Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?

Si le nombre est un carré parfait, cherche l’entier dont il est le carré : $\sqrt{81} = 9$. Sinon, encadre-le entre deux carrés parfaits consécutifs : $49 < 50 < 64$, donc $\sqrt{50}$ est entre $7$ et $8$. Au brevet, la partie 1 ne demande pas plus.

Quelle est la racine carrée de 2 ?

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ au millième, et plus précisément $1{,}414\,213\,562$… Ce n’est ni un nombre décimal ni une fraction : sa valeur exacte s’écrit seulement $\sqrt{2}$. C’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté $1$.

Quels sont les carrés parfaits ?

Ce sont les carrés des nombres entiers : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$, $121$, $144$, puis $169$, $196$, $225$… Le programme demande de connaître ceux de $1$ à $144$, c’est-à-dire les carrés des entiers de $1$ à $12$.

Une racine carrée peut-elle être négative ?

Non : $\sqrt{a}$ est toujours positive ou nulle. Mais l’équation $x^2 = 25$ a deux solutions, $5$ et $-5$, car $(-5)^2 = 25$ aussi : la solution négative s’écrit $-\sqrt{25}$.

Peut-on prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?

Non. Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc aucun nombre n’a pour carré $-4$, et $\sqrt{-4}$ n’existe pas. La calculatrice affiche d’ailleurs une erreur.

Faut-il savoir simplifier √72 en 6√2 ?

Non, pas au brevet 2027 : les repères du programme précisent qu’aucune connaissance n’est attendue sur les propriétés algébriques des racines carrées. Écris $\sqrt{72}$, ou sa valeur approchée $8{,}49$. L’égalité $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ est vraie, mais tu n’as pas à la produire.

La racine carrée, c’est en 4e ou en 3e ?

Elle est introduite en 4e, avec le théorème de Pythagore et les carrés parfaits de $1$ à $144$. En 3e, on l’utilise pour résoudre des problèmes et des équations du type $x^2 = a$. Au brevet, les deux sont au programme.

Brevet de maths 2027 · Nombres et calculs

Racine carrée : définition, carrés parfaits et exercices (4e, 3e, brevet)

Q: Quelle est la racine carrée de 2 ?

$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ au millième, et plus précisément $1{,}414\,213\,562$… Ce n’est ni un nombre décimal ni une fraction : sa valeur exacte s’écrit seulement $\sqrt{2}$. C’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté $1$.

Q: Quels sont les carrés parfaits ?

Ce sont les carrés des nombres entiers : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$, $100$, $121$, $144$, puis $169$, $196$, $225$… Le programme demande de connaître ceux de $1$ à $144$, c’est-à-dire les carrés des entiers de $1$ à $12$.

Q: Une racine carrée peut-elle être négative ?

Non : $\sqrt{a}$ est toujours positive ou nulle. Mais l’équation $x^2 = 25$ a deux solutions, $5$ et $-5$, car $(-5)^2 = 25$ aussi : la solution négative s’écrit $-\sqrt{25}$.

Q: Peut-on prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?

Non. Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc aucun nombre n’a pour carré $-4$, et $\sqrt{-4}$ n’existe pas. La calculatrice affiche d’ailleurs une erreur.

Q: Faut-il savoir simplifier √72 en 6√2 ?

Non, pas au brevet 2027 : les repères du programme précisent qu’aucune connaissance n’est attendue sur les propriétés algébriques des racines carrées. Écris $\sqrt{72}$, ou sa valeur approchée $8{,}49$. L’égalité $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ est vraie, mais tu n’as pas à la produire.

Q: La racine carrée, c’est en 4e ou en 3e ?

Elle est introduite en 4e, avec le théorème de Pythagore et les carrés parfaits de $1$ à $144$. En 3e, on l’utilise pour résoudre des problèmes et des équations du type $x^2 = a$. Au brevet, les deux sont au programme.

La racine carrée d’un nombre positif $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ : $\sqrt{49} = 7$ , car $7^2 = 49$ . Tu trouveras ici les carrés parfaits jusqu’à $15^2$ , les valeurs approchées des racines les plus demandées, la façon d’encadrer une racine carrée sans calculatrice et son usage au brevet, surtout avec le théorème de Pythagore.

4e
3e
brevet

L’essentiel

à connaître par cœur

La racine carrée d’un nombre positif

a

est le nombre positif dont le carré est égal à

a

. On la note

\sqrt{a}

. Pour tout nombre

a

positif :

\left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \text{et} \qquad \sqrt{a} \geqslant 0

Ainsi

\sqrt{0} = 0

\sqrt{1} = 1

\sqrt{0{,}25} = 0{,}5

\sqrt{1{,}44} = 1{,}2

. Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : aucun nombre n’a un carré négatif.

