Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour calculer l’hypoténuse, $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ ; pour calculer un côté de l’angle droit, $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$.

Comment rédiger le théorème de Pythagore au brevet ?

En trois temps : la condition (« Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ »), le théorème nommé avec l’égalité écrite en lettres (« d’après le théorème de Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ »), puis le calcul et une conclusion avec l’unité. En partie 1, la réponse suffit ; en partie 2, la rédaction compte.

Qu’est-ce que la réciproque du théorème de Pythagore ?

Elle sert à prouver qu’un triangle est rectangle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l’angle droit est en face du plus grand côté. On calcule séparément les deux membres, « d’une part » et « d’autre part », puis on compare.

Qu’est-ce que la contraposée du théorème de Pythagore ?

Elle sert à prouver qu’un triangle n’est pas rectangle : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle n’est pas rectangle. Avec des côtés de $4{,}9$ cm, $5$ cm et $7$ cm, on trouve $49$ d’un côté et $49{,}01$ de l’autre : le triangle n’est pas rectangle, même s’il en a l’air.

Le théorème de Pythagore, c’est en 4e ou en 3e ?

Le théorème et sa réciproque sont étudiés en 4e, d’après les repères annuels de progression du programme du cycle 4. En 3e, on s’en sert dans des problèmes, souvent avec le théorème de Thalès et la trigonométrie, et l’égalité de Pythagore fait partie des automatismes de la partie 1 du brevet.

Peut-on utiliser la calculatrice au brevet ?

Pas en partie 1, qui dure $20$ minutes sans calculatrice : les nombres y sont choisis pour que les carrés et les racines se calculent de tête. En partie 2, la calculatrice est autorisée, et l’on donne souvent un arrondi, au millimètre ou au dixième.

Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?

Trois nombres entiers $a$, $b$, $c$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$, comme $3$, $4$, $5$ (car $9 + 16 = 25$) ou $5$, $12$, $13$ (car $25 + 144 = 169$). Un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est donc rectangle. En multipliant un triplet par un même nombre, on en obtient un autre : $6$, $8$, $10$.

Comment montrer qu’un triangle est rectangle ?

Si tu connais les trois longueurs, avec la réciproque du théorème de Pythagore. Si tu connais deux angles, avec la somme des angles d’un triangle : quand deux angles ont une somme de $90^\circ$, le troisième mesure $90^\circ$. Sur une figure codée, l’angle droit peut aussi être donné par le codage.

Théorème de Pythagore : formule, réciproque et rédaction (4e, 3e)

L’essentiel

à connaître par cœur

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Dans le triangle

ABC

rectangle en

A

:

BC^2 = AB^2 + AC^2

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long des trois côtés. Sur la figure, c’est

[BC]

: avec

AB = 3

cm et

AC = 4

cm, on obtient

BC^2 = 9 + 16 = 25

, donc

BC = 5

cm.

Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés puis on prend la racine carrée :

BC ={}

\sqrt{AB^2 + AC^2}

. Pour un côté de l’angle droit, on soustrait :

AB ={}

\sqrt{BC^2 - AC^2}

.

La réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l’angle droit est en face du plus grand côté.

La contraposée sert à démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Vérifie que le triangle est rectangle
L’énoncé le dit (« rectangle en $A$ ») ou le codage de la figure le montre. Sans angle droit, le théorème ne s’applique pas.
2.Repère l’hypoténuse
C’est le côté en face de l’angle droit. Dans l’égalité, elle est seule de son côté du signe égal.
3.Écris l’égalité avec les noms des côtés
Écris $BC^2 = AB^2 + AC^2$ avant de remplacer par des nombres : c’est ce qui montre au correcteur que tu sais ce que tu fais.
4.Calcule le carré cherché, puis sa racine carrée
On additionne pour l’hypoténuse, on soustrait pour un côté de l’angle droit. N’oublie pas la racine carrée : $BC^2 = 25$ donne $BC = 5$ .
5.Arrondis à la fin et écris l’unité
Garde la valeur exacte, $\sqrt{117}$ par exemple, et n’arrondis que le résultat final, à la précision demandée.

