Pourquoi l’écart-type de la moyenne est-il plus petit que celui de la série ?

La moyenne de plusieurs mesures fluctue moins qu’une mesure isolée : les écarts aléatoires se compensent en partie. L’incertitude-type de la moyenne vaut $s$ divisé par $\sqrt{N}$, donc elle décroît quand on multiplie les mesures.

Quelle différence entre précision et exactitude ?

Une mesure est précise quand les résultats répétés se ressemblent, exacte quand ils sont proches de la valeur de référence. Une série peut être précise sans être exacte, si un défaut d’étalonnage décale tous les résultats.

À quoi sert l’incertitude de type B quand on dispose déjà d’une série ?

Elle rend compte de sources de doute que la série ne montre pas, comme la graduation d’un instrument. Les deux évaluations peuvent se composer, par addition de leurs carrés, pour une incertitude-type globale.

Combien de chiffres significatifs donner à l’incertitude ?

Un ou deux au plus : au-delà, les chiffres correspondraient à des écarts que les instruments ne peuvent pas distinguer. La valeur du résultat s’arrête alors à la même décimale que l’incertitude.

Que signifie un quotient égal à 2,25 ?

L’écart entre le résultat et la référence vaut 2,25 incertitudes-types. Avec le seuil conventionnel de 2, le résultat n’est pas jugé compatible avec la référence ; cela peut venir d’un biais de la méthode, d’une incertitude sous-estimée, ou d’une fluctuation rare.

Bac 2027 · spécialité physique-chimie

Mesure et incertitudes : écart-type, incertitude-type, écriture

Répète une mesure et le nombre affiché change un peu à chaque fois : le résultat honnête est un intervalle, pas un point. D’une série de mesures, on tire une moyenne et une incertitude-type, on les combine au besoin, on écrit le résultat, puis on le confronte à une valeur de référence, en chimie comme en physique : la démarche du programme de terminale, revue ici pour le bac.

Au bac de physique-chimie : dans 13 des 35 sujets de 2024 à 2026 (questions : 23).

Programme

Programme de physique-chimie de terminale, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, p. 4

Voir les lignes du programme

M.1Mesure et incertitudesTerminale, p. 4

Notions et contenus. Variabilité de la mesure d’une grandeur physique.

Capacités exigibles. Exploiter une série de mesures indépendantes d’une grandeur physique : histogramme, moyenne et écart-type. Discuter de l’influence de l’instrument de mesure et du protocole. Évaluer qualitativement la dispersion d’une série de mesures indépendantes. Capacité numérique : Représenter l’histogramme associé à une série de mesures à l’aide d’un tableur ou d’un langage de programmation.

M.2Mesure et incertitudesTerminale, p. 4

Notions et contenus. Incertitude-type.

Capacités exigibles. Définir qualitativement une incertitude-type. Procéder à l’évaluation d’une incertitude-type par une approche statistique (évaluation de type A). Procéder à l’évaluation d’une incertitude-type par une autre approche que statistique (évaluation de type B).

M.3Mesure et incertitudesTerminale, p. 4

Notions et contenus. Incertitudes-types composées.

Capacités exigibles. Évaluer, à l’aide d’une formule fournie, l’incertitude-type d’une grandeur s’exprimant en fonction d’autres grandeurs dont les incertitudes-types associées sont connues. Capacité numérique : Simuler, à l’aide d’un langage de programmation, un processus aléatoire illustrant la détermination de la valeur d’une grandeur avec incertitudes-types composées.

M.4Mesure et incertitudesTerminale, p. 4

Notions et contenus. Écriture du résultat. Valeur de référence.

Capacités exigibles. Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat d’une mesure. Comparer, le cas échéant, le résultat d’une mesure $m_\mathrm{mes}$ à une valeur de référence $m_\mathrm{ref}$ en utilisant le quotient $\dfrac{|m_\mathrm{mes}-m_\mathrm{ref}|}{u(m)}$ où $u(m)$ est l’incertitude-type associée au résultat.

