Kleksa

Bac 2027 · spécialité physique-chimie

Vecteurs vitesse et accélération, repère de Frenet

Où est le mobile, à quelle vitesse va-t-il et comment cette vitesse change-t-elle ? Trois vecteurs liés par la dérivation y répondent, complétés par le repère de Frenet dès que la trajectoire est circulaire. On les applique ici, comme en terminale, à la ligne droite, au virage et à la chronophotographie, avec le bac pour horizon.

Au bac de physique-chimie : dans 8 des 35 sujets de 2024 à 2026 (questions : 20).

L’essentiel

ce qu’il faut savoir
  • Pour suivre un point MM dans un référentiel, on lui associe un vecteur position OM→\overrightarrow{OM}, fonction du temps tt, dont l’origine OO est celle du repère.
  • La vitesse mesure la rapidité avec laquelle la position change : v⃗(t)=\vec{v}(t) ={}lim⁡Δt→0OM→(t+Δt)−OM→(t)Δt \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\overrightarrow{OM}(t + \Delta t) - \overrightarrow{OM}(t)}{\Delta t}, c’est-à-dire une dérivation par rapport à tt. Elle a pour unité le m ⋅ s−1\pu{m.s-1} ; le vecteur v⃗\vec{v} est porté par la tangente à la trajectoire en MM et suit le sens du mouvement.
  • L’accélération mesure de même la rapidité avec laquelle v⃗\vec{v} change : on dérive v⃗\vec{v} par rapport à tt, et a⃗\vec{a} a pour unité le m ⋅ s−2\pu{m.s-2}. Elle rend compte d’une variation de la valeur de la vitesse, de sa direction, ou des deux.
  • En coordonnées cartésiennes, chaque coordonnée de v⃗\vec{v} se déduit de la coordonnée de même nom de OM→\overrightarrow{OM} (vxv_x vient de xx, vyv_y de yy), chaque coordonnée de a⃗\vec{a} de celle de v⃗\vec{v}.
  • Sur un cercle de rayon RR, le repère de Frenet (M,u⃗t,u⃗n)(M, \vec{u}_t, \vec{u}_n) sépare les deux effets de l’accélération : a⃗=dvdt u⃗t+v2R u⃗n{\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n} ; le vecteur u⃗n\vec{u}_n y pointe vers l’intérieur du cercle.

L’épreuve écrite de spécialité physique-chimie dure 210 minutes et est notée sur 20 : trois exercices indépendants, et à partir de la session 2027 deux points pour la maîtrise de la langue. Elle compte pour 80 % de la note de la spécialité ; l’évaluation des compétences expérimentales, une heure au laboratoire, pour 20 %. Le sujet dit si la calculatrice est autorisée.

Du vecteur position à l’accélération

Pour exprimer la position, choisis un repère (O,ı⃗,ȷ⃗)(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) : OM→(t)=\overrightarrow{OM}(t) ={}x(t) ı⃗+ x(t)\,\vec{\imath} +{}y(t) ȷ⃗ y(t)\,\vec{\jmath}. On dérive xx pour obtenir vxv_x, yy pour obtenir vyv_y, puis vxv_x et vyv_y pour axa_x et aya_y. La valeur de la vitesse se calcule enfin comme la longueur du vecteur : v=v ={}vx2+vy2 \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.

Exemple (valeurs fictives). Un robot roulant suit, en mètres et en secondes, x(t)=1,5 tx(t) = 1{,}5\,t et y(t)=0,40 t2y(t) = 0{,}40\,t^2. La première dérivée donne vx=1,5 m ⋅ s−1v_x = \pu{1,5 m.s-1} et vy=0,80 tv_y = 0{,}80\,t ; la seconde, ax=0a_x = 0 et ay=0,80 m ⋅ s−2a_y = \pu{0,80 m.s-2}. À t=2,0 st = \pu{2,0 s}, vy=1,6 m ⋅ s−1v_y = \pu{1,6 m.s-1}, donc v=1,52+1,62≈2,2 m ⋅ s−1v = \sqrt{1{,}5^2 + 1{,}6^2} \approx \pu{2,2 m.s-1} ; l’accélération, elle, a la même valeur à chaque date.

Retiens la différence de rôle : v⃗\vec{v} donne la direction suivie à l’instant considéré, a⃗\vec{a} la manière dont v⃗\vec{v} est en train de se modifier. Ne dessine pas a⃗\vec{a} le long de la trajectoire par réflexe : il n’y est que si le mobile ne change pas de direction.

