Comment résoudre une équation du premier degré ?

Regroupe les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, en faisant la même opération des deux côtés, puis divise par le nombre qui multiplie $x$. Pour $6x + 5 = 23$ : $6x = 18$, donc $x = 3$. Termine en vérifiant : $6 \times 3 + 5 = 23$.

Comment résoudre une équation avec x au carré ?

Au brevet, c’est l’équation $x^2 = a$. Si $a > 0$, elle a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ : $x^2 = 81$ donne $9$ et $-9$. Si $a = 0$, la seule solution est $0$, et si $a < 0$, il n’y en a aucune, car un carré n’est jamais négatif.

Comment vérifier la solution d’une équation ?

Remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans chacun des deux membres, séparément, et calcule. Si tu obtiens le même nombre des deux côtés, la solution est juste. Pour $3(x - 2) = 5x + 4$ et $x = -5$ : $3 \times (-7) = -21$ et $-25 + 4 = -21$.

Comment mettre un problème en équation ?

Choisis l’inconnue et écris ce qu’elle représente : « Soit $x$ le nombre de séances ». Exprime les quantités de l’énoncé en fonction de $x$, écris l’égalité que l’énoncé décrit, résous-la, vérifie que la solution a du sens, puis réponds par une phrase.

Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?

Oui. L’équation $2x + 1 = 2x + 4$ n’en a aucune : en soustrayant $2x$, il resterait $1 = 4$, qui est faux. À l’inverse, $2(x + 3) = 2x + 6$ est vraie pour tout nombre $x$ : c’est une identité. L’équation $x^2 = -9$ n’a pas non plus de solution.

Faut-il connaître les inéquations avant le brevet 2029 ?

Non. Les inéquations du type $ax \geqslant b$ entrent au programme de 3e à la rentrée 2028 et ne seront demandées qu’à partir du brevet 2029. Aux brevets 2027 et 2028, une question comme « à partir de combien de séances » se traite en résolvant l’équation du prix égal, puis en testant une valeur de chaque côté.

Les équations, c’est en 4e ou en 3e ?

En 5e, on teste seulement si une égalité est vraie pour une valeur. En 4e, on résout les équations du premier degré et on met des problèmes en équation. En 3e viennent les équations produits et les équations $x^2 = a$. Au brevet, tout cela est au programme.

Résoudre une équation : premier degré, produit nul (4e, 3e)

Q: Comment vérifier la solution d’une équation ?

Remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans chacun des deux membres, séparément, et calcule. Si tu obtiens le même nombre des deux côtés, la solution est juste. Pour $3(x - 2) = 5x + 4$ et $x = -5$ : $3 \times (-7) = -21$ et $-25 + 4 = -21$.

Q: Comment mettre un problème en équation ?

Choisis l’inconnue et écris ce qu’elle représente : « Soit $x$ le nombre de séances ». Exprime les quantités de l’énoncé en fonction de $x$, écris l’égalité que l’énoncé décrit, résous-la, vérifie que la solution a du sens, puis réponds par une phrase.

Q: Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?

Oui. L’équation $2x + 1 = 2x + 4$ n’en a aucune : en soustrayant $2x$, il resterait $1 = 4$, qui est faux. À l’inverse, $2(x + 3) = 2x + 6$ est vraie pour tout nombre $x$ : c’est une identité. L’équation $x^2 = -9$ n’a pas non plus de solution.

Q: Faut-il connaître les inéquations avant le brevet 2029 ?

Non. Les inéquations du type $ax \geqslant b$ entrent au programme de 3e à la rentrée 2028 et ne seront demandées qu’à partir du brevet 2029. Aux brevets 2027 et 2028, une question comme « à partir de combien de séances » se traite en résolvant l’équation du prix égal, puis en testant une valeur de chaque côté.

Q: Les équations, c’est en 4e ou en 3e ?

En 5e, on teste seulement si une égalité est vraie pour une valeur. En 4e, on résout les équations du premier degré et on met des problèmes en équation. En 3e viennent les équations produits et les équations $x^2 = a$. Au brevet, tout cela est au programme.