Sujets 2024–2026 : dans 13 des 35 sujets

Page vérifiée le 2 novembre 2026

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Pour une série de $N$ mesures indépendantes $x_1, \dots, x_N$ , la valeur retenue est la moyenne $\bar{x} ={}$ $\dfrac{1}{N}\sum x_i$  ; la dispersion se chiffre par l’écart-type expérimental $s ={}$ $\sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N-1}}$ , que la calculatrice note $\sigma_{n-1}$ .
L’incertitude-type $u$ chiffre le doute sur un résultat. En évaluation de type A, elle se tire de la statistique d’une série : $u(\bar{x}) ={}$ $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ . En évaluation de type B, elle se tire d’autres informations, comme la notice d’un instrument.
Quand le résultat se calcule à partir de grandeurs d’incertitudes connues, les incertitudes se composent : pour un produit ou un quotient, ce sont les incertitudes relatives qui s’additionnent par leurs carrés.
Le résultat s’écrit avec $u$ à un ou deux chiffres significatifs et la valeur arrondie à la même décimale ; comparé à une référence $x_{\text{ref}}$ , il se juge par le quotient $\dfrac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ , que l’on confronte à un seuil fixé par convention.

L’épreuve écrite de spécialité physique-chimie dure 210 minutes et est notée sur 20 : trois exercices indépendants, et à partir de la session 2027 deux points pour la maîtrise de la langue. Elle compte pour 80 % de la note de la spécialité ; l’évaluation des compétences expérimentales, une heure au laboratoire, pour 20 %. Le sujet dit si la calculatrice est autorisée.

Une série de mesures

Quand on mesure plusieurs fois la même grandeur dans les mêmes conditions, les résultats diffèrent : l’instrument, le protocole et l’opérateur introduisent une variabilité. Un histogramme des résultats la rend visible ; sa largeur rend compte de la dispersion, que l’écart-type chiffre.

Exemple (valeurs fictives) : six mesures de la longueur d’une tige donnent les valeurs du tableau, en mm. La moyenne vaut $\bar{x} = \pu{12,335 mm}$ et l’écart-type expérimental $s = \pu{0,0187 mm}$ . Le diviseur $N - 1$ corrige le fait que la moyenne est elle-même tirée de la série.

Retiens qu’une moyenne sans écart-type ne dit pas si les mesures se ressemblent : ne conclus jamais sur la seule moyenne, et donne toujours avec elle le nombre de mesures et leur dispersion.

Mesure	Longueur (mm)
1	12,34
2	12,31
3	12,36
4	12,33
5	12,35
6	12,32

Incertitude-type : type A et type B

Le type A repose sur une série : l’incertitude-type de la moyenne est l’écart-type de la moyenne, $u(\bar{x}) ={}$ $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ , d’où l’intérêt de multiplier les mesures : quadrupler $N$ divise $u$ par deux. Avec la série précédente, $u = \dfrac{\pu{0,0187 mm}}{\sqrt{6}} \approx \pu{0,0076 mm}$ .

Le type B se passe de série : il s’appuie sur la notice d’un instrument, un certificat d’étalonnage, une donnée tabulée. Quand la notice garantit une valeur à $\pm a$ près, sans autre précision, on suppose que toute valeur de l’intervalle est également probable (loi uniforme) et $u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ . Exemple (valeurs fictives) : une éprouvette garantie à $\pm\pu{0,5 mL}$ donne $u = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx \pu{0,29 mL}$ .

Pour une loi proche de la loi normale, l’intervalle $\bar{x} \pm u$ couvre environ 68 % des valeurs possibles ; la surface grisée du graphique y correspond, et ce qui reste de part et d’autre se répartit dans les queues de la courbe.

