Quelle est la différence entre le logarithme népérien et l’exponentielle ?

Ce sont deux fonctions réciproques : l’exponentielle transforme un exposant en nombre strictement positif, le logarithme fait l’inverse. Ainsi $\mathrm{e}^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(\mathrm{e}^{x}) = x$ pour tout réel $x$. Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$.

Comment résoudre une équation avec un logarithme ?

Pose d’abord la condition d’existence, puis isole le logarithme pour arriver à $\ln(u) = k$. Passe à l’exponentielle : $u = \mathrm{e}^{k}$. Résous cette équation, puis vérifie que chaque solution respecte la condition du départ. Si les deux membres sont des logarithmes, $\ln(u) = \ln(v)$ donne $u = v$.

Pourquoi faut-il toujours vérifier le domaine ?

Parce que $\ln(u)$ n’existe que si $u > 0$. En regroupant ou en séparant des logarithmes, tu peux faire apparaître des solutions qui rendent un des nombres négatif ou nul : elles ne sont pas valables. Dans $\ln(x) + \ln(x - 3) = \ln(4)$, la valeur $x = -1$ est trouvée par le calcul mais rejetée.

Comment dériver une fonction de la forme $\ln(u)$ ?

Si $u$ est dérivable et strictement positive, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Pour $\ln(3x + 2)$, on a $u(x) = 3x + 2$ et $u'(x) = 3$, donc la dérivée est $\dfrac{3}{3x + 2}$. N’oublie pas de multiplier par la dérivée de l’intérieur au numérateur.

Le logarithme népérien tombe-t-il souvent au bac ?

Oui : il est demandé dans 29 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On le retrouve dans l’étude de fonctions, dans les équations différentielles et dans les suites, dès qu’il faut trouver un temps ou un seuil : à la question 3 de la partie A de l’exercice 3 du sujet de juin 2026 de Métropole, il donne le temps nécessaire pour atteindre 20 °C.

Comment résoudre une inéquation du type $a^{n} > b$ ?

Applique $\ln$ aux deux membres, ce qui conserve le sens car $\ln$ est croissante, puis écris $n\ln(a) > \ln(b)$. Divise par $\ln(a)$ : si $a > 1$, le sens est conservé ; si $0 < a < 1$, $\ln(a)$ est négatif et le sens change.

Que valent $\ln(0)$ et le logarithme d’un nombre négatif ?

Ils n’existent pas : $\ln(x)$ n’est défini que pour $x > 0$. Quand $x$ se rapproche de $0$ par des valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ ; c’est pourquoi l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

Logarithme népérien : propriétés, équations, limites — bac maths

Q: Que valent $\ln(0)$ et le logarithme d’un nombre négatif ?

