Comment rédiger un raisonnement par récurrence ?

Définis la propriété $\mathcal{P}(n)$ avec précision. Écris « Initialisation » et vérifie le premier rang. Écris « Hérédité » : soit $n$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, puis démontre $\mathcal{P}(n + 1)$ en utilisant la relation de la suite. Termine par « Conclusion » : la propriété est vraie pour tout entier $n$ à partir du premier rang.

Comment étudier le sens de variation d’une suite ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe. Si les termes sont strictement positifs, compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. Pour une suite définie par une relation de récurrence, une récurrence sur $u_n \leqslant u_{n+1}$ fonctionne quand la fonction utilisée est croissante.

Que dit le théorème de convergence monotone ?

Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge. Il assure l’existence d’une limite sans la donner. Pour la calculer, on passe ensuite à la limite dans la relation de récurrence. Une suite croissante qui n’est pas majorée tend vers $+\infty$.

Comment trouver la limite d’une suite définie par récurrence ?

Montre d’abord que la suite converge, par exemple avec le théorème de convergence monotone. Puis, si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$. Résous cette équation et garde la solution compatible avec les bornes de la suite.

Comment déterminer un seuil ?

Si le terme est explicite, par exemple $a \times q^{n}$, résous l’inéquation avec le logarithme népérien et surveille le sens de l’inégalité quand tu divises par un logarithme négatif. Sinon, utilise un algorithme : une boucle « tant que » calcule le terme suivant et augmente $n$ de $1$ jusqu’à atteindre le seuil.

Les suites tombent-elles au bac ?

Oui : les suites sont demandées dans chacun des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On y rencontre la récurrence, le sens de variation, la convergence, la limite et le seuil, par exemple dans l’exercice 3 du sujet de juin 2026 de Métropole.

Que vaut la limite de $(q^{n})$ ?

Tout dépend de $q$ : si $q > 1$, la limite est $+\infty$ ; si $-1 < q < 1$, elle vaut $0$ ; si $q = 1$, la suite est constante ; si $q \leqslant -1$, la suite n’a pas de limite.

Suites et récurrence : limites, convergence, seuil — bac maths

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Raisonnement par récurrence : pour démontrer qu’une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$ , on montre l’initialisation ( $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie), puis l’hérédité (pour un entier $n \geqslant n_0$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, $\mathcal{P}(n + 1)$ l’est aussi), et on conclut.
Sens de variation : la suite $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ , décroissante si $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ . Pour une suite de termes strictement positifs, on peut aussi comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .
Limites de référence : $\lim\limits_{n \to +\infty} n^{k} ={}$ $+\infty$ pour $k > 0$ , $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^{k}} ={}$ $0$ , $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} ={}$ $+\infty$ . Pour la suite géométrique $(q^{n})$ : limite $+\infty$ si $q > 1$ , limite $0$ si $-1 < q < 1$ , pas de limite si $q \leqslant -1$ (et suite constante si $q = 1$ ).
Opérations et comparaison : on additionne, multiplie ou divise les limites quand le résultat est défini, sinon c’est une forme indéterminée à lever (terme prépondérant). Si $u_n \geqslant v_n$ et $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim u_n = +\infty$ . Gendarmes : si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que $(v_n)$ et $(w_n)$ ont la même limite finie $\ell$ , alors $\lim u_n = \ell$ .
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ . Ce théorème donne l’existence d’une limite sans la calculer.
Suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $\ell = f(\ell)$ . Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$ , le réel $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$ donne la suite géométrique $v_n = u_n - \ell$ , de raison $a$ .
Seuil : trouver le plus petit rang $n$ tel que $u_n$ dépasse une valeur donnée se fait en résolvant l’inéquation (avec $\ln$ pour un terme en $q^{n}$ ) ou avec un algorithme : tant que le terme n’a pas atteint le seuil, on calcule le suivant et on augmente $n$ de $1$ .

