Qu’est-ce qu’une primitive ?

Une primitive d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$. Dériver et chercher une primitive sont deux opérations inverses. La fonction $x \mapsto x^2$ est une primitive de $x \mapsto 2x$, parce que la dérivée de $x^2$ est $2x$.

Pourquoi une fonction a-t-elle plusieurs primitives ?

La dérivée d’une constante est nulle : si $F$ est une primitive de $f$, alors $F + C$ en est une autre pour tout réel $C$. Réciproquement, deux primitives de la même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante. Leurs courbes se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale.

Comment trouver la constante $C$ ?

Avec une condition initiale, par exemple $F(0) = 3$. Tu écris l’expression générale $F(x) = \dots + C$, tu y remplaces $x$ par $0$, puis tu résous l’équation obtenue, d’inconnue $C$. Sans condition, tu laisses la constante dans la réponse ou tu donnes seulement « une primitive », selon la question.

Comment reconnaître la forme $u'u^{n}$ ou $\dfrac{u'}{u}$ ?

Cherche dans la fonction une expression qui se répète, élevée à une puissance ou au dénominateur, et dérive-la. Si sa dérivée apparaît en facteur, à un coefficient près, c’est la bonne forme. Ajuste alors le coefficient avant d’écrire la primitive, puis vérifie en dérivant.

Comment vérifier qu’une fonction est une primitive ?

Tu dérives la fonction proposée et tu retrouves $f$. Pour un produit, utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$ ; pour une composée, la dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ est $u'\mathrm{e}^{u}$. Écris le calcul en entier : c’est ce que les sujets demandent avec « montrer que ».

Comment les primitives tombent-elles au bac ?

Au bac, 7 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question de primitive, sous la forme « montrer que $F$ est une primitive de $f$ », « déterminer $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive » ou « justifier qu’une courbe représente une primitive ». Elles servent surtout de passage vers une intégrale.

Que dit le signe de $f$ sur une primitive ?

Puisque $F' = f$, le signe de $f$ donne les variations de $F$ : si $f$ est positive sur un intervalle, $F$ y est croissante ; si $f$ est négative, $F$ y est décroissante. Sur un graphique, c’est ainsi qu’on reconnaît les courbes qui peuvent représenter une primitive de $f$.

Bac 2027 · spécialité mathématiques

Primitives : tableau des primitives usuelles, calcul et condition initiale

Une primitive de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ . Calculer une primitive, c’est dériver à l’envers : on s’appuie sur le tableau des primitives usuelles et sur quelques formes composées à reconnaître. Elle sert de passage : elle ouvre le calcul d’une intégrale ou la résolution d’une équation différentielle. Ici, tu trouves l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions de sujets de 2024 et 2026.

Bac de terminale, spécialité mathématiques : dans 7 des 36 sujets de 2024 à 2026

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$ . Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Deux primitives de $f$ sur un intervalle diffèrent d’une constante : si $F$ est une primitive, les autres sont les $F + C$ avec $C \in \mathbb{R}$ . Avec une condition initiale $F(x_0) = y_0$ , une seule de ces fonctions convient.
Primitives usuelles : $k$ a pour primitive $kx$  ; $x^n$ (avec $n$ entier, $n \neq -1$ ) a pour primitive $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , sur $\mathbb{R}$ si $n \geqslant 0$ et sur un intervalle ne contenant pas $0$ si $n \leqslant -2$  ; $\dfrac{1}{x}$ a pour primitive $\ln(x)$ sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$  ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ a pour primitive $2\sqrt{x}$ sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$  ; $\mathrm{e}^{x}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{x}$  ; $\cos$ a pour primitive $\sin$ et $\sin$ a pour primitive $-\cos$ .
Linéarité : si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et de $g$ , alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ est une primitive de $kf$ .
Formes composées (avec $u$ dérivable) : $u'u^{n}$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ( $n \neq -1$ ) ; $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln(u)$ là où $u > 0$  ; $u'\mathrm{e}^{u}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{u}$  ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u}$ .
Pour une fonction affine à l’intérieur : $\cos(ax + b)$ a pour primitive $\dfrac{1}{a}\sin(ax + b)$ et $\mathrm{e}^{ax+b}$ a pour primitive $\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax+b}$ , avec $a \neq 0$ .
Un calcul de primitive se vérifie : on dérive le résultat et on retrouve $f$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repère la forme de la fonction
Est-ce une somme de termes usuels ( $x^n$ , $\dfrac{1}{x}$ , $\mathrm{e}^{x}$ , $\cos$ , $\sin$ ) ou un quotient ou un produit où l’on voit une dérivée ? Une somme se traite terme à terme, par linéarité.
2.Cherche $u$ et $u'$
Quand la fonction ressemble à $\dfrac{u'}{u}$ , $u'u^{n}$ ou $u'\mathrm{e}^{u}$ , repère l’expression $u$ puis dérive-la : $u'$ doit apparaître dans $f$ , à un coefficient près.
3.Ajuste le coefficient
Si $u'$ n’apparaît qu’à un facteur près, multiplie et divise par ce facteur. Par exemple $\dfrac{x}{x^2 + 4} ={}$ $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2x}{x^2 + 4}$ , car la dérivée de $x^2 + 4$ est $2x$ .
4.Écris toutes les primitives, puis fixe la constante
Une primitive trouvée donne les autres en ajoutant $C$ . Quand l’énoncé impose $F(x_0) = y_0$ , remplace $x$ par $x_0$ dans $F(x) + C$ et résous l’équation d’inconnue $C$ .
5.Vérifie en dérivant
Dérive le résultat : tu dois retrouver exactement $f(x)$ . Ce contrôle prend une minute et attrape les oublis de coefficient.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Une somme de termes usuels et une condition initiale
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ par $f(x) ={}$ $4x^3 -{}$ $\dfrac{6}{x^2} +{}$ $\dfrac{5}{x}$ . Détermine la primitive $F$ de $f$ sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ telle que $F(1) = 2$ .
2.La forme $u'u^{n}$
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) ={}$ $(2x + 3)(x^2 + 3x - 1)^4$ . Détermine une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ .
3.La forme $\dfrac{u'}{u}$ avec un coefficient à ajuster
On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) ={}$ $\dfrac{x}{x^2 + 4}$ . Détermine la primitive $K$ de $k$ sur $\mathbb{R}$ telle que $K(0) = 3$ .
4.Vérifier qu’une fonction est une primitive
Soient $f$ et $F$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) ={}$ $(x - 1)\mathrm{e}^{x}$ et $F(x) ={}$ $(x - 2)\mathrm{e}^{x}$ . Montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 2 — exercice 4, question C.1