Composer des incertitudes

Une grandeur calculée, comme une vitesse ou une masse volumique, hérite des incertitudes des grandeurs mesurées. Le sujet fournit en général la formule ; sinon, retiens les deux cas simples. Pour une somme ou une différence de grandeurs indépendantes, $u(y) ={}$ $\sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}$ . Pour un produit ou un quotient, $\dfrac{u(y)}{y} = \sqrt{\left(\dfrac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{u(b)}{b}\right)^2}$ .

Exemple (valeurs fictives) : une distance $d = \pu{2,500 m}$ avec $u(d) = \pu{0,004 m}$ est parcourue en $t = \pu{1,84 s}$ avec $u(t) = \pu{0,03 s}$ . La vitesse vaut $v = \dfrac{d}{t} \approx \pu{1,359 m.s-1}$ . L’incertitude relative est $\sqrt{(0{,}004/2{,}500)^2 + (0{,}03/1{,}84)^2} \approx 0{,}0164$  ; donc $u(v) \approx \pu{0,022 m.s-1}$ .

Vérifie les ordres de grandeur : l’incertitude relative la plus grande domine. Ici, celle de la durée est dix fois plus grande que celle de la distance, et $u(v)$ est presque entièrement due à $u(t)$ .

Écrire le résultat et le comparer

Un résultat comprend deux nombres : la valeur et son incertitude. On donne $u$ avec un ou deux chiffres significatifs, au plus ; la valeur s’arrondit à la même décimale. Avec les mesures de la tige, on écrit $\ell = \pu{12,335 mm}$ , $u = \pu{0,0076 mm}$ : $\ell = \pu{12,335 \pm 0,008 mm}$ .

Pour savoir si le résultat $x$ est compatible avec une valeur de référence $x_{\text{ref}}$ , on calcule le quotient $z ={}$ $\dfrac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ . Pour une loi normale, l’intervalle de largeur $\pm 2u$ couvre environ 95 % des valeurs. La ressource d’éduscol sur la mesure retient donc, par convention, le seuil 2 : avec $z < 2$ , le résultat est jugé compatible avec la référence ; avec $z \geq 2$ , il ne l’est pas. Un énoncé peut fixer un autre seuil : c’est alors le sien qui compte.

Exemple (valeurs fictives) : $x = \pu{9,72 m.s-2}$ avec $u(x) = \pu{0,04 m.s-2}$ et $x_{\text{ref}} = \pu{9,81 m.s-2}$ donnent $z ={}$ $\dfrac{0{,}09}{0{,}04} ={}$ $2{,}25$ : le résultat n’est pas compatible avec la référence. Ne confonds pas ce constat avec une faute de calcul : il peut venir d’un biais de la méthode.

Au laboratoire

le protocole

Une expérience de la notion : la question posée, le protocole, ce qu’on observe et ce qu’on en conclut.

La question: Comment évaluer l’incertitude-type d’une longueur mesurée plusieurs fois avec le même instrument ?
Ce qu’on fait varier: Le nombre $N$ de mesures indépendantes de la même grandeur.
Le protocole: On mesure la même grandeur avec le même instrument et le même protocole, en repartant de zéro à chaque fois, et l’on consigne chaque résultat. On calcule la moyenne et l’écart-type expérimental de la série, que l’on peut visualiser par un histogramme ou un tableur, puis l’écart-type de la moyenne $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$ .
Ce qu’on observe: Les références rapportent que l’incertitude-type évaluée par une méthode statistique est l’écart-type de la moyenne d’une série de mesures indépendantes, et que le facteur $\sqrt{N}$ la fait décroître quand on multiplie les mesures.
Ce qu’on en conclut: On écrit le résultat sous la forme moyenne ± incertitude-type. Une incertitude de type A ne rend compte que des erreurs aléatoires : un défaut d’étalonnage de l’instrument décale toutes les mesures du même côté et ne se voit pas dans l’écart-type.

