Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir sa dérivée. Par exemple $y' = 2y + 8$ se lit : la dérivée de $y$ vaut deux fois $y$ plus $8$. Ses solutions sont des fonctions, pas des nombres, et il y en a une infinité.

Comment résoudre $y' = ay + b$ ?

Tu écris la solution constante $-\dfrac{b}{a}$, tu ajoutes les solutions de $y' = ay$, qui sont les $K\mathrm{e}^{ax}$, et tu obtiens $y(x) = K\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$. La condition initiale, quand l’énoncé en donne une, permet ensuite de calculer $K$.

Pourquoi la solution contient-elle une constante $K$ ?

Une équation différentielle du premier ordre a une infinité de solutions, une pour chaque valeur de $K$. Géométriquement, ce sont des courbes qui ne se coupent jamais. La condition initiale impose de passer par un point donné, ce qui ne laisse qu’une seule courbe.

Comment calculer $K$ avec la condition initiale ?

Remplace la variable par la valeur de la condition dans l’expression complète de la solution. Si $y(x) = K\mathrm{e}^{2x} - 4$ et $y(0) = 1$, tu obtiens $K - 4 = 1$, donc $K = 5$. N’oublie pas la solution particulière dans cette équation.

Que devient la solution quand le temps devient grand ?

Si $a 0$, $\mathrm{e}^{at}$ tend vers $+\infty$ et la solution tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $K$, sauf la solution constante ($K = 0$).

Comment vérifier qu’une fonction est solution ?

Dérive la fonction proposée, remplace $y$ et $y'$ dans l’équation et compare les deux membres. Pour une solution particulière donnée par l’énoncé, c’est exactement la question « montrer que $g$ est solution ». Contrôle ensuite la condition initiale.

Comment les équations différentielles tombent-elles au bac ?

Au bac, 26 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question sur une équation différentielle. Elle ouvre par exemple un exercice de modélisation : « donner les solutions », puis « en déduire l’expression de la fonction » avec une condition initiale, enfin un calcul de seuil avec le logarithme.

Équations différentielles y′ = ay + b : solutions — bac

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une équation différentielle a pour inconnue une fonction $y$ et relie $y$ à sa dérivée $y'$ . Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les fonctions dérivables $y$ qui la vérifient : ce sont ses solutions.
Pour $a$ réel, les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto K\mathrm{e}^{ax}$ , où $K$ est un réel quelconque.
Pour $a$ réel non nul et $b$ réel, les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $x \mapsto K\mathrm{e}^{ax} -{}$ $\dfrac{b}{a}$ , avec $K \in \mathbb{R}$ . La fonction constante égale à $-\dfrac{b}{a}$ est la solution constante : sa dérivée est nulle et $a \times \left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = 0$ .
Quand une solution particulière $g$ de $y' = ay + f$ est connue (l’énoncé la donne), les solutions sont les fonctions $x \mapsto g(x) +{}$ $K\mathrm{e}^{ax}$ , avec $K \in \mathbb{R}$ .
Une condition initiale $y(x_0) = y_0$ fixe $K$ : il y a une seule solution qui la vérifie. On remplace $x$ par $x_0$ dans l’expression générale et on résout l’équation d’inconnue $K$ .
Avec $a < 0$ , $\mathrm{e}^{ax}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : la solution se rapproche de la valeur constante $-\dfrac{b}{a}$ . C’est ce qui décrit un refroidissement ou une stabilisation.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Identifie $a$ et $b$
Mets l’équation sous la forme $y' = ay + b$ et lis les deux coefficients, signes compris. Dans $y' = -0{,}5y + 3$ , on a $a = -0{,}5$ et $b = 3$ .
2.Écris les solutions de $y' = ay$
Ce sont les fonctions $K\mathrm{e}^{ax}$ . Le signe de $a$ se retrouve dans l’exposant : $y' = -3y$ donne $K\mathrm{e}^{-3x}$ .
3.Trouve une solution particulière
Pour $y' = ay + b$ , c’est la constante $-\dfrac{b}{a}$ . Pour $y' = ay + f$ , l’énoncé donne la solution particulière $g$  ; vérifie-la en la dérivant et en remplaçant dans l’équation.
4.Écris toutes les solutions
Additionne la solution particulière et $K\mathrm{e}^{ax}$ : $y(x) ={}$ $K\mathrm{e}^{ax} -{}$ $\dfrac{b}{a}$ , ou $y(x) ={}$ $g(x) + K\mathrm{e}^{ax}$ .
5.Fixe $K$ avec la condition initiale
Remplace $x$ par $x_0$ dans l’expression complète, solution particulière comprise, et pose $y(x_0) = y_0$ . Résous l’équation d’inconnue $K$ .
6.Vérifie
Dérive ta solution et remplace dans l’équation : les deux membres doivent être égaux. Contrôle aussi la condition initiale.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.L’équation $y' = ay$ et une condition initiale
Résous sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $y' = -2y$ , puis détermine la solution $f$ telle que $f(1) = 4$ .
2.L’équation $y' = ay + b$
On considère l’équation différentielle $(E) : y' = 2y + 8$ . Donne les solutions de $(E)$ , puis la solution $f$ telle que $f(0) = 1$ .
3.Un refroidissement
La température d’une boisson, en degrés Celsius, est modélisée à l’instant $t$ (en minutes) par une fonction $\theta$ solution de $y' = -0{,}2y + 5$ avec $\theta(0) = 90$ . Détermine $\theta(t)$ , puis le temps à partir duquel la température est inférieure ou égale à $30$ °C.
4.Une solution particulière donnée
On considère l’équation différentielle $(E) : y' ={}$ $-y + x^2 + 2x$ . Montre que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2$ est une solution de $(E)$ , puis donne la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 3$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.1