Exercice 4 — Partie C : $k$ quelconque

On considère la fonction

f_k

définie sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par :

f_k(x) ={}

1 -{}

x +{}

\dfrac{k(1 + \ln x)}{x}

où

k

est un réel strictement positif et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On désigne par

C_k

la représentation graphique de la fonction

f_k

dans un repère orthonormé. On admet que la fonction

f_k

est deux fois dérivable sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f_k'

sa dérivée première et

f_k''

sa dérivée seconde. On considère la fonction

h

définie sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par

h(x) ={}

\frac{1 + \ln x}{x}

et la fonction

H

définie sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par

H(x) ={}

\frac{1}{2}(1 + \ln x)^2

. On admet que

H

est dérivable sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

Question C.1

1. Montrer que la fonction

H

est une primitive de

h

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Antilles-Guyane, jour 2, exercice 4, question C.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetbac

Bac 2024, Asie, jour 1 — exercice 1, question B.2.a

Exercice 1 — Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction

f

, définie et deux fois dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

, est définie par

f(x) ={}

(4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}

. On notera respectivement

f'

f''

la dérivée et la dérivée seconde de la fonction

f

Question B.2.a

2. On considère une fonction

F

définie sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

par

F(x) ={}

(ax + b)\mathrm{e}^{-x+1}

, où

a

b

sont deux nombres réels. a. Déterminer les valeurs des réels

a

b

telles que la fonction

F

soit une primitive de la fonction

f

sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2024, spécialité mathématiques, Asie, jour 1, exercice 1, question B.2.a (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

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vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) ={}

-6x^2 -{}

6x +{}

4 -{}

4\mathrm{e}^{x}

. Déterminer la primitive

F

f

sur

\mathbb{R}

telle que

F(0) = -3

F(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = 5\cos(4x)

. Déterminer la primitive

F

f

sur

\mathbb{R}

telle que

F(0) = -3

F(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

exercice Kleksa

Question 3.

Laquelle de ces fonctions est une primitive sur

\mathbb{R}

de la fonction

f

définie par

f(x) ={}

(2x - 4)\mathrm{e}^{x^2 - 4x}

Exercice écrit pour cette page — corrigé Kleksa.

exercice Kleksa

Question 4.

