Comment calculer une intégrale ?

Tu cherches une primitive $F$ de la fonction, puis tu calcules $F(b) - F(a)$. Mets les évaluations entre parenthèses pour ne pas perdre un signe. Si l’énoncé donne la primitive, vérifie d’abord qu’elle convient en la dérivant. Donne ensuite la valeur exacte, puis l’approximation demandée.

Une intégrale est-elle toujours une aire ?

Non. Quand $f$ est positive sur $[a \mathrel{;} b]$ avec $a \leqslant b$, l’intégrale est une aire, en unités d’aire. Quand $f$ est négative, c’est l’opposé de l’aire. Quand $f$ change de signe, les morceaux se compensent : coupe l’intervalle aux points où $f$ s’annule pour calculer l’aire.

Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction ?

Tu divises l’intégrale par la longueur de l’intervalle : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. C’est la hauteur du rectangle de base $[a \mathrel{;} b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe, quand $f$ est positive.

Quand utiliser l’intégration par parties ?

Quand la fonction est un produit dont on ne reconnaît pas de forme $u'u^{n}$ ou $u'\mathrm{e}^{u}$ : par exemple un polynôme multiplié par $\mathrm{e}^{x}$, ou $\ln(x)$, vu comme le produit $1 \times \ln(x)$. Le sujet l’indique en général : « à l’aide d’une intégration par parties ». On pose $u$ le facteur qui se simplifie en dérivant.

Comment calculer l’aire entre deux courbes ?

Tu cherches d’abord les abscisses des points d’intersection en résolvant $f(x) = g(x)$. Tu détermines quelle courbe est au-dessus, avec le signe de $f - g$ ou une valeur d’essai. Tu intègres ensuite « haut moins bas » entre ces abscisses.

À quoi sert la relation de Chasles ?

À couper une intégrale en morceaux : $\displaystyle\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$. On s’en sert quand la fonction change de signe, ou quand elle est définie différemment sur deux intervalles.

Comment le calcul intégral tombe-t-il au bac ?

Au bac, 30 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question de calcul intégral : une intégrale à calculer avec une primitive donnée ou à trouver, une aire, une valeur moyenne, une intégration par parties, ou un encadrement d’intégrale.

Bac 2027 · spécialité mathématiques

Calcul intégral : intégrales, aire, valeur moyenne et intégration par parties

L’intégrale d’une fonction continue sur $[a \mathrel{;} b]$ se calcule avec une primitive : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ . Quand $f$ est positive, elle mesure l’aire sous la courbe. Le calcul intégral réunit ce calcul, les propriétés de l’intégrale, la valeur moyenne d’une fonction et l’intégration par parties. Ici, tu trouves l’essentiel, la méthode, des exemples corrigés et deux questions de sujets de juin 2026.

Bac de terminale, spécialité mathématiques : dans 30 des 36 sujets de 2024 à 2026

