Comment lever une forme indéterminée ?

Transforme l’écriture avant de passer à la limite. Factorise le terme prépondérant : la plus grande puissance de $x$ dans un polynôme, ou $\mathrm{e}^{x}$ devant une puissance. Reconnais une croissance comparée, comme $\dfrac{\ln(x)}{x}$ ou $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$, ou pose $X$ égal à l’expression qui gêne pour retrouver une limite de référence.

Comment déterminer une asymptote ?

Calcule la limite aux bornes de l’ensemble de définition. Si $f(x)$ tend vers un réel $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers un réel $a$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?

Pour résoudre $f(x) = k$ sur un intervalle, vérifie que $f$ est continue et strictement monotone, puis que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, ou entre une valeur et une limite. Tu peux alors écrire que l’équation admet une unique solution, puis l’encadrer à la calculatrice.

Quelle est la différence entre « au moins une solution » et « une unique solution » ?

Avec la seule continuité, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution. L’unicité demande en plus que la fonction soit strictement monotone sur l’intervalle : deux solutions différentes donneraient deux images égales, ce qui est impossible pour une fonction strictement croissante ou décroissante.

Les limites tombent-elles souvent au bac ?

Oui : les limites et la continuité sont demandées dans 30 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On les trouve dans l’étude d’une fonction (asymptotes, tableau de variations complet) et pour montrer qu’une équation admet une unique solution, comme aux questions 1 et 4 de la partie B de l’exercice 4 du sujet de juin 2026 de Métropole.

Comment prouver qu’une limite vaut zéro avec le théorème des gendarmes ?

Encadre la fonction entre deux fonctions qui tendent vers $0$. Par exemple, comme $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$, on obtient pour $x > 0$ l’encadrement $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\cos(x)}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$ ; les deux bornes tendent vers $0$, donc la fonction aussi.

Quelle limite faut-il connaître pour une limite avec un logarithme ?

Retiens $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln(x) = 0$. Pour une expression comme $\dfrac{\ln(x + 1)}{x + 1}$, poser $X = x + 1$ ramène à la première limite.

Limites et continuité : asymptotes, valeurs intermédiaires — bac

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Limites et asymptotes : si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) ={}$ $\ell$ (ou en $-\infty$ ), la droite d’équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe. Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) ={}$ $+\infty$ ou $-\infty$ (éventuellement d’un seul côté de $a$ ), la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale.
Limites de référence : $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{n} ={}$ $+\infty$ pour $n \geqslant 1$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^{n}} ={}$ $0$ , $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} ={}$ $+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} ={}$ $-\infty$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} ={}$ $+\infty$ , $\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x} ={}$ $0$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) ={}$ $+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln(x) ={}$ $-\infty$ .
Opérations : on additionne, multiplie ou divise les limites quand le résultat est défini. Quatre cas sont des formes indéterminées : $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ . On les lève en factorisant le terme prépondérant : à l’infini, un quotient de polynômes a la limite du quotient de leurs termes de plus haut degré.
Croissances comparées : pour tout entier $n \geqslant 1$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}} ={}$ $+\infty$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{n}\mathrm{e}^{-x} ={}$ $0$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^{n}} ={}$ $0$ et $\lim\limits_{x \to 0^{+}} x^{n}\ln(x) ={}$ $0$ . À l’infini, l’exponentielle l’emporte sur la puissance, qui l’emporte sur le logarithme.
Comparaison : si $f(x) \geqslant g(x)$ au voisinage de $+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) ={}$ $+\infty$ , alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) ={}$ $+\infty$ . Théorème des gendarmes : si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ et que $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ , alors $f$ a pour limite $\ell$ .
Continuité : une fonction est continue sur un intervalle quand sa courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition, et toute fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse.
Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur $[a \mathrel{;} b]$ , pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a \mathrel{;} b]$ . Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique (corollaire, parfois appelé théorème de la bijection).

