoncé donne
Deux points, un point et un coefficient directeur, un graphique, ou (en spécialité) un point et un vecteur normal. Chaque cas a sa méthode, mais le but est toujours le même : trouver $m$ et $p$ , ou $a$ , $b$ et $c$ .
2.Calcule le coefficient directeur
Avec deux points, fais $m ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ en gardant les mêmes lettres en haut et en bas. Sur un graphique, lis les déplacements en unités sur les graduations des axes : la montée divisée par le déplacement vers la droite.
3.Trouve $p$ avec un point connu
Remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point de la droite dans $y = mx + p$ et résous l’équation d’inconnue $p$ .
4.En spécialité, utilise le vecteur normal
Si $\vec{n}(a \mathrel{;} b)$ est normal, l’équation s’écrit $ax + by + c = 0$ . Remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point de la droite pour obtenir $c$ . Pour un cercle, ramène l’équation à la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ .
5.Vérifie avec un second point
Une équation trouvée avec deux points doit être vérifiée par celui des deux points que tu n’as pas utilisé pour calculer $p$ . Pour une intersection, remplace la solution dans les deux équations.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Équation d’une droite avec deux points
Dans un repère, on considère les points $A(1 \mathrel{;} 4)$ et $B(5 \mathrel{;} -4)$ . Détermine l’équation réduite de la droite $(AB)$ , puis dis si le point $C(3 \mathrel{;} 1)$ appartient à cette droite.
2.Intersection de deux droites
Dans un repère, on considère les droites $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -x + 7$ . Détermine les coordonnées de leur point d’intersection.
3.Une droite avec un vecteur normal
En spécialité, le plan est muni d’un repère orthonormé. La droite $d$ passe par $A(1 \mathrel{;} 2)$ et admet $\vec{n}(3 \mathrel{;} -2)$ pour vecteur normal. Détermine une équation cartésienne de $d$ , puis son équation réduite.
4.Reconnaître un cercle
En spécialité, le plan est muni d’un repère orthonormé. Montre que l’ensemble des points $M(x \mathrel{;} y)$ tels que $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 ={}$ $0$ est un cercle, et donne son centre et son rayon.

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetspécialité

Épreuve anticipée 2026, spécialité, Métropole, sujet 2 — automatismes, question 4

Première partie : automatismes – QCM

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 4.

Le plan est muni d'un repère. On considère la droite

d

passant par les points

A(1 \mathrel{;} 3)

B(3 \mathrel{;} 7)

. Le coefficient directeur de la droite

d

est égal à :

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 2, automatismes, question 4 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetsans spécialité

Épreuve anticipée 2026, sans spécialité, Amérique du Nord — automatismes, question 9

Première partie : automatismes – QCM

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 9.

Une droite est représentée ci-contre. L’équation réduite de cette droite est :

Repère sur un quadrillage en pointillés dont chaque carreau mesure une demi-unité, l’axe des abscisses gradué de −2 à 3 et l’axe des ordonnées de −3 à 5. Une droite est tracée ; elle traverse le repère et coupe les deux axes. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, épreuve anticipée de mathématiques 2026, sans spécialité, Amérique du Nord, automatismes, question 9 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Revoir les bases du brevet

si une étape bloque

Fonction affine et fonction linéaire — Une droite d’équation $y = mx + p$ est la représentation d’une fonction affine : revois cette page du brevet pour tracer, lire et calculer.
Équations — Pour trouver une intersection ou le $p$ d’une droite, tu résous une équation du premier degré : revois la page du brevet sur les équations.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

spécialité

Question 1.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. La droite

d

passe par le point

A(5 \mathrel{;} -6)

et admet

\vec{n}(3 \mathrel{;} 6)

pour vecteur normal. Elle a donc une équation de la forme

3x + 6y + c = 0

. Déterminer

c

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

sans spécialité

Question 2.

Dans un repère, la droite

d

passe par le point

A(3 \mathrel{;} 0)

et a pour coefficient directeur

-3

. Déterminer l’équation réduite de la droite

d

y =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

voie technologique

Question 3.

La fonction

f

est affine, avec

f(3) = -19

f(-4) = 16

. Déterminer l’expression de

f(x)

f(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 4.

Le plan est muni d’un repère orthonormé. L’ensemble des points

M(x \mathrel{;} y)

tels que

x^2 + y^2 - 8x - 8y + 28 ={}

0

est un cercle. Déterminer les coordonnées de son centre.

abscisseordonnée

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

spécialité

Question 5.