Ils n’existent pas : $\ln(x)$ n’est défini que pour $x > 0$. Quand $x$ se rapproche de $0$ par des valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ ; c’est pourquoi l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est définie sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ : c’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour $x > 0$ et $y$ réel, $y = \ln(x)$ équivaut à $x = \mathrm{e}^{y}$ . On en tire $\ln(1) = 0$ , $\ln(\mathrm{e}) = 1$ , $\mathrm{e}^{\ln(x)} ={}$ $x$ pour $x > 0$ et $\ln(\mathrm{e}^{x}) ={}$ $x$ pour tout réel $x$ .
Propriétés algébriques : pour $a > 0$ , $b > 0$ et $n$ entier, $\ln(ab) ={}$ $\ln(a) + \ln(b)$ , $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ et $\ln(a^{n}) ={}$ $n\ln(a)$ .
Dérivée et variations : $\ln$ est dérivable sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ . Elle est donc strictement croissante : $\ln(a) < \ln(b)$ équivaut à $a < b$ , et $\ln(a) = \ln(b)$ équivaut à $a = b$ . Son signe : $\ln(x) < 0$ sur $]0 \mathrel{;} 1[$ et $\ln(x) > 0$ sur $]1 \mathrel{;} +\infty[$ .
Limites : $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln(x) ={}$ $-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) ={}$ $+\infty$  ; l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe. Croissances comparées : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} ={}$ $0$ et $\lim\limits_{x \to 0^{+}} x\ln(x) ={}$ $0$ .
Dérivée de $\ln(u)$ : si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors $\ln(u)$ est dérivable sur cet intervalle et $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ .
Équations et inéquations : pour $u > 0$ et $k$ réel, $\ln(u) = k$ équivaut à $u = \mathrm{e}^{k}$ , et $\ln(u) \leqslant k$ équivaut à $0 < u \leqslant \mathrm{e}^{k}$ . Pour $k > 0$ , $\mathrm{e}^{x} = k$ équivaut à $x = \ln(k)$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Commence par le domaine
Un logarithme n’existe que pour un nombre strictement positif. Avant de résoudre une équation ou une inéquation qui contient $\ln(u)$ , écris la condition $u > 0$ : les solutions trouvées ensuite doivent la vérifier, sinon elles sont rejetées.
2.Isole le logarithme, puis passe à l’exponentielle
Ramène l’équation à $\ln(u) = k$ , puis écris $u = \mathrm{e}^{k}$ . Dans l’autre sens, $\mathrm{e}^{u} = k$ avec $k > 0$ donne $u = \ln(k)$ . Pour $\ln(u) = \ln(v)$ , écris directement $u = v$ après avoir posé $u > 0$ et $v > 0$ .
3.Pour une inéquation, surveille le sens
La fonction $\ln$ est strictement croissante : elle conserve le sens de l’inégalité, et $\ln(u) \leqslant \ln(v)$ équivaut à $u \leqslant v$ (avec $u > 0$ et $v > 0$ ). Le sens change seulement quand tu divises par un nombre négatif, comme $\ln(0{,}8)$ .
4.Transforme avec les propriétés algébriques
Regroupe ou sépare : une somme de logarithmes devient le logarithme d’un produit, une différence celui d’un quotient, et $n\ln(a) ={}$ $\ln(a^{n})$ . Choisis le sens qui fait apparaître un seul $\ln$ ou un nombre simple.
5.Étudie une fonction qui contient $\ln$
Dérive avec $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ , étudie le signe de la dérivée sur le domaine, puis dresse le tableau de variations. Pour les limites, repère la forme indéterminée : une expression comme $\dfrac{\ln(x)}{x}$ se traite avec les croissances comparées.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Une équation avec un logarithme
Résous dans $]1 \mathrel{;} +\infty[$ l’équation $\ln(2x - 2) = 3$ .
2.Une inéquation avec une somme de logarithmes
Résous dans $]3 \mathrel{;} +\infty[$ l’inéquation $\ln(x) +{}$ $\ln(x - 3) \leqslant \ln(4)$ .
3.Étudier une fonction qui contient $\ln$
On considère la fonction $f$ définie sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln(x)$ . Calcule $f'(x)$ , étudie son signe, dresse le tableau de variations de $f$ , puis montre que $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$ .
4.Un seuil avec un logarithme
La quantité $u_n$ d’un produit, en unités, est multipliée par $0{,}8$ chaque heure : $u_n = 0{,}8^{n}$ . À partir de quelle heure $n$ a-t-on $u_n < 0{,}01$  ?

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.2

Exercice 4 — Partie B

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

a +{}

\dfrac{b\ln(x + 1)}{x + 1}

, où

a

et

b

sont des réels, et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction

f

est deux fois dérivable sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f'

sa fonction dérivée et

f''

sa fonction dérivée seconde. On admet dans la suite de l’exercice que la fonction

f

est définie sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

1 +{}

\dfrac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

.

Question B.2

2. Résoudre l’inéquation

1 - \ln(x + 1) > 0

sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 4, question B.2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.3

Exercice 3 — Partie A : Phase de chauffage

On étudie le fonctionnement d’un système de chauffage installé dans une pièce. Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C. Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement. Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l’instant

t

, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction

T

définie sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On admet que la fonction

T

est : • dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

; • solution de l’équation différentielle

(E) : y' ={}

-0{,}035y + 0{,}91

où

y

est une fonction de la variable

t

, définie et dérivable sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

. On note

T'

la fonction dérivée de la fonction

T

. On suppose qu’au début de l’étude, la température de la pièce est de 18 °C. Ainsi

T(0) = 18

.