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Calcule la limite avec les limites de référence
Remplace $x$ par sa valeur ou par l’infini dans chaque terme, avec les limites de référence et les opérations. Si le résultat est défini, tu as fini ; sinon, tu es devant une forme indéterminée.
2.Repère la forme indéterminée
Les quatre formes à surveiller sont $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ . Dans un quotient dont les deux termes tendent vers l’infini, ou dans une différence de deux termes infinis, il faut transformer l’écriture avant de conclure.
3.Lève l’indétermination
Factorise le terme prépondérant (la plus grande puissance, l’exponentielle, ou $x$ devant $\ln(x)$ ), ou reconnais une croissance comparée. Tu peux aussi poser $X = x + 1$ , par exemple, pour te ramener à une limite de référence.
4.Interprète la limite en asymptote
Si la limite en $\pm\infty$ est un réel $\ell$ , la courbe admet l’asymptote horizontale $y = \ell$ . Si la limite en $a$ est infinie, elle admet l’asymptote verticale $x = a$ . Précise le côté si la limite diffère à gauche et à droite.
5.Pour une équation $f(x) = k$ , utilise le théorème des valeurs intermédiaires
Vérifie que $f$ est continue (dérivable suffit) et strictement monotone sur l’intervalle, puis que $k$ est compris entre les valeurs (ou les limites) aux deux bornes. Conclus : une unique solution. Encadre-la ensuite en calculant $f$ en des valeurs successives.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Limites aux bornes et asymptotes
On considère la fonction $f$ définie sur $]1 \mathrel{;} +\infty[$ par $f(x) ={}$ $\dfrac{5x + 2}{x - 1}$ . Détermine ses limites aux bornes de l’intervalle et les asymptotes de sa courbe.
2.Une croissance comparée
Détermine la limite en $+\infty$ de la fonction $h$ définie sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ par $h(x) ={}$ $\dfrac{\mathrm{e}^{x} - 1}{x^{2}}$ .
3.Comparaison et théorème des gendarmes
Détermine les limites en $+\infty$ de $u(x) = x + \cos(x)$ et de $v(x) ={}$ $\dfrac{\cos(x)}{x}$ .
4.Une unique solution par le théorème des valeurs intermédiaires
Montre que l’équation $x^{3} + x = 3$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 \mathrel{;} 2]$ , puis donne un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.1

Exercice 4 — Partie B

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

a +{}

\dfrac{b\ln(x + 1)}{x + 1}

, où

a

et

b

sont des réels, et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction

f

est deux fois dérivable sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f'

sa fonction dérivée et

f''

sa fonction dérivée seconde. On admet dans la suite de l’exercice que la fonction

f

est définie sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

1 +{}

\dfrac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

.

Question B.1

1. Justifier que la droite d’équation

y = 1

est asymptote à la courbe représentative de la fonction

f

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 4, question B.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.4

Exercice 4 — Partie B

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

a +{}

\dfrac{b\ln(x + 1)}{x + 1}

, où

a

et

b

sont des réels, et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction

f

est deux fois dérivable sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f'

sa fonction dérivée et

f''

sa fonction dérivée seconde. On admet dans la suite de l’exercice que la fonction

f

est définie sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

1 +{}

\dfrac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

.

Question B.4

4. Montrer que l’équation

f(x) = 1{,}5

admet une unique solution dans l’intervalle

[2 \mathrel{;} +\infty[

. En donner une valeur arrondie à

10^{-1}

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 4, question B.4 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

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bac

Question 1.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathopen{]}-2 \mathrel{;} +\infty[

par

f(x) ={}

\dfrac{3x^3 - 3x^2 + 4x + 2}{2x^3 + 16}

. Déterminer la limite de

f

en

+\infty

.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathopen{]}-\infty \mathrel{;} -5[

par

f(x) ={}

\dfrac{x + 7}{x + 5}

. Déterminer la limite de

f(x)

quand

x

tend vers

-5

.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Soit

f

la fonction définie sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par

f(x) ={}

0{,}5 - \dfrac{\ln(x)}{x^3}

. Déterminer la limite de

f

en

+\infty

.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) ={}

\dfrac{2x^2 + 8}{x^2 - x + 6}

. La courbe représentative de

f

admet une asymptote horizontale en

+\infty

. Donner une équation de cette asymptote, de la forme

y = k

, avec la valeur exacte de

k

.

y =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 5.

Soit

f

la fonction définie sur

[1 \mathrel{;} 6]

par

f(x) ={}

\ln(x) + 2x - 8

. On admet que l’équation

f(x) = 0

admet une unique solution

\alpha

dans l’intervalle

[1 \mathrel{;} 6]

. Donner une valeur de

\alpha

arrondie à

10^{-2}

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu conclus sans lever une forme indéterminée. Pour $\dfrac{4x + 1}{x - 3}$ en $+\infty$ , « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » ne vaut ni $1$ ni $\infty$ : on factorise $x$ en haut et en bas, et la limite est $4$ .
Tu appliques le théorème des valeurs intermédiaires sans la stricte monotonie. Sans elle, tu obtiens seulement « au moins une solution » : pour écrire « une unique solution », vérifie que la fonction est strictement croissante ou strictement décroissante.
Tu confonds les deux asymptotes. Une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l’asymptote horizontale $y = \ell$  ; une limite infinie en un réel $a$ donne l’asymptote verticale $x = a$ .
Tu penses que « continue » veut dire « dérivable ». La fonction valeur absolue est continue en $0$ , mais pas dérivable : les pentes à gauche et à droite valent $-1$ et $1$ . Dans l’autre sens, toute fonction dérivable est continue.
Tu oublies de séparer la limite à gauche et à droite. En $0$ , $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ par valeurs positives et vers $-\infty$ par valeurs négatives : il n’y a pas de limite unique en $0$ .