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Sa racine carrée est un nombre entier, que tu lis dans le tableau des carrés :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$n^2$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$

$n$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$n^2$	$81$	$100$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$

Pour les autres nombres entiers, comme

2

3

50

, la racine carrée n’est ni un nombre décimal ni une fraction : la calculatrice en donne une valeur approchée. Voici celles qu’on cherche le plus, arrondies au millième :

Racine carrée	Valeur approchée	Racine carrée	Valeur approchée
$\sqrt{2}$	$1{,}414$	$\sqrt{18}$	$4{,}243$
$\sqrt{3}$	$1{,}732$	$\sqrt{20}$	$4{,}472$
$\sqrt{5}$	$2{,}236$	$\sqrt{27}$	$5{,}196$
$\sqrt{6}$	$2{,}449$	$\sqrt{32}$	$5{,}657$
$\sqrt{7}$	$2{,}646$	$\sqrt{45}$	$6{,}708$
$\sqrt{8}$	$2{,}828$	$\sqrt{48}$	$6{,}928$
$\sqrt{10}$	$3{,}162$	$\sqrt{50}$	$7{,}071$
$\sqrt{12}$	$3{,}464$	$\sqrt{72}$	$8{,}485$

Pour encadrer une racine carrée entre deux entiers consécutifs, cherche les deux carrés parfaits qui entourent le nombre :

49 < 50 < 64

, donc

7 < \sqrt{50} < 8

La racine carrée sert surtout en géométrie : le côté d’un carré d’aire

A

mesure

\sqrt{A}

, et le théorème de Pythagore donne souvent une longueur égale à une racine carrée. Elle sert aussi à résoudre l’équation

x^2 = a

: si

a > 0

, elle a deux solutions,

\sqrt{a}

-\sqrt{a}

 ; si

a = 0

, une seule,

0

 ; si

a < 0

, aucune.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Un carré parfait
Cherche le nombre entier dont le carré est le nombre donné : $\sqrt{144} = 12$ , car $12^2 = 144$ . C’est pour cela qu’il faut connaître les carrés de $1$ à $12$ par cœur.
2.Encadrer sans calculatrice
Pour un nombre qui n’est pas un carré parfait, encadre-le entre deux carrés parfaits consécutifs, puis prends leurs racines : $64 < 70 < 81$ , donc $8 < \sqrt{70} < 9$ . C’est ce que tu peux faire en partie 1, sans calculatrice.
3.Donner une valeur approchée
En partie 2, avec la calculatrice, écris d’abord la valeur exacte $\sqrt{70}$ , puis la valeur approchée à la précision demandée : $\sqrt{70} \approx 8{,}4$ au dixième près. Vérifie qu’elle tombe bien dans ton encadrement.
4.Choisir la bonne solution
Pour une longueur, seule la racine carrée positive convient : si $c^2 = 169$ et $c > 0$ , alors $c = 13$ . Pour l’équation $x^2 = a$ sans contexte, n’oublie pas la solution négative $-\sqrt{a}$ .

La rédaction attendue

Avec le théorème de Pythagore, termine ainsi : «

BC^2 = 74

. Comme

BC

est une longueur,

BC = \sqrt{74}

, soit

BC \approx 8{,}6

cm au millimètre près. »

Écris le signe

\approx

dès que tu arrondis :

\sqrt{74} = 8{,}6

serait faux. Une phrase de conclusion avec l’unité fait partie de ce que regardent les deux points de rédaction de la partie 2.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Encadrer une racine carrée
Partie 1, sans calculatrice. Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\sqrt{70}$  ?
2.Le côté d’un carré
Partie 1, sans calculatrice. Un jardin carré a une aire de $169$ m². Quelle est la longueur de son côté ? Quel est son périmètre ?
3.Une longueur après Pythagore
Partie 2. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm. Calcule la longueur $BC$ , arrondie au millimètre.

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Connaitre les carrés des nombres entiers compris entre 1 et 12. »

En partie 1, sans calculatrice, on peut te demander la racine carrée d’un carré parfait, le côté d’un carré d’aire donnée ou un calcul où une racine carrée disparaît. Il faut connaître les carrés des entiers de

1

12

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, la racine carrée arrive surtout au bout d’un théorème de Pythagore : tu écris la valeur exacte, puis une valeur approchée à la calculatrice, à la précision demandée. Une question la nomme rarement, mais la plupart des sujets la font utiliser : le décompte ci-dessous est celui des sujets où l’on calcule une longueur avec le théorème de Pythagore.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 24 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 3Calculer $\left(5 + 2\sqrt{3}\right)\left(5 - 2\sqrt{3}\right)$ : on utilise $\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4 \times 3 = 12$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 3Donner le côté d’un carré d’aire $49$ cm².