Les mots du programme

moyenne et écart-type: La moyenne d’une série de mesures donne la valeur retenue ; l’écart-type expérimental $s$ , calculé avec $N-1$ , chiffre sa dispersion.
incertitude-type: Incertitude $u(x)$ exprimée comme un écart-type : elle chiffre le doute sur le résultat $x$ , et ne désigne pas une erreur.
évaluation de type A: Évaluation de $u$ par un traitement statistique d’une série de mesures ; pour la moyenne, $u = \dfrac{s}{\sqrt{N}}$ .
évaluation de type B: Évaluation de $u$ à partir d’autres informations qu’une série : notice, certificat d’étalonnage, donnée tabulée.
incertitude-type composée: Incertitude d’une grandeur calculée à partir de grandeurs dont les incertitudes-types sont connues.
valeur de référence: Valeur à laquelle on compare un résultat, par le quotient $\dfrac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet du bac, mot pour mot, avec les lignes de l’exercice dont elle a besoin. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2025, Métropole, jour 1 — exercice 3, question 6

Exercice 3 — Viscosimètre à chute de bille

[…] • pour discuter de l’accord du résultat d’une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient

\dfrac{|x - x_{\text{ref}}|}{\mathrm{u}(x)}

avec

x

la valeur mesurée,

x_{\text{ref}}

la valeur de référence et

\mathrm{u}(x)

l’incertitude-type associée à la valeur mesurée

x

. […] L’huile C a une viscosité de référence qui vaut

\eta_{\text{réf}} = \pu{0,093 N.m-2.s}

et l’incertitude-type sur la valeur de la viscosité

\eta_C

obtenue vaut

\mathrm{u}(\eta_C) = \pu{0,003 N.m-2.s}

Question 6

Q6. Déterminer si la valeur de la viscosité

\eta_C

obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2025, spécialité physique-chimie, Métropole, jour 1, exercice 3, question 6 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetbac

Bac 2025, Centres étrangers, jour 2 — exercice 3, question 9

Exercice 3 — LA VISCOSITÉ DU GLYCÉROL — 2. Fiabilité du viscosimètre du lycée : mesure de la viscosité du glycérol

[…] Dans les mêmes conditions que l’expérience n°1, on a mesuré à nouveau 5 fois (expériences n°2 à 6) la viscosité du glycérol. Les résultats sont rassemblés dans le tableau du document 3.

Expériences	1	2	3	4	5	6
$\eta$ à 20 °C (en $\pu{kg.m-1.s-1}$ )	1,47	1,50	1,48	1,45	1,52	1,46

Document 3. Valeurs de la viscosité du glycérol mesurées à 20 °C Rappels : • pour une mesure X réalisée N fois, on attribue comme valeur à X, la moyenne (arithmétique)

\bar{X}

des valeurs de ces N mesures. L’incertitude-type associée à cette valeur vaut

u(\bar{X}) ={}

\dfrac{\sigma_{n-1}}{\sqrt{N}}

où

\sigma_{n-1}

est l’écart-type expérimental. […]

Question 9

Q.9. Calculer la valeur moyenne de la viscosité

\bar{\eta}

et l’incertitude associée

u(\bar{\eta})

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2025, spécialité physique-chimie, Centres étrangers, jour 2, exercice 3, question 9 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Dans les sujets

compté par sujet

Les sujets de 2024 à 2026 qui ont posé une question sur cette notion : dans 13 des 35 sujets, sans compter les sujets de remplacement et de secours.