Question A.3

3. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20 °C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 3, question A.3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Vu en première

les bases de première

En première, tu as étudié la fonction exponentielle : elle est strictement positive, elle est sa propre dérivée et elle vérifie

\mathrm{e}^{a + b} ={}

\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}

. Tu sais résoudre une équation comme

\mathrm{e}^{x} ={}

\mathrm{e}^{3}

en comparant les exposants, mais pas encore

\mathrm{e}^{x} = 5

: il manque une fonction qui « défait » l’exponentielle. C’est le rôle de

\ln

, introduite en terminale comme sa fonction réciproque.

Les deux fonctions sont liées par leurs courbes, symétriques par rapport à la droite d’équation

y = x

dans un repère orthonormé. Les propriétés de l’une se traduisent pour l’autre : à

\mathrm{e}^{a + b} ={}

\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}

correspond

\ln(ab) ={}

\ln(a) + \ln(b)

, et la croissance de l’exponentielle devient celle de

\ln

.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

Résoudre dans l’intervalle

\mathopen{]}-5 \mathrel{;} +\infty[

l’équation

\ln(x + 5) = 2

. Donner la valeur exacte de la solution.

x =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Résoudre dans

\mathbb{R}

l’inéquation

\mathrm{e}^{-3x - 2} \geqslant 6

. Donner l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle.

S =

Un intervalle : ]2 ; 5] ou [0 ; +∞[ (∞ peut s’écrire inf), une réunion avec U.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Soit

f

la fonction définie sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

par

f(x) ={}

(\ln(x))^2 - 3\ln(x)

. On admet que

f

est dérivable sur

]0 \mathrel{;} +\infty[

. Déterminer

f'(x)

.

f'(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Écrire

A ={}

2\ln(36) - 3\ln(2)

sous la forme

a\ln(2) + b\ln(3)

, où

a

et

b

sont des entiers relatifs.

a =

b =

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu écris $\ln(a + b) ={}$ $\ln(a) + \ln(b)$ . C’est faux : la somme de deux logarithmes est le logarithme d’un produit. Par exemple $\ln(2) + \ln(3) ={}$ $\ln(6) \approx 1{,}79$ , alors que $\ln(2 + 3) ={}$ $\ln(5) \approx 1{,}61$ .
Tu oublies la condition d’existence. Pour $\ln(x) + \ln(x - 3) ={}$ $\ln(4)$ , on trouve $x^2 - 3x - 4 = 0$ , donc $x = 4$ ou $x = -1$  ; mais $\ln(x)$ et $\ln(x - 3)$ n’existent que pour $x > 3$ : seule la valeur $4$ est une solution.
Tu gardes le sens de l’inégalité en divisant par un logarithme négatif. Dans $n\ln(0{,}8) < \ln(0{,}01)$ , comme $\ln(0{,}8) < 0$ , l’inégalité change de sens : $n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}8)}$ .
Tu écris $\ln(x^2) ={}$ $2\ln(x)$ pour tout $x$ . C’est vrai seulement pour $x > 0$ : pour $x = -3$ , $\ln(x^2) = \ln(9)$ existe, mais $\ln(-3)$ n’existe pas.
Tu dérives $\ln(2x + 1)$ en $\dfrac{1}{2x + 1}$ . Il manque la dérivée de l’intérieur : $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ donne $\dfrac{2}{2x + 1}$ .

À retenir

$\ln(ab) ={}$ $\ln(a) + \ln(b)$ , $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ et $\ln(a^{n}) ={}$ $n\ln(a)$ , pour $a > 0$ et $b > 0$ .
$\ln(u) = k$ équivaut à $u = \mathrm{e}^{k}$ (avec $u > 0$ ) ; $\mathrm{e}^{x} = k$ équivaut à $x = \ln(k)$ (avec $k > 0$ ).
La dérivée de $\ln(x)$ est $\dfrac{1}{x}$  ; celle de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$ .
$\ln$ est strictement croissante sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ , avec $\ln(1) = 0$ et $\ln(\mathrm{e}) = 1$ .
Croissances comparées : $\dfrac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et $x\ln(x)$ tend vers $0$ en $0^{+}$ .