La rédaction attendue

Pour un calcul de longueur : « Le triangle

ABC

est rectangle en

A

. D’après le théorème de Pythagore,

BC^2 = AB^2 + AC^2

, donc

BC^2 ={}

3^2 + 4^2 ={}

9 + 16 ={}

25

et

BC = \sqrt{25} = 5

cm. »

Pour la réciproque : « Dans le triangle

DEF

, le plus grand côté est

[DF]

. D’une part,

DF^2 ={}

6{,}5^2 ={}

42{,}25

. D’autre part,

DE^2 + EF^2 ={}

2{,}5^2 + 6^2 ={}

6{,}25 + 36 ={}

42{,}25

. Donc

DF^2 = DE^2 + EF^2

et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

DEF

est rectangle en

E

. »

Calcule les deux membres séparément, « d’une part » et « d’autre part », et ne pars jamais de l’égalité que tu veux démontrer. En partie 2, la clarté des raisonnements et la maîtrise de la langue sont évaluées sur

2

points : nomme le théorème, dis pourquoi tu as le droit de l’utiliser, et conclus par une phrase avec l’unité.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Calculer l’hypoténuse, avec un arrondi
Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ , avec $RS = 6$ cm et $RT = 9$ cm. Calcule $ST$ , arrondi au millimètre.
2.Calculer un côté de l’angle droit
Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical ; son pied est à $1{,}4$ m du mur, sur un sol horizontal. À quelle hauteur arrive le haut de l’échelle ?
3.Le triangle est-il rectangle ? Réciproque et contraposée
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 2{,}5$ cm, $EF = 6$ cm et $DF = 6{,}5$ cm.
Le triangle $GHK$ a pour côtés $GH = 4{,}9$ cm, $HK = 5$ cm et $GK = 7$ cm. Lesquels de ces triangles sont rectangles ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Reconnaître une situation d’application du théorème de Pythagore, mettre en place l’automatisme sur l’égalité de Pythagore, développer un regard critique sur les conditions d’utilisation et les résultats obtenus. »

En partie 1, sans calculatrice, les nombres sont choisis pour que le calcul se fasse de tête : tu écris l’égalité de Pythagore et tu donnes la longueur, sans rédiger. Connais les carrés de

1

à

12

et les triplets

3

,

4

,

5

ou

5

,

12

,

13

: ils reviennent souvent.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, avec calculatrice, le théorème de Pythagore est souvent la première étape d’un problème de géométrie : une longueur à calculer, qu’on réutilise ensuite avec le théorème de Thalès, la trigonométrie, une aire ou un volume. La réciproque apparaît sous la forme « Démontrer que le triangle

ABD

est rectangle en

D

». Toutes les réponses doivent être justifiées, et le résultat arrondi comme l’énoncé le demande.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 24 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3, questions 1 et 3Calculer une longueur dans un triangle rectangle, puis une deuxième avant d’utiliser le théorème de Thalès.
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 2, question 4aCalculer une longueur au millimètre dans un triangle rectangle dont on connaît l’hypoténuse.
Sujet zéro A (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 4Dire si un octogone découpé dans un carré est régulier : la longueur d’un côté oblique se calcule avec le théorème de Pythagore.

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2025, Métropole, exercice 2 · questions 1 et 2

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Cette année, les professeurs d’EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).
Le parcours de la course à pied est représenté par le dessin ci-dessous (le dessin n’est pas à l’échelle) :
Le parcours est représenté par ACDEB avec le départ au point A et l’arrivée au point B.
Les points A, C, B sont alignés.
Les points A, D, E sont alignés.
ADC est un triangle rectangle en A.
AC = 480 m
CB = 120 m
AE = 250 m
DE = 50 m
1. Justifier que AD = 200 m.
2. Calculer la longueur CD.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2025, Métropole, exercice 2 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite

Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–1)

Le triangle DFE ci-dessous est rectangle en D. On donne DF = 7 cm et DE = 24 cm. Calcule la longueur FE, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–1)

Le triangle PNM ci-dessous est rectangle en P. On donne PN = 9 cm et NM = 15 cm. Calcule la longueur PM, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–1)

Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. On donne AB = 2 cm et BC = 2,5 cm. Calcule la longueur AC, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

La tente (4,5 pts)

Une tente a la forme d’une pyramide régulière SABCD : sa base ABCD est un carré de côté 2,4 m, et sa hauteur [SO] mesure 2,25 m, O étant le centre du carré (voir figure). On note M le milieu du côté [AB]. On rappelle que le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur.