Sujet	Questions
Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 1	1.10
Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 2	2.4, 2.5
Bac 2026, Centres étrangers, jour 1	1.7, 1.8
Bac 2026, Métropole, jour 1	3.9, 3.10, 3.11
Bac 2025, Amérique du Sud, jour 2	1.18
Bac 2025, Centres étrangers, jour 2	3.9, 3.10
Bac 2025, Métropole, jour 1	1.11, 3.6
Bac 2025, Métropole, jour 2	1.7, 2.8
Bac 2024, Amérique du Nord, jour 2	1.6, 3.7, 3.8
Bac 2024, Asie, jour 2	1.12, 1.14
Bac 2024, Centres étrangers, jour 1	2.3
Bac 2024, Métropole, jour 1	1.15
Bac 2024, Polynésie, jour 2	2.7

Teste-toi

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bac

Exercice 3 — Coloration de la laine — 2. Étude du bain de teinture

Les premières traces d'utilisation de la laine à usage vestimentaire remontent à plus de 12 000 ans et les premières teintures de la laine apparaissent il y a plus de 5 000 ans. Note du site : ici, le sujet reproduit un dessin de pelote de laine (non repris). Les objectifs de cet exercice sont d'étudier la synthèse d'un colorant ainsi que les conditions nécessaires à sa fixation dans la structure de la laine. Pour une fixation optimale du colorant, on abaisse le pH du bain de teinture en utilisant de l’acide citrique ou du vinaigre. Les vinaigres sont des solutions aqueuses contenant de l’acide éthanoïque (ou acide acétique), de formule

\ce{CH3COOH}

. On se propose, dans cette partie, de doser du vinaigre commercial étiqueté à 8°, ce qui correspond à une concentration attendue en acide éthanoïque

C_0 = \pu{1,360 mol.L-1}

. On dose un volume

V_{\text{A}} = \pu{10,0 mL}

de vinaigre dilué dix fois par une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium de concentration

C_{\text{B}} = \pu{0,10 mol.L-1}

. Le volume à l’équivalence

V_{\text{E}}

est déterminé grâce au virage du bleu de thymol. On réalise le titrage douze fois, les mesures des volumes

V_{\text{E}}

obtenus à l’équivalence sont fournies dans le tableau ci-dessous, ainsi que la concentration

C

en acide éthanoïque du vinaigre commercial qui en est déduite :

N°	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$V_{\text{E}}$ (mL)	13,50	13,70	13,70	13,65	13,70	13,60	13,65	13,60	13,75	13,50	13,60	13,50
$C$ ( $\pu{mol.L-1}$ )	1,350	1,370	1,370	1,365	1,370	1,360	1,365	1,360	1,375	1,350	1,360	1,350

Question 3.9. (0–0,5)

Q9. Parmi les valeurs suivantes, choisir et recopier sur la copie la valeur moyenne

C_{\text{moy}}

et l’écart-type

\sigma

de la série de mesures :

Moyenne $C_{\text{moy}}$ ( $\pu{mol.L-1}$ )	1,9155	1,3750	1,3621

Écart-type $\sigma$ ( $\pu{mol.L-1}$ )	0,009	0,237	1,370

Note du site : choisir chaque valeur dans sa liste.

Moyenne

C_{\text{moy}}

: mol·L⁻¹ ; écart-type

\sigma

: mol·L⁻¹.

Bac 2026, spécialité physique-chimie, Métropole, jour 1, exercice 3, question 9 — corrigé Kleksa (non officiel)

exercice Kleksa

Question 1. (0–1)

On mesure cinq fois la durée d’une oscillation (valeurs fictives) :

\pu{2,31 s}

 ;

\pu{2,28 s}

 ;

\pu{2,35 s}

 ;

\pu{2,30 s}

 ;

\pu{2,26 s}

. La moyenne vaut

\pu{2,30 s}

et l’écart-type expérimental

s = \pu{0,0339 s}

. Calculer l’incertitude-type

u

de la moyenne, en s.

Exercice écrit pour cette page — corrigé Kleksa.

exercice Kleksa

Question 2. (0–1)

Un calcul donne la valeur 9,8173 pour une grandeur, avec une incertitude-type de 0,0348 (valeurs fictives). Quelle écriture du résultat respecte la règle des chiffres significatifs, avec une incertitude à un chiffre significatif ?