Exploiter une chronophotographie

Une vidéo pointée image par image, ou une chronophotographie, fournit des positions M0,M1,M2,…M_0, M_1, M_2, \dots relevées à intervalles réguliers τ\tau. Aucune dérivée n’est calculable sur des points isolés : on prend la vitesse moyenne entre les deux voisins de MiM_i, qui approche la vitesse en MiM_i, puis la même démarche appliquée aux vitesses fournit l’accélération. Pour un mouvement sur un axe, vi≈xi+1−xi−12τv_i \approx \dfrac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\tau} et ai≈vi+1−vi−12τa_i \approx \dfrac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2\tau}.

Le tableau (valeurs fictives, τ=0,10 s\tau = \pu{0,10 s} ; le point M0M_0 est en x=0 cmx = \pu{0 cm} à t=0 st = \pu{0 s} et M6M_6 en x=32,4 cmx = \pu{32,4 cm}) traite un mobile sur un axe. Les écarts entre positions voisines grandissent du même pas à chaque intervalle, et chaque couple de vitesses voisines donne la même accélération, 1,8 m ⋅ s−2\pu{1,8 m.s-2}. Sur un schéma, chaque flèche de vitesse part de MiM_i, suit le sens du mouvement et se trace à une échelle choisie.

Le programme ajoute une capacité numérique : représenter, avec un langage de programmation, les vecteurs accélération d’un point pendant son mouvement. Les viv_i et les aia_i se rangent dans deux listes ; le tracé place ensuite chaque flèche à son point.

Pointtt (s)xx (cm)viv_i (m ⋅ s−1\pu{m.s-1})
M1M_10,100,90,18
M2M_20,203,60,36
M3M_30,308,10,54
M4M_40,4014,40,72
M5M_50,5022,50,90

Repère de Frenet et mouvement circulaire

Le repère de Frenet accompagne le mobile : u⃗t\vec{u}_t est le vecteur de longueur 1 porté par la tangente, dirigé comme le mouvement ; u⃗n\vec{u}_n, de longueur 1 aussi, lui est perpendiculaire et pointe vers l’intérieur du cercle. La vitesse n’a qu’une coordonnée, v⃗=\vec{v} ={}v u⃗t v\,\vec{u}_t. L’accélération en a deux : sur u⃗t\vec{u}_t, la coordonnée dvdt\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} traduit l’évolution de la valeur de la vitesse ; sur u⃗n\vec{u}_n, la coordonnée v2R\dfrac{v^2}{R} traduit le virage, c’est-à-dire l’évolution de la direction.

Si vv reste constante, le terme tangentiel s’annule et il ne reste que v2R\dfrac{v^2}{R} selon u⃗n\vec{u}_n : un mouvement uniforme sur un cercle est accéléré, car, même si la norme de v⃗\vec{v} reste fixe, ce vecteur tourne.

Exemple (valeurs fictives). Une voiture entre dans un virage de rayon R=50 mR = \pu{50 m} à v=15 m ⋅ s−1v = \pu{15 m.s-1}, en gagnant 1,2 m ⋅ s−1\pu{1,2 m.s-1} chaque seconde. Selon u⃗n\vec{u}_n, an=15250=4,5 m ⋅ s−2a_n = \dfrac{15^2}{50} = \pu{4,5 m.s-2} ; selon u⃗t\vec{u}_t, at=1,2 m ⋅ s−2a_t = \pu{1,2 m.s-2}. La valeur de l’accélération est 4,52+1,22≈4,7 m ⋅ s−2\sqrt{4{,}5^2 + 1{,}2^2} \approx \pu{4,7 m.s-2}, avec un vecteur presque perpendiculaire à la trajectoire, un peu penché vers l’avant.

ORMutuna

Les mouvements que le programme nomme

Le programme demande de caractériser l’accélération dans quatre cas types, que le tableau range. Pour chacun, pose-toi deux questions : la valeur de v⃗\vec{v} change-t-elle ? sa direction change-t-elle ?