Exercice 3 — Partie A : Phase de chauffage

On étudie le fonctionnement d’un système de chauffage installé dans une pièce. Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C. Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement. Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l’instant

t

, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction

T

définie sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On admet que la fonction

T

est : • dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

; • solution de l’équation différentielle

(E) : y' ={}

-0{,}035y + 0{,}91

où

y

est une fonction de la variable

t

, définie et dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On note

T'

la fonction dérivée de la fonction

T

. On suppose qu’au début de l’étude, la température de la pièce est de 18 °C. Ainsi

T(0) = 18

.

Question A.1

1. Donner les solutions de l’équation différentielle

(E)

sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 3, question A.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.2

Exercice 3 — Partie A : Phase de chauffage

On étudie le fonctionnement d’un système de chauffage installé dans une pièce. Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C. Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement. Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l’instant

t

, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction

T

définie sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On admet que la fonction

T

est : • dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

; • solution de l’équation différentielle

(E) : y' ={}

-0{,}035y + 0{,}91

où

y

est une fonction de la variable

t

, définie et dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On note

T'

la fonction dérivée de la fonction

T

. On suppose qu’au début de l’étude, la température de la pièce est de 18 °C. Ainsi

T(0) = 18

.

Question A.2

2. En déduire que pour tout nombre réel

t

appartenant à l’intervalle

[0 \mathrel{;} +\infty[

, on a :

T(t) ={}

26 -{}

8\mathrm{e}^{-0{,}035t}

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 3, question A.2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

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bac

Question 1.

On considère l’équation différentielle

(E) : y' = -0{,}5y - 2

, où

y

est une fonction dérivable de la variable réelle

t

. Déterminer la solution

f

de

(E)

telle que

f(0) = 13

.

f(t) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

On considère l’équation différentielle

(E) : y' ={}

2y + 2x^2 - 10x + 14

, où

y

est une fonction dérivable sur

\mathbb{R}

. On admet que la fonction

g

définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) = -x^2 + 4x - 5

est une solution de

(E)

. Déterminer la solution

f

de

(E)

telle que

f(0) = 7

.

f(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Dans un atelier de céramique, on sort une pièce du four de séchage. Sa température, en degrés Celsius, est modélisée par une fonction

\theta

du temps

t

, en minutes, solution de l’équation différentielle

y' = -0{,}04y + 0{,}92

avec

\theta(0) = 150

. Au bout de combien de minutes la température de la pièce atteint-elle

75

°C ? Donner une valeur arrondie à la minute.

min

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu prends $\dfrac{b}{a}$ au lieu de $-\dfrac{b}{a}$ . Pour $y' = 2y + 8$ , la solution constante est $-4$ : $2 \times (-4) + 8 = 0$  ; avec $+4$ , on trouverait $16$ .
Tu poses la condition initiale sur $K\mathrm{e}^{ax}$ seul. Pour $y' = 2y + 8$ et $y(0) = 1$ , on écrit $K - 4 = 1$ et non $K = 1$ : la solution est $5\mathrm{e}^{2x} - 4$ .
Tu perds le signe de $a$ dans l’exposant. Les solutions de $y' = -3y$ sont les $K\mathrm{e}^{-3x}$ : la dérivée de $K\mathrm{e}^{3x}$ est $3K\mathrm{e}^{3x}$ , pas $-3K\mathrm{e}^{3x}$ .
Tu appliques $-\dfrac{b}{a}$ quand $a = 0$ . L’équation $y' = 5$ n’est pas de la forme $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ : ses solutions sont les primitives de la constante $5$ , soit $x \mapsto 5x + C$ .
Tu oublies que la limite dépend du signe de $a$ . Avec $a < 0$ , la solution tend vers $-\dfrac{b}{a}$  ; avec $a > 0$ , comme $5\mathrm{e}^{2x} - 4$ , elle n’a pas de limite finie en $+\infty$ , sauf la solution constante.