Questions fréquentes

1.Quelle est la différence entre le logarithme népérien et l’exponentielle ?+
Réponse :Ce sont deux fonctions réciproques : l’exponentielle transforme un exposant en nombre strictement positif, le logarithme fait l’inverse. Ainsi $\mathrm{e}^{\ln(x)} ={}$ $x$ pour $x > 0$ et $\ln(\mathrm{e}^{x}) ={}$ $x$ pour tout réel $x$ . Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ .
2.Comment résoudre une équation avec un logarithme ?+
Réponse :Pose d’abord la condition d’existence, puis isole le logarithme pour arriver à $\ln(u) = k$ . Passe à l’exponentielle : $u = \mathrm{e}^{k}$ . Résous cette équation, puis vérifie que chaque solution respecte la condition du départ. Si les deux membres sont des logarithmes, $\ln(u) = \ln(v)$ donne $u = v$ .
3.Pourquoi faut-il toujours vérifier le domaine ?+
Réponse :Parce que $\ln(u)$ n’existe que si $u > 0$ . En regroupant ou en séparant des logarithmes, tu peux faire apparaître des solutions qui rendent un des nombres négatif ou nul : elles ne sont pas valables. Dans $\ln(x) + \ln(x - 3) ={}$ $\ln(4)$ , la valeur $x = -1$ est trouvée par le calcul mais rejetée.
4.Comment dériver une fonction de la forme $\ln(u)$  ?+
Réponse :Si $u$ est dérivable et strictement positive, $(\ln u)' ={}$ $\dfrac{u'}{u}$ . Pour $\ln(3x + 2)$ , on a $u(x) = 3x + 2$ et $u'(x) = 3$ , donc la dérivée est $\dfrac{3}{3x + 2}$ . N’oublie pas de multiplier par la dérivée de l’intérieur au numérateur.
5.Le logarithme népérien tombe-t-il souvent au bac ?+
Réponse :Oui : il est demandé dans 29 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On le retrouve dans l’étude de fonctions, dans les équations différentielles et dans les suites, dès qu’il faut trouver un temps ou un seuil : à la question 3 de la partie A de l’exercice 3 du sujet de juin 2026 de Métropole, il donne le temps nécessaire pour atteindre 20 °C.
6.Comment résoudre une inéquation du type $a^{n} > b$  ?+
Réponse :Applique $\ln$ aux deux membres, ce qui conserve le sens car $\ln$ est croissante, puis écris $n\ln(a) > \ln(b)$ . Divise par $\ln(a)$ : si $a > 1$ , le sens est conservé ; si $0 < a < 1$ , $\ln(a)$ est négatif et le sens change.
7.Que valent $\ln(0)$ et le logarithme d’un nombre négatif ?+
Réponse :Ils n’existent pas : $\ln(x)$ n’est défini que pour $x > 0$ . Quand $x$ se rapproche de $0$ par des valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$  ; c’est pourquoi l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Le logarithme népérien : propriétés, équations, dérivée et limites

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Commence par le domaine

2.Isole le logarithme, puis passe à l’exponentielle

3.Pour une inéquation, surveille le sens

4.Transforme avec les propriétés algébriques

5.Étudie une fonction qui contient $\ln$

Exemples

1.Une équation avec un logarithme

2.Une inéquation avec une somme de logarithmes

3.Étudier une fonction qui contient $\ln$

4.Un seuil avec un logarithme

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.2

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question A.3

Vu en première

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

Dernier exercice.

Le logarithme népérien : propriétés, équations, dérivée et limites

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Commence par le domaine

2.Isole le logarithme, puis passe à l’exponentielle

3.Pour une inéquation, surveille le sens

4.Transforme avec les propriétés algébriques

5.Étudie une fonction qui contient ln⁡\lnln

Exemples

1.Une équation avec un logarithme

2.Une inéquation avec une somme de logarithmes

3.Étudier une fonction qui contient ln⁡\lnln

4.Un seuil avec un logarithme

Une question du sujet

Vu en première

Teste-toi

Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

5.Étudie une fonction qui contient $\ln$

3.Étudier une fonction qui contient $\ln$