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Démontre une propriété par récurrence
Écris d’abord $\mathcal{P}(n)$ avec précision. Vérifie l’initialisation. Pour l’hérédité, pars de « soit $n$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie » et passe à $u_{n+1}$ avec la relation de la suite. Conclus avec les mots « Initialisation », « Hérédité », « Conclusion ».
2.Étudie le sens de variation
Calcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe ; si la suite vient d’une fonction $f$ croissante, une récurrence sur $u_n \leqslant u_{n+1}$ marche aussi. Pour une suite positive, compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .
3.Cherche la limite avec les limites de référence
Utilise les limites de référence, les opérations et la comparaison. Pour un quotient de deux termes qui tendent vers l’infini, factorise le terme prépondérant en haut et en bas avant de conclure.
4.Prouve la convergence sans calculer la limite
Montre que la suite est monotone, puis qu’elle est majorée (si elle croît) ou minorée (si elle décroît), souvent par une récurrence. Conclus avec le théorème de convergence monotone.
5.Trouve la limite par la relation de récurrence
Une fois la convergence établie vers $\ell$ , passe à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ : $\ell = f(\ell)$ si $f$ est continue. Résous cette équation et garde la valeur compatible avec les bornes de la suite.
6.Détermine un seuil
Pour un terme explicite $a \times q^{n}$ , écris l’inéquation et résous-la avec $\ln$ en surveillant le sens de l’inégalité. Sinon, applique l’algorithme : tant que le seuil n’est pas atteint, calcule le terme suivant et augmente $n$ de $1$ .

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Démontrer une formule par récurrence
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 3u_n - 2$ . Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 3^{n} + 1$ .
2.Une suite bornée, monotone, convergente
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2$ . Montre par récurrence que $3 \leqslant u_n \leqslant 4$ , montre que $(u_n)$ est croissante, puis déduis-en qu’elle converge et calcule sa limite.
3.Une suite arithmético-géométrique et un seuil
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 0{,}6u_n + 8$ . On pose $v_n = u_n - 20$ . Montre que $(v_n)$ est géométrique, exprime $u_n$ en fonction de $n$ , donne la limite de $(u_n)$ , puis le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 19{,}9$ .
4.Trois limites de suites
Détermine les limites des suites définies pour tout entier naturel $n$ par $a_n ={}$ $\dfrac{3n^{2} - n}{n^{2} + 4}$ , $b_n = n^{2} - 5n$ et $c_n ={}$ $\dfrac{(-1)^{n}}{n + 1}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question B.2

Exercice 3 — Partie B : Phase de refroidissement

On étudie le fonctionnement d’un système de chauffage installé dans une pièce. Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C. Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s’éteint et la pièce refroidit. On modélise la température de la pièce par la suite

(u_n)

définie par

u_0 = 20

et pour tout entier naturel

n

:

u_{n+1} ={}

0{,}965u_n +{}

0{,}35 +{}

0{,}07\mathrm{e}^{-0{,}1n}

où

n

est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

Question B.2

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

, on a

u_n > 10

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 3, question B.2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question B.4.b

Exercice 3 — Partie B : Phase de refroidissement

On étudie le fonctionnement d’un système de chauffage installé dans une pièce. Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C. Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s’éteint et la pièce refroidit. On modélise la température de la pièce par la suite

(u_n)

définie par

u_0 = 20

et pour tout entier naturel

n

:

u_{n+1} ={}

0{,}965u_n +{}

0{,}35 +{}

0{,}07\mathrm{e}^{-0{,}1n}

où

n

est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes. On admet que la suite

(u_n)

est décroissante.

Question B.4.b

4. On note

\ell

la limite de la suite

(u_n)

. a. Justifier que cette limite est solution de l’équation

x = 0{,}965x + 0{,}35

. b. Déterminer

\ell

et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 3, question B.4.b (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0 = 38

et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1} ={}

0{,}5u_n + 17{,}5

. On admet que la suite

(u_n)

converge vers un réel

\ell

. Déterminer

\ell

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

On considère la suite

(u_n)

définie par

u_0 = 84

et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1} ={}

0{,}8u_n + 14{,}8

. On pose, pour tout entier naturel

n

,

v_n = u_n - 74

, et on admet que la suite

(v_n)

est géométrique de raison

0{,}8

. Exprimer

u_n

en fonction de

n

.

u_n =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Un gâteau sort du four. Pour tout entier naturel

n

, on modélise sa température, en degrés Celsius,

n

minutes après la sortie du four par

u_n ={}

20 + 76 \times 0{,}85^n

. Déterminer le plus petit entier naturel

n

tel que

u_n < 22

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Déterminer la limite de la suite

(u_n)

définie pour tout entier naturel

n

par

u_n ={}

3(-1)^n + \dfrac{2}{n + 3}

.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices : fais gratuitement un sujet entier

Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu supposes la propriété vraie pour tout $n$ au début de l’hérédité. C’est ce qu’on veut démontrer. L’hypothèse de récurrence est : « soit $n$ un entier tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie », et on en déduit $\mathcal{P}(n + 1)$ .
Tu oublies l’initialisation. La propriété « $n = n + 1$ » est héréditaire (si $n = n + 1$ , alors $n + 1 = n + 2$ ) mais elle est fausse : sans initialisation, l’hérédité seule ne prouve rien.
Tu écris $\ell = f(\ell)$ sans avoir montré que la suite converge. Pour $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ , l’équation $\ell = 2\ell + 1$ donne $\ell = -1$ , alors que $u_n = 2^{n} - 1$ tend vers $+\infty$ .
Tu dis que $(q^{n})$ tend vers $0$ pour tout $q$ . C’est vrai seulement pour $-1 < q < 1$ : pour $q > 1$ la limite est $+\infty$ , et la suite $\left((-2)^{n}\right)$ n’a pas de limite, ses termes alternent de signe en grandissant.
Tu conclus qu’une suite majorée converge. Il faut aussi qu’elle soit croissante : la suite $\left((-1)^{n}\right)$ est majorée par $1$ , mais elle prend tour à tour les valeurs $1$ et $-1$ et ne converge pas.

À retenir

Récurrence : initialisation, hérédité (on fixe $n$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie), conclusion.
$(q^{n})$ : limite $+\infty$ si $q > 1$ , $0$ si $-1 < q < 1$ , pas de limite si $q \leqslant -1$ .
Croissante et majorée (ou décroissante et minorée) : la suite converge.
Si $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue, alors $\ell = f(\ell)$ .
Pour $u_{n+1} = au_n + b$ : $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$ , avec $\ell = a\ell + b$ .

Questions fréquentes

1.Comment rédiger un raisonnement par récurrence ?+
Réponse :Définis la propriété $\mathcal{P}(n)$ avec précision. Écris « Initialisation » et vérifie le premier rang. Écris « Hérédité » : soit $n$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, puis démontre $\mathcal{P}(n + 1)$ en utilisant la relation de la suite. Termine par « Conclusion » : la propriété est vraie pour tout entier $n$ à partir du premier rang.
2.Comment étudier le sens de variation d’une suite ?+
Réponse :Calcule $u_{n+1} - u_n$ et étudie son signe. Si les termes sont strictement positifs, compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ . Pour une suite définie par une relation de récurrence, une récurrence sur $u_n \leqslant u_{n+1}$ fonctionne quand la fonction utilisée est croissante.
3.Que dit le théorème de convergence monotone ?+
Réponse :Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge. Il assure l’existence d’une limite sans la donner. Pour la calculer, on passe ensuite à la limite dans la relation de récurrence. Une suite croissante qui n’est pas majorée tend vers $+\infty$ .
4.Comment trouver la limite d’une suite définie par récurrence ?+
Réponse :Montre d’abord que la suite converge, par exemple avec le théorème de convergence monotone. Puis, si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ . Résous cette équation et garde la solution compatible avec les bornes de la suite.
5.Comment déterminer un seuil ?+
Réponse :Si le terme est explicite, par exemple $a \times q^{n}$ , résous l’inéquation avec le logarithme népérien et surveille le sens de l’inégalité quand tu divises par un logarithme négatif. Sinon, utilise un algorithme : une boucle « tant que » calcule le terme suivant et augmente $n$ de $1$ jusqu’à atteindre le seuil.
6.Les suites tombent-elles au bac ?+
Réponse :Oui : les suites sont demandées dans chacun des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026. On y rencontre la récurrence, le sens de variation, la convergence, la limite et le seuil, par exemple dans l’exercice 3 du sujet de juin 2026 de Métropole.
7.Que vaut la limite de $(q^{n})$  ?+
Réponse :Tout dépend de $q$ : si $q > 1$ , la limite est $+\infty$  ; si $-1 < q < 1$ , elle vaut $0$  ; si $q = 1$ , la suite est constante ; si $q \leqslant -1$ , la suite n’a pas de limite.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

Suites et récurrence : raisonnement par récurrence, limites et convergence

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Démontre une propriété par récurrence

2.Étudie le sens de variation

3.Cherche la limite avec les limites de référence

4.Prouve la convergence sans calculer la limite

5.Trouve la limite par la relation de récurrence

6.Détermine un seuil

Exemples

1.Démontrer une formule par récurrence

2.Une suite bornée, monotone, convergente

3.Une suite arithmético-géométrique et un seuil

4.Trois limites de suites

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question B.2

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 3, question B.4.b

Teste-toi

Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

Dernier exercice.