Question 1(1 pt)
Calcule le volume de la tente, en m³. Arrondis au dixième.
Réponse rédigée
La base est un carré d’aire $2{,}4^{2} = 5{,}76$ m². Le volume de la tente est : $\frac{1}{3} \times 5{,}76 \times 2{,}25 ={}$ $4{,}32 \approx 4{,}3$ m³. Résultat : le volume de la tente est d’environ 4,3 m³.
Barème (Kleksa)
- Formule du volume de la pyramide appliquée0,5 pt
- Volume juste, arrondi au dixième0,5 pt
Question 2(2 pts)
Le triangle SOM est rectangle en O. Calcule la longueur SM. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
O est le centre du carré et M le milieu du côté [AB] : la longueur OM est la moitié du côté du carré, $OM = 2{,}4 \div 2 = 1{,}2$ m. Le triangle SOM est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore : $SM^2 ={}$ $SO^2 + OM^2 ={}$ $2{,}25^{2} + 1{,}2^{2} ={}$ $5{,}0625 + 1{,}44 ={}$ $6{,}5025$ , donc $SM ={}$ $\sqrt{6{,}5025} ={}$ $2{,}55$ m. Résultat : SM = 2,55 m.
Barème (Kleksa)
- Longueur OM égale à la moitié du côté du carré0,5 pt
- Théorème de Pythagore dans le triangle SOM rectangle en O0,5 pt
- Longueur SM juste0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 3(1 pt)
On admet que $SM = 2{,}55$ m. Calcule l’aire de la toile nécessaire pour les quatre faces latérales de la tente.
Réponse rédigée
Chaque face latérale est un triangle de base 2,4 m et de hauteur $SM = 2{,}55$ m : son aire est $\frac{2{,}4 \times 2{,}55}{2} ={}$ $3{,}06$ m². Pour les quatre faces : $4 \times 3{,}06 ={}$ $12{,}24$ m². Résultat : il faut 12,24 m² de toile.
Barème (Kleksa)
- Aire d’une face triangulaire0,5 pt
- Aire des quatre faces juste0,5 pt
Question 4(0,5 pt)
On coupe la tente par un plan parallèle à sa base ; ce plan coupe la hauteur [SO] en un point O′ tel que $SO' = 0{,}75$ m. Quelle est la nature de la section obtenue ? Quelle est la longueur de son côté ?
Réponse rédigée
La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de cette base : c’est un carré. Le coefficient de réduction est $\frac{0{,}75}{2{,}25} ={}$ $\frac{1}{3}$ . Le côté de la section mesure donc $\frac{1}{3} \times 2{,}4 ={}$ $0{,}8$ m. Résultat : la section est un carré de 0,8 m de côté.
Barème (Kleksa)
- Nature de la section (un carré) et longueur de son côté justes0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Appliquer le théorème à un triangle dont on ne sait pas qu’il est rectangle. Pour prouver qu’il l’est, c’est la réciproque qu’il faut utiliser.
Se tromper d’hypoténuse : elle est en face de l’angle droit. Avec une hypoténuse de $13$ cm et un côté de $5$ cm, on soustrait : $13^2 - 5^2 = 144$ , et l’autre côté mesure $12$ cm, pas $\sqrt{194}$ .
Oublier la racine carrée, ou croire que $\sqrt{AB^2 + AC^2} ={}$ $AB + AC$ : $BC^2 = 25$ donne $BC = 5$ , et avec $3$ et $4$ on trouve $5$ , pas $7$ .
Pour la réciproque, conclure avec des valeurs arrondies ou mesurées sur la figure : on compare des valeurs exactes, et une égalité presque vraie est fausse.
Mélanger les unités : convertis toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.

À savoir par cœur

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ dans $ABC$ rectangle en $A$ .
L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; c’est le plus grand côté.
Les carrés de $1$ à $12$ : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ , $121$ , $144$ .
Quelques triplets : $3$ , $4$ , $5$  ; $6$ , $8$ , $10$  ; $5$ , $12$ , $13$  ; $8$ , $15$ , $17$  ; $7$ , $24$ , $25$ .