MouvementVecteur vitesseVecteur accélération
Rectiligne uniformeconstantnul
Rectiligne uniformément accélérémême direction, valeur qui varie du même pas à chaque secondeconstant, sur la droite du mouvement
Circulaire uniformevaleur constante, direction qui tournede valeur v2R\dfrac{v^2}{R}, pointé vers l’intérieur du cercle
Circulaire non uniformevaleur et direction qui changentdeux coordonnées : dvdt\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} et v2R\dfrac{v^2}{R}

Les mots du programme

vecteur vitesse
Vecteur obtenu en dérivant le vecteur position selon tt ; il a pour unité le m ⋅ s−1\pu{m.s-1}, est porté par la tangente à la trajectoire et suit le sens du mouvement.
vecteur accélération
Vecteur obtenu en dérivant le vecteur vitesse selon tt ; il a pour unité le m ⋅ s−2\pu{m.s-2} et rend compte à la fois des variations de la norme de v⃗\vec{v} et de sa direction.
repère de Frenet
Repère (M,u⃗t,u⃗n)(M, \vec{u}_t, \vec{u}_n) attaché à un point mobile sur une trajectoire courbe : u⃗t\vec{u}_t unitaire et tangent, u⃗n\vec{u}_n unitaire, perpendiculaire au précédent, tourné vers l’intérieur du virage, donc vers le centre sur un cercle.
mouvement circulaire uniforme
Mouvement sur un cercle à valeur de vitesse constante : l’accélération pointe vers l’intérieur du cercle et vaut v2R\dfrac{v^2}{R}.
mouvement rectiligne uniformément accéléré
Mouvement sur une droite dont l’accélération garde le même vecteur, porté par cette droite.
chronophotographie
Méthode d’analyse d’un mouvement par une suite de positions relevées à des durées égales ; on en tire des vitesses et des accélérations approchées.

Une question du sujet

source : éduscol
Une vraie question d’un sujet du bac, mot pour mot, avec les lignes de l’exercice dont elle a besoin. Cherche-la avant de lire le corrigé.
Question d’un sujetbac

Bac 2025, Amérique du Nord, jour 1 — exercice 2, question 1

Exercice 2 — Physique et raccordements routiers — 1. Mouvement sur l’arc de clothoïde (entre O et S)

Figure 2. Évolution de l’accélération sur un raccordement routier · Ministère de l’Éducation nationale – éduscol
[…] Ce raccordement permet de réduire les risques en assurant une augmentation linéaire dans le temps de l’accélération jusqu’à une valeur constante et maximale dans l’arc de cercle. […] La partie OP de l’échangeur au début de l’arc de clothoïde est considérée comme une ligne droite horizontale.

Question 1

Q.1. Déterminer la valeur de l’accélération du véhicule sur la portion OP à partir de la figure 2 et caractériser le mouvement du véhicule.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2025, spécialité physique-chimie, Amérique du Nord, jour 1, exercice 2, question 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Dans les sujets

compté par sujet
Les sujets de 2024 à 2026 qui ont posé une question sur cette notion : dans 8 des 35 sujets, sans compter les sujets de remplacement et de secours.
SujetQuestions
Bac 2026, Amérique du Nord, jour 13.1, 3.2
Bac 2026, Polynésie, jour 13.4
Bac 2025, Amérique du Nord, jour 12.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6
Bac 2025, Centres étrangers, jour 12.4, 2.5, 2.6
Bac 2025, Polynésie, jour 21.8
Bac 2024, Amérique du Nord, jour 11.1, 1.2, 1.3
Bac 2024, Amérique du Nord, jour 21.2
Bac 2024, Polynésie, jour 12.5, 2.6, 2.7

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bac

Question 1. (0–1)

Roulant à v0=30 km ⋅ h−1v_0 = \pu{30 km.h-1}, un train régional atteint la vitesse v1=110 km ⋅ h−1v_1 = \pu{110 km.h-1} en une durée Δt=78,6 s\Delta t = \pu{78,6 s}, en ligne droite. Calculer la valeur aa de l’accélération moyenne au cours de cette phase, en m·s⁻². Donner le résultat avec deux chiffres significatifs.
m·s⁻²

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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bac

Question 2. (0–1)

On filme une bille lâchée sans vitesse initiale qui se déplace en ligne droite selon un axe (Ox)(Ox). Le pointage de la vidéo donne la position xx du centre de l’objet à intervalles de temps réguliers τ=50 ms\tau = \pu{50 ms} :
PointM0M_0M1M_1M2M_2M3M_3M4M_4M5M_5M6M_6
tt (s)0,0000,0500,1000,1500,2000,2500,300
xx (m)0,0000,0120,0500,1110,1980,3090,446
On assimile la vitesse au point M4M_4 à la vitesse moyenne entre les points M3M_3 et M5M_5. Calculer la valeur v4v_4 de la vitesse au point M4M_4, en m·s⁻¹. Donner le résultat avec trois chiffres significatifs.
m·s⁻¹

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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bac

Question 3. (0–1)