À retenir

Limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ : asymptote horizontale $y = \ell$ . Limite infinie en $a$ : asymptote verticale $x = a$ .
Croissances comparées : à l’infini, $\mathrm{e}^{x}$ l’emporte sur $x^{n}$ , qui l’emporte sur $\ln(x)$ .
Formes indéterminées : $+\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $\dfrac{0}{0}$ .
Théorème des valeurs intermédiaires : $f$ continue et strictement monotone, $k$ entre les valeurs aux bornes, donc une unique solution de $f(x) = k$ .
Toute fonction dérivable est continue ; la réciproque est fausse.

Questions fréquentes

1.Comment lever une forme indéterminée ?+
Réponse :Transforme l’écriture avant de passer à la limite. Factorise le terme prépondérant : la plus grande puissance de $x$ dans un polynôme, ou $\mathrm{e}^{x}$ devant une puissance. Reconnais une croissance comparée, comme $\dfrac{\ln(x)}{x}$ ou $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ , ou pose $X$ égal à l’expression qui gêne pour retrouver une limite de référence.
2.Comment déterminer une asymptote ?+
Réponse :Calcule la limite aux bornes de l’ensemble de définition. Si $f(x)$ tend vers un réel $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers un réel $a$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.
3.Comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ?+
Réponse :Pour résoudre $f(x) = k$ sur un intervalle, vérifie que $f$ est continue et strictement monotone, puis que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , ou entre une valeur et une limite. Tu peux alors écrire que l’équation admet une unique solution, puis l’encadrer à la calculatrice.
4.Quelle est la différence entre « au moins une solution » et « une unique solution » ?+
Réponse :Avec la seule continuité, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution. L’unicité demande en plus que la fonction soit strictement monotone sur l’intervalle : deux solutions différentes donneraient deux images égales, ce qui est impossible pour une fonction strictement croissante ou décroissante.
5.Les limites tombent-elles souvent au bac ?+
Réponse :Oui : les limites et la continuité sont demandées dans 30 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On les trouve dans l’étude d’une fonction (asymptotes, tableau de variations complet) et pour montrer qu’une équation admet une unique solution, comme aux questions 1 et 4 de la partie B de l’exercice 4 du sujet de juin 2026 de Métropole.
6.Comment prouver qu’une limite vaut zéro avec le théorème des gendarmes ?+
Réponse :Encadre la fonction entre deux fonctions qui tendent vers $0$ . Par exemple, comme $-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1$ , on obtient pour $x > 0$ l’encadrement $-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\cos(x)}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}$  ; les deux bornes tendent vers $0$ , donc la fonction aussi.
7.Quelle limite faut-il connaître pour une limite avec un logarithme ?+
Réponse :Retiens $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} ={}$ $0$ et $\lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln(x) ={}$ $0$ . Pour une expression comme $\dfrac{\ln(x + 1)}{x + 1}$ , poser $X = x + 1$ ramène à la première limite.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Limites et continuité : asymptotes, croissances comparées et théorème des valeurs intermédiaires

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Calcule la limite avec les limites de référence

2.Repère la forme indéterminée

3.Lève l’indétermination

4.Interprète la limite en asymptote

5.Pour une équation $f(x) = k$ , utilise le théorème des valeurs intermédiaires

Exemples

1.Limites aux bornes et asymptotes

2.Une croissance comparée

3.Comparaison et théorème des gendarmes

4.Une unique solution par le théorème des valeurs intermédiaires

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.1

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.4

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À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

Dernier exercice.

Limites et continuité : asymptotes, croissances comparées et théorème des valeurs intermédiaires

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Calcule la limite avec les limites de référence

2.Repère la forme indéterminée

3.Lève l’indétermination

4.Interprète la limite en asymptote

5.Pour une équation f(x)=kf(x) = kf(x)=k, utilise le théorème des valeurs intermédiaires

Exemples

1.Limites aux bornes et asymptotes

2.Une croissance comparée

3.Comparaison et théorème des gendarmes

4.Une unique solution par le théorème des valeurs intermédiaires

Une question du sujet

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

5.Pour une équation $f(x) = k$ , utilise le théorème des valeurs intermédiaires