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Si $f$ est continue sur $[a \mathrel{;} b]$ et $F$ est une primitive de $f$ , l’intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ , notée aussi $\left[F(x)\right]_a^b$ . Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
Aire : si $f$ est positive sur $[a \mathrel{;} b]$ (avec $a \leqslant b$ ), l’intégrale est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$ . Si $f$ est négative, l’intégrale est l’opposé de cette aire.
Linéarité : $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_a^b kf(x)\,\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x$ est égale à $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Positivité et croissance : si $f \geqslant 0$ sur $[a \mathrel{;} b]$ avec $a \leqslant b$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$  ; si $f \leqslant g$ sur $[a \mathrel{;} b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ .
Valeur moyenne de $f$ sur $[a \mathrel{;} b]$ (avec $a < b$ ) : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Aire entre deux courbes : si $f \geqslant g$ sur $[a \mathrel{;} b]$ , l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x = a$ et $x = b$ est $\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\mathrm{d}x$ .
Intégration par parties : si $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a \mathrel{;} b]$ , de dérivées continues, alors $\displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$ est égale à $\left[u(x)v(x)\right]_a^b - \displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Lis ce qu’on demande
Une valeur d’intégrale, une aire, une valeur moyenne ? Une aire se calcule avec une fonction positive ; une valeur moyenne se divise par la longueur $b - a$ de l’intervalle.
2.Trouve une primitive
Utilise le tableau des primitives usuelles et les formes $u'u^{n}$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'\mathrm{e}^{u}$ . Quand l’énoncé donne une primitive, vérifie-la en la dérivant avant de t’en servir.
3.Calcule $F(b) - F(a)$
Mets les valeurs entre parenthèses pour ne pas perdre un signe : $F(b) - F(a)$ avec un $F(a)$ négatif devient une addition. Donne la valeur exacte, puis l’approximation demandée.
4.Étudie le signe pour une aire
Si $f$ change de signe sur $[a \mathrel{;} b]$ , coupe l’intervalle aux points où elle s’annule (Chasles) et prends la valeur absolue de chaque morceau négatif. Pour deux courbes, détermine laquelle est au-dessus.
5.Pense à l’intégration par parties
Quand la fonction est un produit d’un facteur qui se simplifie en dérivant ( $\ln$ , un polynôme) et d’un facteur dont tu connais une primitive ( $\mathrm{e}^{x}$ , $\cos$ ), pose $u$ et $v'$ puis applique la formule.
6.Conclus avec l’unité
Une aire s’exprime en unités d’aire, ou en cm² si l’énoncé donne l’unité de longueur. Reprends la question : valeur exacte, valeur arrondie, interprétation.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Une intégrale et la valeur moyenne
Soit $f$ la fonction définie sur $[1 \mathrel{;} 4]$ par $f(x) ={}$ $2x + \dfrac{3}{\sqrt{x}}$ . Calcule $I = \displaystyle\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x$ , puis la valeur moyenne de $f$ sur $[1 \mathrel{;} 4]$ .
2.Une aire quand la fonction change de signe
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4$ . Calcule l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de $f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 3$ .
3.Une intégration par parties
Calcule $J = \displaystyle\int_0^2 (x + 1)\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ à l’aide d’une intégration par parties.
4.L’aire entre deux courbes
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 2$ et $g(x) = x^2$ . Les courbes de $f$ et de $g$ se coupent en deux points. Calcule l’aire, en unités d’aire, du domaine qu’elles délimitent.

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question B.5.a

Exercice 4 — Partie B

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

a +{}

\dfrac{b\ln(x + 1)}{x + 1}

, où

a

b

sont des réels, et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction

f

est deux fois dérivable sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f'

sa fonction dérivée et

f''

sa fonction dérivée seconde. On admet dans la suite de l’exercice que la fonction

f

est définie sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

1 +{}

\dfrac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

Question B.5.a

5. a. Montrer que :

\displaystyle\int_0^2 \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}\,dx = \frac{1}{2}(\ln 3)^2

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 4, question B.5.a (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 2 — exercice 4, question C.1

Exercice 4 — Partie C

On admet que la fonction

f

est définie sur l’intervalle

[0 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

(2x - 1)\mathrm{e}^{-2x+3}

Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d’acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de

0{,}2

cm.

Question C.1

1. On considère :

I = \displaystyle\int_{0{,}5}^{3{,}3} f(x)\,dx

. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale

I

arrondie au dixième est égale à

3{,}6

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 2, exercice 4, question C.1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

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bac

Question 1.

Calculer

\displaystyle\int_{-1}^{0} (2x^3 + x^2)\,\mathrm{d}x

. Donner la valeur exacte.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Calculer la valeur exacte de l’intégrale

I = \displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{4}{2x - 1}\,\mathrm{d}x

I =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

À l’aide d’une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l’intégrale

I = \displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln(x)\,\mathrm{d}x

I =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -3x^2 + 4x - 3

. Calculer la valeur moyenne de

f

sur l’intervalle

[-2 \mathrel{;} 0]

. Donner la valeur exacte.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 5.

Soient

f

g

les fonctions définies sur

\mathbb{R}

par

f(x) = -x^2 + 8x - 4

g(x) = 2x + 4

. Calculer l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes représentatives de

