Kleksa

Bac 2027 · spécialité physique-chimie

Lois de Kepler et mouvement des satellites

Une planète autour du Soleil, la Lune ou un satellite artificiel autour de la Terre : un seul astre attracteur, une seule force, et trois lois que Kepler a tirées des observations bien avant Newton. La troisième se démontre, pour une orbite circulaire, en appliquant la deuxième loi de Newton ; elle sert ensuite à peser l’astre central ou à prévoir la période d’un satellite. Démonstration et usages, tels que la terminale les présente, sont repris ici pour l’épreuve écrite du bac.

Au bac de physique-chimie : dans 10 des 35 sujets de 2024 à 2026 (questions : 73).

L’essentiel

ce qu’il faut savoir
  • Première loi : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers. Le cercle est le cas où les deux foyers sont confondus.
  • Deuxième loi, ou loi des aires : le segment qui relie le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La planète va donc plus vite près du Soleil.
  • Troisième loi : T2a3\dfrac{T^2}{a^3} a la même valeur pour toutes les planètes du Soleil, avec TT la période de révolution et aa le demi-grand axe de l’orbite.
  • Pour une orbite circulaire de rayon rr autour d’un astre dont la masse vaut MM, la deuxième loi de Newton conduit à un mouvement uniforme, à v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{GM}{r}} et T2r3=\dfrac{T^2}{r^3} ={}4π2GM \dfrac{4\pi^2}{GM}.
  • La masse du satellite n’intervient ni dans sa vitesse ni dans sa période : seuls comptent le rayon de l’orbite et la masse de l’astre central.

L’épreuve écrite de spécialité physique-chimie dure 210 minutes et est notée sur 20 : trois exercices indépendants, et à partir de la session 2027 deux points pour la maîtrise de la langue. Elle compte pour 80 % de la note de la spécialité ; l’évaluation des compétences expérimentales, une heure au laboratoire, pour 20 %. Le sujet dit si la calculatrice est autorisée.

Les trois lois de Kepler

Kepler a énoncé ses lois au début du XVIIᵉ siècle à partir des positions de Mars mesurées par Tycho Brahe. La première dit que l’orbite d’une planète est une ellipse et que le Soleil n’est pas au centre de cette ellipse mais en l’un de ses foyers. Le point de l’orbite le plus proche du Soleil s’appelle le périhélie (P sur le schéma), le plus éloigné l’aphélie (A). La moitié de la distance PA est le demi-grand axe aa.

La deuxième loi porte sur la vitesse. Pendant une même durée, le segment Soleil-planète balaie des secteurs de même aire : sur le schéma, S1S_1 et S2S_2 sont parcourus en des durées égales. Près de P, le secteur est court, donc son arc est plus long : la planète y parcourt plus de chemin dans le même temps. Le mouvement sur une ellipse n’est donc pas uniforme.

La troisième loi compare les planètes entre elles : le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe, T2a3=k\dfrac{T^2}{a^3} = k, avec la même constante kk pour toutes les planètes du Soleil. Les trois lois valent aussi pour les satellites d’une même planète, avec une autre constante.

SoleilPAS₁S₂Fv

Orbite circulaire : ce que dit la deuxième loi de Newton

Le système étudié est le satellite, de masse mm ; le référentiel est géocentrique (ou, pour une autre planète, lié à son centre) et supposé galiléen. La seule force qui s’exerce sur lui est l’attraction gravitationnelle de l’astre central (masse MM), orientée vers le centre de celui-ci : F⃗=\vec{F} ={}GMmr2 u⃗n G\dfrac{Mm}{r^2}\,\vec{u}_n, où u⃗n\vec{u}_n est le vecteur unitaire du repère de Frenet dirigé vers le centre de l’orbite.

D’après la deuxième loi de Newton, ma⃗=F⃗m\vec{a} = \vec{F}, donc a⃗=\vec{a} ={}GMr2 u⃗n \dfrac{GM}{r^2}\,\vec{u}_n : l’accélération ne dépend pas de mm. Dans le repère de Frenet, a⃗=\vec{a} ={}dvdt u⃗t+ \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_t +{}v2r u⃗n \dfrac{v^2}{r}\,\vec{u}_n. Par identification, la composante selon u⃗t\vec{u}_t est nulle, donc dvdt=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} ={}0 0 : la vitesse garde une valeur fixe, et le mouvement circulaire est uniforme.

La composante selon u⃗n\vec{u}_n fournit v2r=\dfrac{v^2}{r} ={}GMr2 \dfrac{GM}{r^2}, ce qui conduit à v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{GM}{r}}. Plus l’orbite est grande, plus le satellite est lent. Retiens que rr se mesure depuis le centre de l’astre : pour un satellite à l’altitude hh au-dessus d’une planète de rayon RR, r=R+hr = R + h.