Exercice écrit pour cette page — corrigé Kleksa.

exercice Kleksa

Question 3. (0–1)

On détermine la masse volumique d’un liquide,

\rho = m / V

, (valeurs fictives) avec

m = \pu{24,30 g}

u(m) = \pu{0,05 g}

V = \pu{12,0 mL}

u(V) = \pu{0,2 mL}

. On donne, pour un quotient,

\dfrac{u(\rho)}{\rho} = \sqrt{\left(\dfrac{u(m)}{m}\right)^2 + \left(\dfrac{u(V)}{V}\right)^2}

. Calculer

u(\rho)

, en

\pu{g.mL-1}

g·mL⁻¹

Exercice écrit pour cette page — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Diviser par $N$ au lieu de $N - 1$ dans l’écart-type expérimental. La calculatrice donne les deux ; choisis celui qui est noté $\sigma_{n-1}$ ou $s$ .
Prendre l’écart-type de la série pour l’incertitude-type de la moyenne. Il faut encore diviser par $\sqrt{N}$ .
Additionner des incertitudes au lieu de composer leurs carrés. Pour des grandeurs indépendantes, on additionne les carrés, puis on prend la racine.
Donner trop de chiffres à $u$ ou à la valeur. Avec $u$ à un ou deux chiffres significatifs, la valeur s’arrête à la même décimale.
Parler d’« erreur » pour l’incertitude-type. L’incertitude chiffre un doute, l’erreur est l’écart, inconnu, à la valeur vraie.

À retenir

Série de mesures : moyenne $\bar{x}$ , écart-type expérimental $s$ (avec $N-1$ ).
Type A : $u(\bar{x}) ={}$ $\dfrac{s}{\sqrt{N}}$  ; type B, loi uniforme sur $\pm a$ : $u = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ .
Quotient ou produit : les incertitudes relatives se composent par leurs carrés ; somme ou différence : les incertitudes absolues.
Accord avec une référence : $z ={}$ $\dfrac{|x - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$  ; seuil conventionnel 2, sauf si l’énoncé en fixe un autre.

Questions fréquentes

1.Pourquoi l’écart-type de la moyenne est-il plus petit que celui de la série ?+
Réponse :La moyenne de plusieurs mesures fluctue moins qu’une mesure isolée : les écarts aléatoires se compensent en partie. L’incertitude-type de la moyenne vaut $s$ divisé par $\sqrt{N}$ , donc elle décroît quand on multiplie les mesures.
2.Quelle différence entre précision et exactitude ?+
Réponse :Une mesure est précise quand les résultats répétés se ressemblent, exacte quand ils sont proches de la valeur de référence. Une série peut être précise sans être exacte, si un défaut d’étalonnage décale tous les résultats.
3.À quoi sert l’incertitude de type B quand on dispose déjà d’une série ?+
Réponse :Elle rend compte de sources de doute que la série ne montre pas, comme la graduation d’un instrument. Les deux évaluations peuvent se composer, par addition de leurs carrés, pour une incertitude-type globale.
4.Combien de chiffres significatifs donner à l’incertitude ?+
Réponse :Un ou deux au plus : au-delà, les chiffres correspondraient à des écarts que les instruments ne peuvent pas distinguer. La valeur du résultat s’arrête alors à la même décimale que l’incertitude.
5.Que signifie un quotient égal à 2,25 ?+
Réponse :L’écart entre le résultat et la référence vaut 2,25 incertitudes-types. Avec le seuil conventionnel de 2, le résultat n’est pas jugé compatible avec la référence ; cela peut venir d’un biais de la méthode, d’une incertitude sous-estimée, ou d’une fluctuation rare.

Voir aussi

Toutes les notions de physique-chimie du bac

Notion suivante du programme : Tableau d’avancement

Sources

Ce site n’est pas un service du ministère de l’Éducation nationale et n’y est pas lié. Les questions marquées « bac » viennent des sujets publiés sur éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0) ; leurs corrigés, les explications et les autres exercices de la page sont les nôtres et n’ont rien d’officiel.

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