Dans le référentiel terrestre, une voiture aborde un virage : on assimile son mouvement à un mouvement circulaire uniforme de rayon R=141,7 mR = \pu{141,7 m}, à la vitesse de valeur v=55 km ⋅ h−1v = \pu{55 km.h-1}. Données : • dans un mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète, de valeur a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R}. Calculer la valeur aa de l’accélération, en m·s⁻². Donner le résultat avec trois chiffres significatifs.
m·s⁻²

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points
  • Croire qu’un mouvement à valeur de vitesse constante n’a pas d’accélération. Sur un cercle, v⃗\vec{v} tourne : l’accélération existe, vaut v2R\dfrac{v^2}{R} et pointe vers l’intérieur.
  • Tracer partout le vecteur accélération le long de la trajectoire. Dès que la trajectoire est courbe, sa coordonnée sur u⃗n\vec{u}_n est présente ; il n’est tangent que pour un mouvement rectiligne.
  • Oublier de convertir. Une valeur exprimée en km ⋅ h−1\pu{km.h-1} se divise par 3,6 pour passer en m ⋅ s−1\pu{m.s-1}, et cela avant tout calcul d’accélération.
  • Ne compter qu’un intervalle τ\tau pour une vitesse calculée entre Mi−1M_{i-1} et Mi+1M_{i+1}. Deux intervalles s’écoulent entre ces points : le résultat serait doublé.
  • Orienter u⃗n\vec{u}_n vers l’extérieur du cercle. Il est tourné vers le centre ; une coordonnée normale négative, −v2R-\dfrac{v^2}{R}, trahit cette erreur de sens.

À retenir

  • Vitesse : dérivée de OM→\overrightarrow{OM} par rapport au temps ; accélération : dérivée de v⃗\vec{v} ; en cartésien, coordonnée après coordonnée.
  • Sur une chronophotographie : vi≈Mi−1Mi+12τv_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau} ; on déduit a⃗i\vec{a}_i des deux vecteurs vitesse voisins.
  • Frenet : v⃗=\vec{v} ={}v u⃗t v\,\vec{u}_t et a⃗=\vec{a} ={}dvdt u⃗t+ \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t +{}v2R u⃗n \dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_n ; u⃗n\vec{u}_n pointe vers le centre.
  • Circulaire uniforme : a=v2Ra = \dfrac{v^2}{R} vers l’intérieur ; rectiligne uniforme : accélération nulle.

Questions fréquentes

  1. 1.Vitesse moyenne et vitesse instantanée : qu’est-ce qui les distingue ?+
    Réponse :La vitesse moyenne se calcule sur une durée finie, comme ΔxΔt\dfrac{\Delta x}{\Delta t} entre deux points. La vitesse instantanée est la limite de ce quotient quand la durée tend vers zéro. Sur une chronophotographie, on approche la seconde par la première en prenant des points voisins.
  2. 2.Pourquoi un point qui tourne à vitesse constante accélère-t-il ?+
    Réponse :L’accélération mesure les changements du vecteur vitesse, pas seulement ceux de sa valeur. Sur un cercle, ce vecteur change de direction à chaque instant : la variation pointe vers l’intérieur du cercle et vaut v2R\dfrac{v^2}{R}.
  3. 3.Quand utiliser le repère de Frenet plutôt que le repère cartésien ?+
    Réponse :Le repère de Frenet convient aux trajectoires courbes, surtout circulaires, quand on veut séparer l’évolution de la valeur de la vitesse et celle de sa direction. Le repère cartésien convient quand les équations horaires x(t)x(t) et y(t)y(t) sont fournies ou que le mouvement est rectiligne.
  4. 4.Comment reconnaître un mouvement rectiligne uniformément accéléré sur un tableau de positions ?+
    Réponse :Les écarts entre positions voisines, pris à durées égales, croissent ou décroissent du même pas à chaque intervalle. Les vitesses approchées varient alors de la même quantité d’un point au suivant, ce qui donne une accélération de valeur fixe.
  5. 5.Le vecteur accélération peut-il être nul alors que le mobile bouge ?+
    Réponse :Oui : un mobile qui avance en ligne droite à valeur de vitesse fixe a un vecteur vitesse constant, donc une accélération nulle. Une accélération nulle n’implique pas une vitesse nulle, mais un vecteur vitesse qui ne varie ni en valeur ni en direction.

Voir aussi

Toutes les notions de physique-chimie du bac

Notion suivante du programme : Deuxième loi de Newton

Sources

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