La troisième loi pour une orbite circulaire

Pendant une période TT, le satellite parcourt la circonférence 2πr2\pi r à la vitesse constante vv : T=2πrvT = \dfrac{2\pi r}{v}. En remplaçant vv par GMr\sqrt{\dfrac{GM}{r}}, on obtient T=T ={}2πr3GM 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}, puis, en élevant au carré, T2r3=\dfrac{T^2}{r^3} ={}4π2GM \dfrac{4\pi^2}{GM}. C’est la troisième loi de Kepler, et la démonstration donne en plus la valeur de la constante.

Pour les planètes du Soleil, 4π2GMSoleil≈2,97⋅10−19 s2 ⋅ m−3\dfrac{4\pi^2}{GM_{\text{Soleil}}} \approx \pu{2,97e-19 s2.m-3}. Le tableau reprend la distance moyenne au Soleil et la période de révolution de quatre planètes, données par la NASA : le rapport T2a3\dfrac{T^2}{a^3} est le même à 0,3 % près, alors que les périodes vont de 88 jours à près de 12 ans.

La loi permet de calculer une grandeur à partir des autres. Si l’on connaît la période d’un satellite et la masse de l’astre, on en tire le rayon de l’orbite ; si l’on mesure le rayon et la période d’un satellite naturel, on en déduit la masse de la planète qu’il entoure, M=M ={}4π2r3GT2 \dfrac{4\pi^2 r^3}{G T^2}.

PlanèteDistance moyenne au Soleil aa (m)Période TT (s)T2a3\dfrac{T^2}{a^3} (s2 ⋅ m−3\pu{s2.m-3})
Mercure5,79⋅1010\pu{5,79e10}7,60⋅106\pu{7,60e6}2,98⋅10−19\pu{2,98e-19}
Terre1,496⋅1011\pu{1,496e11}3,16⋅107\pu{3,16e7}2,97⋅10−19\pu{2,97e-19}
Mars2,28⋅1011\pu{2,28e11}5,94⋅107\pu{5,94e7}2,97⋅10−19\pu{2,97e-19}
Jupiter7,785⋅1011\pu{7,785e11}3,74⋅108\pu{3,74e8}2,97⋅10−19\pu{2,97e-19}

Le satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire paraît immobile depuis le sol : il reste au-dessus d’un même lieu de l’équateur. Pour cela, son orbite est un cercle situé dans le plan équatorial, décrit dans le même sens que tourne la Terre, et sa période est égale à la durée d’une rotation complète de la Terre par rapport aux étoiles : T=23 h 56 min 4 s=86164 sT = \pu{23 h 56 min 4 s} = \pu{86164 s}.

Calcule le rayon de son orbite avec la troisième loi : r=r ={}GMTT24π23 \sqrt[3]{\dfrac{GM_{\text{T}}T^2}{4\pi^2}}. Avec GMT=3,986⋅1014 m3 ⋅ s−2GM_{\text{T}} = \pu{3,986e14 m3.s-2}, on trouve r≈4,216⋅107 mr \approx \pu{4,216e7 m}, soit environ 42164 km\pu{42164 km} du centre de la Terre. En retranchant le rayon équatorial, 6378 km\pu{6378 km}, l’altitude est d’environ 35786 km\pu{35786 km}.

Sa vitesse vaut alors v=2πrT≈3,07 km ⋅ s−1v = \dfrac{2\pi r}{T} \approx \pu{3,07 km.s-1}, et l’on vérifie qu’elle est bien égale à GMTr\sqrt{\dfrac{GM_{\text{T}}}{r}}. Ces valeurs ne dépendent pas du satellite : tous les satellites géostationnaires sont sur la même orbite.

Les mots du programme

lois de Kepler
Trois lois sur le mouvement des planètes autour du Soleil : orbite elliptique dont le Soleil est un foyer, aires égales balayées en des durées égales, T2a3\dfrac{T^2}{a^3} identique pour toutes les planètes.
orbite
Trajectoire d’un astre ou d’un satellite autour de l’astre qui l’attire, décrite dans un référentiel lié au centre de cet astre.
période de révolution
Durée TT d’un tour complet d’un satellite ou d’une planète sur son orbite.
satellite géostationnaire
Satellite dont l’orbite est un cercle du plan équatorial, décrit dans le sens où tourne la Terre en 23 h 56 min 4 s\pu{23 h 56 min 4 s} : il reste à la verticale du même point.
champ de gravitation
Champ qu’un astre crée autour de lui ; si sa masse vaut MM, en un point situé à une distance rr du centre de l’astre, il pointe vers ce centre et vaut GMr2\dfrac{GM}{r^2}.
demi-grand axe
Moitié de la plus grande dimension d’une ellipse ; pour une orbite, la moitié de la somme des distances au foyer au périhélie et à l’aphélie. Pour un cercle, c’est le rayon.