À retenir

$y' = ay$ a pour solutions $K\mathrm{e}^{ax}$ .
$y' = ay + b$ ( $a \neq 0$ ) a pour solutions $K\mathrm{e}^{ax} -{}$ $\dfrac{b}{a}$ .
Avec une solution particulière $g$ de $y' = ay + f$ : $g + K\mathrm{e}^{ax}$ .
La condition initiale $y(x_0) = y_0$ donne $K$  ; on l’applique à la solution complète.
Avec $a < 0$ , la solution se rapproche de $-\dfrac{b}{a}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?+
Réponse :Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir sa dérivée. Par exemple $y' = 2y + 8$ se lit : la dérivée de $y$ vaut deux fois $y$ plus $8$ . Ses solutions sont des fonctions, pas des nombres, et il y en a une infinité.
2.Comment résoudre $y' = ay + b$  ?+
Réponse :Tu écris la solution constante $-\dfrac{b}{a}$ , tu ajoutes les solutions de $y' = ay$ , qui sont les $K\mathrm{e}^{ax}$ , et tu obtiens $y(x) ={}$ $K\mathrm{e}^{ax} -{}$ $\dfrac{b}{a}$ . La condition initiale, quand l’énoncé en donne une, permet ensuite de calculer $K$ .
3.Pourquoi la solution contient-elle une constante $K$  ?+
Réponse :Une équation différentielle du premier ordre a une infinité de solutions, une pour chaque valeur de $K$ . Géométriquement, ce sont des courbes qui ne se coupent jamais. La condition initiale impose de passer par un point donné, ce qui ne laisse qu’une seule courbe.
4.Comment calculer $K$ avec la condition initiale ?+
Réponse :Remplace la variable par la valeur de la condition dans l’expression complète de la solution. Si $y(x) ={}$ $K\mathrm{e}^{2x} - 4$ et $y(0) = 1$ , tu obtiens $K - 4 = 1$ , donc $K = 5$ . N’oublie pas la solution particulière dans cette équation.
5.Que devient la solution quand le temps devient grand ?+
Réponse :Si $a < 0$ , $\mathrm{e}^{at}$ tend vers $0$ : la solution tend vers $-\dfrac{b}{a}$ , qui représente un équilibre ou une température finale. Si $a > 0$ , $\mathrm{e}^{at}$ tend vers $+\infty$ et la solution tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $K$ , sauf la solution constante ( $K = 0$ ).
6.Comment vérifier qu’une fonction est solution ?+
Réponse :Dérive la fonction proposée, remplace $y$ et $y'$ dans l’équation et compare les deux membres. Pour une solution particulière donnée par l’énoncé, c’est exactement la question « montrer que $g$ est solution ». Contrôle ensuite la condition initiale.
7.Comment les équations différentielles tombent-elles au bac ?+
Réponse :Au bac, 26 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question sur une équation différentielle. Elle ouvre par exemple un exercice de modélisation : « donner les solutions », puis « en déduire l’expression de la fonction » avec une condition initiale, enfin un calcul de seuil avec le logarithme.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Équations différentielles : y′ = ay + b, solutions et condition initiale

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Identifie $a$ et $b$

2.Écris les solutions de $y' = ay$

3.Trouve une solution particulière

4.Écris toutes les solutions

5.Fixe $K$ avec la condition initiale

6.Vérifie

Exemples

1.L’équation $y' = ay$ et une condition initiale

2.L’équation $y' = ay + b$

3.Un refroidissement

4.Une solution particulière donnée

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.1

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.2

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

Dernier exercice.

Équations différentielles : y′ = ay + b, solutions et condition initiale

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Identifie aaa et bbb

2.Écris les solutions de y′=ayy' = ayy′=ay

3.Trouve une solution particulière

4.Écris toutes les solutions

5.Fixe KKK avec la condition initiale

6.Vérifie

Exemples

1.L’équation y′=ayy' = ayy′=ay et une condition initiale

2.L’équation y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

3.Un refroidissement

4.Une solution particulière donnée

Une question du sujet

Teste-toi

Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

1.Identifie $a$ et $b$

2.Écris les solutions de $y' = ay$

5.Fixe $K$ avec la condition initiale

1.L’équation $y' = ay$ et une condition initiale

2.L’équation $y' = ay + b$