f

et de

g

. Donner la valeur exacte.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu prends l’intégrale pour l’aire quand la fonction change de signe. Pour $x \mapsto x^2 - 4$ sur $[0 \mathrel{;} 3]$ , l’intégrale vaut $-3$ et l’aire $\dfrac{23}{3}$ : il faut couper en $2$ .
Tu inverses les bornes dans $F(b) - F(a)$ . Pour $\displaystyle\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x$ , on a $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$  ; $F(0) - F(1)$ donne $-1$ .
Tu oublies le signe moins dans l’intégration par parties : c’est $\left[uv\right]_a^b - \displaystyle\int_a^b uv'$ . Avec un $+$ , la valeur de $J = \displaystyle\int_0^2 (x + 1)\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x$ serait fausse.
Tu oublies de diviser par $b - a$ dans la valeur moyenne. Pour $f(x) = 2x$ sur $[0 \mathrel{;} 4]$ , l’intégrale vaut $16$ , mais la valeur moyenne vaut $\dfrac{16}{4} = 4$ .
Tu soustrais dans le mauvais sens entre deux courbes. Pour $x + 2$ et $x^2$ sur $[-1 \mathrel{;} 2]$ , la droite est au-dessus : on intègre $(x + 2) - x^2$ , qui donne $\dfrac{9}{2}$ , et non $-\dfrac{9}{2}$ .

À retenir

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ , avec $F$ une primitive de $f$ .
Pour $f \geqslant 0$ et $a \leqslant b$ , l’intégrale est l’aire sous la courbe.
Linéarité et Chasles : on additionne les intégrales, on coupe aux bornes intermédiaires.
Valeur moyenne : $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Aire entre deux courbes : on intègre « la courbe du haut moins la courbe du bas ».
Par parties : $\displaystyle\int_a^b u'v = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b uv'$ .

Questions fréquentes

1.Comment calculer une intégrale ?+
Réponse :Tu cherches une primitive $F$ de la fonction, puis tu calcules $F(b) - F(a)$ . Mets les évaluations entre parenthèses pour ne pas perdre un signe. Si l’énoncé donne la primitive, vérifie d’abord qu’elle convient en la dérivant. Donne ensuite la valeur exacte, puis l’approximation demandée.
2.Une intégrale est-elle toujours une aire ?+
Réponse :Non. Quand $f$ est positive sur $[a \mathrel{;} b]$ avec $a \leqslant b$ , l’intégrale est une aire, en unités d’aire. Quand $f$ est négative, c’est l’opposé de l’aire. Quand $f$ change de signe, les morceaux se compensent : coupe l’intervalle aux points où $f$ s’annule pour calculer l’aire.
3.Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction ?+
Réponse :Tu divises l’intégrale par la longueur de l’intervalle : $\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ . C’est la hauteur du rectangle de base $[a \mathrel{;} b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe, quand $f$ est positive.
4.Quand utiliser l’intégration par parties ?+
Réponse :Quand la fonction est un produit dont on ne reconnaît pas de forme $u'u^{n}$ ou $u'\mathrm{e}^{u}$ : par exemple un polynôme multiplié par $\mathrm{e}^{x}$ , ou $\ln(x)$ , vu comme le produit $1 \times \ln(x)$ . Le sujet l’indique en général : « à l’aide d’une intégration par parties ». On pose $u$ le facteur qui se simplifie en dérivant.
5.Comment calculer l’aire entre deux courbes ?+
Réponse :Tu cherches d’abord les abscisses des points d’intersection en résolvant $f(x) = g(x)$ . Tu détermines quelle courbe est au-dessus, avec le signe de $f - g$ ou une valeur d’essai. Tu intègres ensuite « haut moins bas » entre ces abscisses.
6.À quoi sert la relation de Chasles ?+
Réponse :À couper une intégrale en morceaux : $\displaystyle\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ . On s’en sert quand la fonction change de signe, ou quand elle est définie différemment sur deux intervalles.
7.Comment le calcul intégral tombe-t-il au bac ?+
Réponse :Au bac, 30 des 36 sujets de 2024 à 2026 posent une question de calcul intégral : une intégrale à calculer avec une primitive donnée ou à trouver, une aire, une valeur moyenne, une intégration par parties, ou un encadrement d’intégrale.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

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Calcul intégral : intégrales, aire, valeur moyenne et intégration par parties

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Lis ce qu’on demande

2.Trouve une primitive

3.Calcule F(b)−F(a)F(b) - F(a)F(b)−F(a)

4.Étudie le signe pour une aire

5.Pense à l’intégration par parties

6.Conclus avec l’unité

Exemples

1.Une intégrale et la valeur moyenne

2.Une aire quand la fonction change de signe

3.Une intégration par parties

4.L’aire entre deux courbes

Une question du sujet

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

3.Calcule $F(b) - F(a)$