Une question du sujet

source : éduscol
Une vraie question d’un sujet du bac, mot pour mot, avec les lignes de l’exercice dont elle a besoin. Cherche-la avant de lire le corrigé.
Question d’un sujetbac

Bac 2025, Nouvelle-Calédonie, jour 1 — exercice 3, question 4

Exercice 3 — MÉTIS, UN SATELLITE EN SURSIS ? — Partie A – Détermination du rayon r de l’orbite de Métis

[…] L’un des satellites naturels, Métis, est le plus proche de la planète et évolue en orbite circulaire autour d’elle. On le soupçonne d’alimenter l’anneau principal en particules qui seraient arrachées petit à petit de sa surface. […] L’étude du mouvement du satellite Métis, assimilé à un point matériel de masse mm, est réalisée dans le référentiel lié au centre de Jupiter, appelé référentiel jovien, supposé galiléen. On note rr le rayon de l’orbite circulaire de Métis autour de Jupiter. On étudie le mouvement de Métis dans le repère de Frenet.

Question 4

4. En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite Métis en mouvement circulaire autour de Jupiter, montrer que ce mouvement circulaire de Métis est uniforme.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2025, spécialité physique-chimie, Nouvelle-Calédonie, jour 1, exercice 3, question 4 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Question d’un sujetbac

Bac 2024, Polynésie, jour 2 — exercice 2, question 3

Exercice 2 — LA MASSE DE LA TERRE — Mesure de la masse de la Terre à l’aide d’un satellite.

Figure 1. Mouvement circulaire uniforme d'un satellite AA centré sur OO. · Ministère de l’Éducation nationale – éduscol
[…] On étudie le mouvement du centre de masse AA d'un satellite, dans le référentiel géocentrique, considéré comme galiléen. Ce satellite est situé à une distance r=OAr = OA par rapport au centre OO de la Terre. On fait l'approximation, dans un premier temps, que le mouvement du satellite est circulaire uniforme et on considère que la seule force qui s'applique sur le satellite est la force d’interaction gravitationnelle FT/A→\overrightarrow{F_{T/A}} exercée par la Terre, de masse MTM_T sur le satellite, de masse mm. Le repère de Frenet (A,uT→,uN→)(A, \overrightarrow{u_T}, \overrightarrow{u_N}) est représenté figure 1. […] On note GG la constante de gravitation universelle.

Question 3

Q3. En appliquant la deuxième loi de Newton au centre de masse AA du satellite, établir que sa vitesse a pour expression v=v ={}G⋅MTr \sqrt{\dfrac{G \cdot M_T}{r}}.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2024, spécialité physique-chimie, Polynésie, jour 2, exercice 2, question 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Dans les sujets

compté par sujet
Les sujets de 2024 à 2026 qui ont posé une question sur cette notion : dans 10 des 35 sujets, sans compter les sujets de remplacement et de secours.
SujetQuestions
Bac 2026, Antilles-Guyane, jour 13.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7
Bac 2026, Asie, jour 12.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8
Bac 2026, Métropole, jour 23.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
Bac 2026, Polynésie, jour 13.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8
Bac 2025, Centres étrangers, jour 13.1, 3.2, 3.3, 3.4
Bac 2025, Nouvelle-Calédonie, jour 13.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11
Bac 2025, Polynésie, jour 21.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9, 1.10, 1.11
Bac 2024, Amérique du Nord, jour 11.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8
Bac 2024, Centres étrangers, jour 22.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7
Bac 2024, Polynésie, jour 22.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.9

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bac

Question 1. (0–1)

Un satellite décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h=920 kmh = \pu{920 km}. On étudie son mouvement dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Données : • constante de gravitation universelle : G=6,67×10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2G = \pu{6,67 \times 10^{-11} N.m2.kg-2} ; • masse de la Terre : M=5,97×1024 kgM = \pu{5,97 \times 10^{24} kg} ; • rayon de la Terre : R=6 370 kmR = \pu{6}\,\pu{370 km} ; • pour un satellite en orbite circulaire de rayon rr autour de l’astre, v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{G M}{r}} et T=T ={}2πr3GM 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}. Calculer la période de révolution TT du satellite, en min. Donner le résultat avec trois chiffres significatifs.
min

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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bac

Question 2. (0–1)

Un satellite de Jupiter décrit une orbite circulaire de période T=3,1 joursT = \pu{3,1 jours}. On étudie son mouvement dans un référentiel centré sur l’astre, supposé galiléen. Données : • constante de gravitation universelle : G=6,67×10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2G = \pu{6,67 \times 10^{-11} N.m2.kg-2} ; • masse de Jupiter : M=1,90×1027 kgM = \pu{1,90 \times 10^{27} kg} ; • pour un satellite en orbite circulaire de rayon rr autour de l’astre, v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{G M}{r}} et T=T ={}2πr3GM 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}} ; • durée d’un jour : 1 jour=86 400 s\pu{1 jour} = \pu{86}\,\pu{400 s}. Calculer le rayon rr de l’orbite, en km. Donner le résultat avec trois chiffres significatifs.
km