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2022, Amérique du Sud, exercice 1 · affirmation 6

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Voici six affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
[…]
6) On considère un carré de longueur de côté 6 mètres.
Affirmation 6 : les diagonales de ce carré mesurent $\sqrt{72}$ mètres.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2022, Amérique du Sud, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite

Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Calcule

D ={}

\sqrt{121} - \sqrt{16}

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–0,5)

Calcule

D ={}

\sqrt{4} - \sqrt{49}

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–0,5)

Calculer

(5 + 2\sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3})

Question 3 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Distribuer une racine carrée sur une somme : $\sqrt{36 + 64} ={}$ $\sqrt{100} ={}$ $10$ , alors que $\sqrt{36} + \sqrt{64} ={}$ $6 + 8 ={}$ $14$ .
Diviser par $2$ au lieu de prendre la racine : $\sqrt{16} = 4$ , pas $8$ , et $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ , pas $25$ .
Se tromper de virgule avec les décimaux : $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ , et non $0{,}03$ , car $0{,}3^2 = 0{,}09$ .
Écrire $=$ pour une valeur arrondie : on écrit $\sqrt{74} \approx 8{,}6$ , et non $\sqrt{74} = 8{,}6$ .
Oublier une solution de $x^2 = 45$ : il y en a deux, $\sqrt{45} \approx 6{,}71$ et $-\sqrt{45} \approx -6{,}71$ . Pour une longueur, en revanche, seule la positive convient.

À savoir par cœur

Les carrés parfaits de $1^2 = 1$ à $12^2 = 144$ (et, en bonus, $13^2 = 169$ , $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ ).
La définition : pour $a$ positif, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$ .
$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$  ; si $a > 0$ , l’équation $x^2 = a$ a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ et $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ , utiles pour vérifier un ordre de grandeur.

Questions fréquentes

1.Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?+
Rép. :Si le nombre est un carré parfait, cherche l’entier dont il est le carré : $\sqrt{81} = 9$ . Sinon, encadre-le entre deux carrés parfaits consécutifs : $49 < 50 < 64$ , donc $\sqrt{50}$ est entre $7$ et $8$ . Au brevet, la partie 1 ne demande pas plus.
2.Quelle est la racine carrée de 2 ?+
Rép. : $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ au millième, et plus précisément $1{,}414\,213\,562$ … Ce n’est ni un nombre décimal ni une fraction : sa valeur exacte s’écrit seulement $\sqrt{2}$ . C’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté $1$ .
3.Quels sont les carrés parfaits ?+
Rép. :Ce sont les carrés des nombres entiers : $1$ , $4$ , $9$ , $16$ , $25$ , $36$ , $49$ , $64$ , $81$ , $100$ , $121$ , $144$ , puis $169$ , $196$ , $225$ … Le programme demande de connaître ceux de $1$ à $144$ , c’est-à-dire les carrés des entiers de $1$ à $12$ .
4.Une racine carrée peut-elle être négative ?+
Rép. :Non : $\sqrt{a}$ est toujours positive ou nulle. Mais l’équation $x^2 = 25$ a deux solutions, $5$ et $-5$ , car $(-5)^2 = 25$ aussi : la solution négative s’écrit $-\sqrt{25}$ .
5.Peut-on prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?+
Rép. :Non. Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc aucun nombre n’a pour carré $-4$ , et $\sqrt{-4}$ n’existe pas. La calculatrice affiche d’ailleurs une erreur.
6.Faut-il savoir simplifier √72 en 6√2 ?+
Rép. :Non, pas au brevet 2027 : les repères du programme précisent qu’aucune connaissance n’est attendue sur les propriétés algébriques des racines carrées. Écris $\sqrt{72}$ , ou sa valeur approchée $8{,}49$ . L’égalité $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ est vraie, mais tu n’as pas à la produire.
7.La racine carrée, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :Elle est introduite en 4e, avec le théorème de Pythagore et les carrés parfaits de $1$ à $144$ . En 3e, on l’utilise pour résoudre des problèmes et des équations du type $x^2 = a$ . Au brevet, les deux sont au programme.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

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L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Un carré parfait

2.Encadrer sans calculatrice

3.Donner une valeur approchée

4.Choisir la bonne solution