Dans le repère (O,I,J) ci-contre, la droite (Δ) a pour équation

Repère (O, I, J) sur un quadrillage : une unité, de O à I sur l’axe des abscisses et de O à J sur l’axe des ordonnées, vaut un grand carreau, partagé en cinq petits. La droite (Δ) est tracée ; elle traverse le repère et coupe les deux axes. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

QCM de juin 2026 — Épreuve anticipée de mathématiques 2026, spécialité, Métropole, sujet 1, automatismes, question 2 — corrigé Kleksa (non officiel)

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu inverses le quotient du coefficient directeur. Pour $A(2 \mathrel{;} 1)$ et $B(6 \mathrel{;} 9)$ , c’est la différence des ordonnées sur celle des abscisses : $\dfrac{9 - 1}{6 - 2} = 2$ , et non $\dfrac{6 - 2}{9 - 1} ={}$ $\dfrac{1}{2}$ .
Tu te trompes de signe avec des coordonnées négatives. Pour $A(-2 \mathrel{;} 3)$ et $B(1 \mathrel{;} -3)$ , on a $\dfrac{-3 - 3}{1 - (-2)} ={}$ $\dfrac{-6}{3} ={}$ $-2$ : garde les parenthèses autour du nombre négatif.
Tu recopies une ordonnée à la place de $p$ . Si $m = 3$ et si la droite passe par $A(2 \mathrel{;} 5)$ , on écrit $5 = 3 \times 2 + p$ , donc $p = -1$ , et non $p = 5$ .
En spécialité, tu prends $(a \mathrel{;} b)$ pour un vecteur directeur. Pour la droite d’équation $2x + 3y - 6 = 0$ , le vecteur $(2 \mathrel{;} 3)$ est normal : il est perpendiculaire à la droite, qui a pour vecteur directeur $(3 \mathrel{;} -2)$ .
En spécialité, tu lis mal le centre d’un cercle. L’équation $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 ={}$ $9$ est celle du cercle de centre $(-2 \mathrel{;} 1)$ , pas $(2 \mathrel{;} -1)$ , et de rayon $3$ , pas $9$ .

À retenir

Équation réduite : $y = mx + p$ .
$m ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ : ordonnées en haut, abscisses en bas.
Un point est sur la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.
Parallèles : même coefficient directeur.
En spécialité : $ax + by + c = 0$ a pour vecteur normal $(a \mathrel{;} b)$ .
En spécialité : cercle de centre $(a \mathrel{;} b)$ et de rayon $r$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ .

Questions fréquentes

1.Comment trouver l’équation réduite d’une droite ?+
Réponse :Calcule d’abord le coefficient directeur $m$ avec deux points ou sur le graphique. Écris ensuite $y = mx + p$ , remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d’un point de la droite et résous pour trouver $p$ . Vérifie avec un autre point de la droite.
2.Comment calculer le coefficient directeur avec deux points ?+
Réponse :Fais la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, dans le même ordre au numérateur et au dénominateur. Par exemple, pour $(0 \mathrel{;} 3)$ et $(2 \mathrel{;} 7)$ , on obtient $\dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ . Cette méthode ne marche pas si les deux abscisses sont égales : la droite est alors verticale.
3.Comment lire l’équation d’une droite sur un graphique ?+
Réponse :Repère le point où la droite coupe l’axe des ordonnées : son ordonnée est $p$ . Avance ensuite d’une unité vers la droite et regarde de combien d’unités la droite monte ou descend : c’est $m$ . Lis les graduations, car un carreau vaut parfois une demi-unité. Si la droite coupe l’axe en $(0 \mathrel{;} 3)$ et monte de $2$ quand on avance de $1$ , l’équation est $y = 2x + 3$ .
4.Comment savoir si un point appartient à une droite ?+
Réponse :Remplace $x$ et $y$ dans l’équation par les coordonnées du point. Si l’égalité est vraie, le point est sur la droite. Par exemple, $(5 \mathrel{;} 13)$ est sur $y = 2x + 3$ , car $2 \times 5 + 3 = 13$ , alors que $(4 \mathrel{;} 10)$ n’y est pas, car $2 \times 4 + 3 = 11$ .
5.À quoi sert le vecteur normal ?+
Réponse :En spécialité, un vecteur normal est perpendiculaire à la droite. Il donne directement les coefficients $a$ et $b$ d’une équation $ax + by + c = 0$  ; il reste à trouver $c$ avec un point de la droite. Il sert aussi à montrer que deux droites sont perpendiculaires.
6.Comment reconnaître une équation de cercle ?+
Réponse :En spécialité, une équation de la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 ={}$ $r^2$ est celle d’un cercle de centre $(a \mathrel{;} b)$ et de rayon $r$ . Si l’équation est développée, regroupe les termes en $x$ et ceux en $y$ , puis complète les carrés pour retrouver cette forme.
7.Quelles voies de l’épreuve anticipée ont les équations de droite au programme ?+
Réponse :Les trois : spécialité, sans spécialité et voie technologique tracent et lisent une droite, et calculent un coefficient directeur. Le vecteur normal, l’équation cartésienne et l’équation de cercle ne sont au programme que de la spécialité.

Voir aussi

Toutes les notions de maths de l’épreuve anticipée

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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Selon ta voie

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère ce que l’énoncé donne

2.Calcule le coefficient directeur

3.Trouve ppp avec un point connu

4.En spécialité, utilise le vecteur normal

5.Vérifie avec un second point

Exemples

1.Équation d’une droite avec deux points

2.Intersection de deux droites

3.Une droite avec un vecteur normal

4.Reconnaître un cercle

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À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

3.Trouve $p$ avec un point connu