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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bac

Question 3. (0–1)

Un satellite décrit une orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude h=1 570 kmh = \pu{1}\,\pu{570 km}. On étudie son mouvement dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. Données : • constante de gravitation universelle : G=6,67×10−11 N ⋅ m2 ⋅ kg−2G = \pu{6,67 \times 10^{-11} N.m2.kg-2} ; • masse de la Terre : M=5,97×1024 kgM = \pu{5,97 \times 10^{24} kg} ; • rayon de la Terre : R=6 370 kmR = \pu{6}\,\pu{370 km} ; • pour un satellite en orbite circulaire de rayon rr autour de l’astre, v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{G M}{r}} et T=T ={}2πr3GM 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}. Calculer la valeur vv de la vitesse du satellite, en km·s⁻¹. Donner le résultat avec trois chiffres significatifs.
km·s⁻¹

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points
  • Prendre l’altitude hh pour le rayon de l’orbite. Dans v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{GM}{r}} et dans la troisième loi, rr est la distance au centre de l’astre : r=R+hr = R + h.
  • Croire que la vitesse dépend de la masse du satellite. Elle se simplifie dans la deuxième loi de Newton : deux satellites sur la même orbite ont la même vitesse.
  • Placer le Soleil au centre de l’ellipse. Il est en l’un des foyers, et la force gravitationnelle est toujours dirigée vers lui.
  • Oublier de convertir. Dans T2r3=\dfrac{T^2}{r^3} ={}4π2GM \dfrac{4\pi^2}{GM}, TT est en secondes et rr en mètres ; une période en heures ou un rayon en kilomètres donne un résultat faux.
  • Écrire que l’accélération est nulle parce que la vitesse est constante. Sur un cercle, la direction de v⃗\vec{v} change : l’accélération vaut v2r\dfrac{v^2}{r} et est dirigée vers le centre.

À retenir

  • Orbite circulaire autour d’un astre : mouvement uniforme, a⃗=\vec{a} ={}GMr2 u⃗n \dfrac{GM}{r^2}\,\vec{u}_n.
  • Vitesse : v=v ={}GMr \sqrt{\dfrac{GM}{r}}, avec r=R+hr = R + h.
  • Période : T=T ={}2πrv= \dfrac{2\pi r}{v} ={}2πr3GM 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}.
  • Troisième loi de Kepler : T2r3=\dfrac{T^2}{r^3} ={}4π2GM \dfrac{4\pi^2}{GM}, identique pour chaque satellite d’un même astre.
  • Satellite géostationnaire : orbite équatoriale, T=23 h 56 min 4 sT = \pu{23 h 56 min 4 s}, altitude d’environ 35800 km\pu{35800 km}.

Questions fréquentes

  1. 1.Les lois de Kepler s’appliquent-elles aux satellites de la Terre ?+
    Réponse :Oui. Kepler les a établies pour les planètes du Soleil, mais elles valent pour tout corps en orbite autour d’un astre beaucoup plus massif, s’il n’est soumis qu’à l’attraction de cet astre. Pour les satellites de la Terre, la constante de la troisième loi est 4π2GMT\dfrac{4\pi^2}{GM_{\text{T}}}.
  2. 2.Pourquoi le mouvement circulaire d’un satellite est-il uniforme ?+
    Réponse :La seule force est dirigée vers le centre de l’orbite. Son accélération n’a donc pas de composante selon u⃗t\vec{u}_t dans le repère de Frenet, et dvdt=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} ={}0 0 : la vitesse garde sa valeur.
  3. 3.La masse du satellite change-t-elle sa période ?+
    Réponse :Non. La masse mm apparaît des deux côtés de la deuxième loi de Newton et se simplifie. Seuls comptent pour la période la masse MM de l’astre et le rayon rr de l’orbite.
  4. 4.Comment trouver l’altitude d’un satellite à partir de sa période ?+
    Réponse :Exprime le rayon avec la troisième loi, r=r ={}GMT24π23 \sqrt[3]{\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}}, la période en secondes, puis retranche le rayon de l’astre : h=r−Rh = r - R.
  5. 5.Quelle est la différence entre une orbite elliptique et une orbite circulaire ?+
    Réponse :Sur une ellipse, la distance au foyer varie et la vitesse aussi : la planète est plus rapide au périhélie qu’à l’aphélie. Sur un cercle, la distance est constante et le mouvement est uniforme. Le programme demande les calculs pour le cas circulaire.

Voir aussi

Toutes les notions de physique-chimie du bac

Notion suivante du programme : Poussée d’Archimède

Sources

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