Soit

F

la primitive sur

\mathbb{R}

de la fonction

f

définie par

f(x) = 6x^2 - 4x + 1

qui vérifie

F(0) = 3

. Calcule

F(2)

Exercice écrit pour cette page — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu oublies la constante. Les fonctions $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto x^2 + 5$ ont toutes deux pour dérivée $x \mapsto 2x$ : sans condition initiale, on écrit « $+ C$ ».
Tu oublies le coefficient de la fonction affine à l’intérieur. Une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$ et non $\mathrm{e}^{2x}$ , dont la dérivée est $2\mathrm{e}^{2x}$ .
Tu cherches la primitive d’un produit facteur par facteur. Une primitive de $x\mathrm{e}^{x}$ n’est pas $\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^{x}$ : la dérivée de cette fonction vaut $x\mathrm{e}^{x} +{}$ $\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^{x}$ . Cherche d’abord une forme $u'\mathrm{e}^{u}$ ou une intégration par parties.
Tu appliques la formule de $x^n$ avec $n = -1$ . Pour $\dfrac{1}{x}$ , le tableau donne $\ln(x)$  ; pour $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ , on trouve bien $-\dfrac{1}{x}$ .
Tu écris $\ln(u)$ sans regarder le signe de $u$ . Une primitive de $\dfrac{-2x}{1 - x^2}$ est $\ln(1 - x^2)$ seulement sur $\mathopen{]}-1 \mathrel{;} 1[$ , là où $1 - x^2 > 0$ .

À retenir

Primitive de $f$ : une fonction $F$ telle que $F' = f$  ; les autres sont les $F + C$ .
$x^n$ ( $n \neq -1$ ) a pour primitive $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$  ; $\dfrac{1}{x}$ a pour primitive $\ln(x)$ .
$\mathrm{e}^{x}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{x}$  ; $\cos$ a pour primitive $\sin$  ; $\sin$ a pour primitive $-\cos$ .
$u'u^{n}$ : $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$  ; $\dfrac{u'}{u}$ : $\ln(u)$  ; $u'\mathrm{e}^{u}$ : $\mathrm{e}^{u}$ .
Avec $F(x_0) = y_0$ , on remplace $x$ par $x_0$ pour trouver $C$ .
On vérifie toujours en dérivant.

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce qu’une primitive ?+
Réponse :Une primitive d’une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ . Dériver et chercher une primitive sont deux opérations inverses. La fonction $x \mapsto x^2$ est une primitive de $x \mapsto 2x$ , parce que la dérivée de $x^2$ est $2x$ .
2.Pourquoi une fonction a-t-elle plusieurs primitives ?+
Réponse :La dérivée d’une constante est nulle : si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F + C$ en est une autre pour tout réel $C$ . Réciproquement, deux primitives de la même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante. Leurs courbes se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale.
3.Comment trouver la constante $C$  ?+
Réponse :Avec une condition initiale, par exemple $F(0) = 3$ . Tu écris l’expression générale $F(x) = \dots + C$ , tu y remplaces $x$ par $0$ , puis tu résous l’équation obtenue, d’inconnue $C$ . Sans condition, tu laisses la constante dans la réponse ou tu donnes seulement « une primitive », selon la question.
4.Comment reconnaître la forme $u'u^{n}$ ou $\dfrac{u'}{u}$  ?+
Réponse :Cherche dans la fonction une expression qui se répète, élevée à une puissance ou au dénominateur, et dérive-la. Si sa dérivée apparaît en facteur, à un coefficient près, c’est la bonne forme. Ajuste alors le coefficient avant d’écrire la primitive, puis vérifie en dérivant.
5.Comment vérifier qu’une fonction est une primitive ?+
Réponse :Tu dérives la fonction proposée et tu retrouves $f$ . Pour un produit, utilise la formule $(uv)' = u'v + uv'$  ; pour une composée, la dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ est $u'\mathrm{e}^{u}$ . Écris le calcul en entier : c’est ce que les sujets demandent avec « montrer que ».
6.Comment les primitives tombent-elles au bac ?+
Réponse :Au bac, 7 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question de primitive, sous la forme « montrer que $F$ est une primitive de $f$ », « déterminer $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive » ou « justifier qu’une courbe représente une primitive ». Elles servent surtout de passage vers une intégrale.
7.Que dit le signe de $f$ sur une primitive ?+
Réponse :Puisque $F' = f$ , le signe de $f$ donne les variations de $F$ : si $f$ est positive sur un intervalle, $F$ y est croissante ; si $f$ est négative, $F$ y est décroissante. Sur un graphique, c’est ainsi qu’on reconnaît les courbes qui peuvent représenter une primitive de $f$ .

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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Primitives : tableau des primitives usuelles, calcul et condition initiale

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère la forme de la fonction

2.Cherche uuu et u′u'u′

3.Ajuste le coefficient

4.Écris toutes les primitives, puis fixe la constante

5.Vérifie en dérivant

Exemples

1.Une somme de termes usuels et une condition initiale

2.La forme u′unu'u^{n}u′un

3.La forme u′u\dfrac{u'}{u}uu′​ avec un coefficient à ajuster

4.Vérifier qu’une fonction est une primitive

Une question du sujet

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

2.Cherche $u$ et $u'$

2.La forme $u'u^{n}$

3.La forme $\dfrac{u'}{u}$ avec un coefficient à ajuster