Questions fréquentes

1.Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?+
Rép. :Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2$ : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour calculer l’hypoténuse, $BC ={}$ $\sqrt{AB^2 + AC^2}$  ; pour calculer un côté de l’angle droit, $AB ={}$ $\sqrt{BC^2 - AC^2}$ .
2.Comment rédiger le théorème de Pythagore au brevet ?+
Rép. :En trois temps : la condition (« Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ »), le théorème nommé avec l’égalité écrite en lettres (« d’après le théorème de Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2$ »), puis le calcul et une conclusion avec l’unité. En partie 1, la réponse suffit ; en partie 2, la rédaction compte.
3.Qu’est-ce que la réciproque du théorème de Pythagore ?+
Rép. :Elle sert à prouver qu’un triangle est rectangle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l’angle droit est en face du plus grand côté. On calcule séparément les deux membres, « d’une part » et « d’autre part », puis on compare.
4.Qu’est-ce que la contraposée du théorème de Pythagore ?+
Rép. :Elle sert à prouver qu’un triangle n’est pas rectangle : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle n’est pas rectangle. Avec des côtés de $4{,}9$ cm, $5$ cm et $7$ cm, on trouve $49$ d’un côté et $49{,}01$ de l’autre : le triangle n’est pas rectangle, même s’il en a l’air.
5.Le théorème de Pythagore, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :Le théorème et sa réciproque sont étudiés en 4e, d’après les repères annuels de progression du programme du cycle 4. En 3e, on s’en sert dans des problèmes, souvent avec le théorème de Thalès et la trigonométrie, et l’égalité de Pythagore fait partie des automatismes de la partie 1 du brevet.
6.Peut-on utiliser la calculatrice au brevet ?+
Rép. :Pas en partie 1, qui dure $20$ minutes sans calculatrice : les nombres y sont choisis pour que les carrés et les racines se calculent de tête. En partie 2, la calculatrice est autorisée, et l’on donne souvent un arrondi, au millimètre ou au dixième.
7.Qu’est-ce qu’un triplet pythagoricien ?+
Rép. :Trois nombres entiers $a$ , $b$ , $c$ tels que $a^2 + b^2 = c^2$ , comme $3$ , $4$ , $5$ (car $9 + 16 = 25$ ) ou $5$ , $12$ , $13$ (car $25 + 144 = 169$ ). Un triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est donc rectangle. En multipliant un triplet par un même nombre, on en obtient un autre : $6$ , $8$ , $10$ .
8.Comment montrer qu’un triangle est rectangle ?+
Rép. :Si tu connais les trois longueurs, avec la réciproque du théorème de Pythagore. Si tu connais deux angles, avec la somme des angles d’un triangle : quand deux angles ont une somme de $90^\circ$ , le troisième mesure $90^\circ$ . Sur une figure codée, l’angle droit peut aussi être donné par le codage.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Théorème de Pythagore et sa réciproque (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Vérifie que le triangle est rectangle

2.Repère l’hypoténuse

3.Écris l’égalité avec les noms des côtés

4.Calcule le carré cherché, puis sa racine carrée

5.Arrondis à la fin et écris l’unité

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Calculer l’hypoténuse, avec un arrondi

2.Calculer un côté de l’angle droit

3.Le triangle est-il rectangle ? Réciproque et contraposée

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2025, Métropole, exercice 2 · questions 1 et 2

Teste-toi

Exercice type brevet

La tente (4,5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.

Théorème de Pythagore et sa réciproque (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Vérifie que le triangle est rectangle

2.Repère l’hypoténuse

3.Écris l’égalité avec les noms des côtés

4.Calcule le carré cherché, puis sa racine carrée

5.Arrondis à la fin et écris l’unité

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Calculer l’hypoténuse, avec un arrondi

2.Calculer un côté de l’angle droit

3.Le triangle est-il rectangle ? Réciproque et contraposée

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

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Exercice type brevet

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

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3.Le triangle est-il rectangle ? Réciproque et contraposée