L’essentiel

à connaître par cœur

Une équation est une égalité qui contient une lettre, l’inconnue, dont on cherche la valeur. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie :

4

est solution de

3x - 5 = 7

, car

3 \times 4 - 5 = 7

 ;

2

ne l’est pas, car

3 \times 2 - 5 = 1

. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

On ne change pas les solutions d’une équation quand on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres, ni quand on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul. Les équations à résoudre sans calculatrice :

Type	Exemple	On fait	Solution
$x + b = c$	$x + 8 = 3$	on soustrait $8$ aux deux membres	$x = -5$
$ax = c$	$4x = 18$	on divise les deux membres par $4$	$x = 4{,}5$
$ax + b = c$	$2x + 7 = 1$	on soustrait $7$ , puis on divise par $2$	$x = -3$
$ax + b = cx + d$	$5x - 4 = 2x + 11$	on regroupe les termes en $x$ : $3x = 15$	$x = 5$

Une équation produit se résout avec la propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Ainsi

(x - 3)(x + 8) = 0

équivaut à

x - 3 = 0

ou

x + 8 = 0

: ses solutions sont

3

et

-8

.

L’équation

x^2 = a

a deux solutions,

\sqrt{a}

et

-\sqrt{a}

, si

a > 0

 ; une seule,

0

, si

a = 0

 ; aucune si

a < 0

. Par exemple

x^2 = 25

a pour solutions

5

et

-5

, et

x^2 = 50

a pour solutions

\sqrt{50} \approx 7{,}07

et

-\sqrt{50} \approx -7{,}07

.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Regrouper
Rassemble les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, en faisant chaque fois la même opération des deux côtés : $5x - 4 = 2x + 11$ devient $5x - 2x = 11 + 4$ , soit $3x = 15$ .
2.Isoler l’inconnue
Divise les deux membres par le nombre qui multiplie $x$ : $3x = 15$ donne $x = 5$ . Si la division ne tombe pas juste, garde la valeur exacte en fraction : $7x = 3$ donne $x = \frac{3}{7}$ .
3.Vérifier
Remplace $x$ par ta solution dans chacun des deux membres : $5 \times 5 - 4 = 21$ et $2 \times 5 + 11 = 21$ . Les deux membres sont égaux, la solution est juste.
4.Résoudre une équation produit
Écris que chaque facteur peut être nul et résous les deux petites équations : $(4x + 2)(x - 6) = 0$ donne $4x + 2 = 0$ ou $x - 6 = 0$ , soit $x = -0{,}5$ ou $x = 6$ . Ne divise jamais par une expression qui contient $x$ : tu risquerais de perdre une solution.
5.Mettre un problème en équation
Choisis l’inconnue et dis ce qu’elle représente, traduis l’énoncé par une égalité, résous-la, vérifie que la solution a du sens dans le contexte (un nombre de séances est un entier positif), puis conclus par une phrase.

La rédaction attendue

Pour une équation produit, écris la propriété en entier, puis les deux petites équations, puis une phrase qui donne les solutions :

« Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc

x - 2 = 0

ou

x + 1 = 0

, soit

x = 2

ou

x = -1

. L’équation a deux solutions :

-1

et

2

. »

En partie 2, commence par « Soit

x

le nombre de… », et termine par une phrase qui répond à la question posée : ces phrases comptent dans les deux points de rédaction.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Résoudre une équation du premier degré
Partie 1, sans calculatrice. Résous $6x + 5 = 23$ , puis $3(x - 2) = 5x + 4$ .
2.Une équation produit
Partie 1, sans calculatrice. Résous l’équation $(2x - 5)(x + 3) = 0$ .
3.Mettre un problème en équation
Partie 2. Au cinéma, une séance coûte $9{,}50$ € sans abonnement. Avec une carte d’abonnement de $24$ € pour l’année, chaque séance coûte $6{,}50$ €. Pour combien de séances les deux formules coûtent-elles le même prix ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Résoudre des équations du type ax = c, x + b = c, ax + b = c. »

En partie 1, sans calculatrice, on peut te demander de résoudre une équation du type

ax = c

,

x + b = c

ou

ax + b = c

, parfois avec

x

dans les deux membres, ou de choisir le bon calcul pour la résoudre. Tu écris seulement la solution.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, l’équation arrive au bout d’un problème : un programme de calcul, deux tarifs à comparer, une aire ou un périmètre. Tu la poses, tu la résous, tu vérifies, puis tu conclus par une phrase dans le contexte. L’équation produit nul apparaît après une factorisation.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 11 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 5Résoudre $3x - 2 = 25$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 6Résoudre $3x - 2 = 2x + 5$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3, question 3.bTrouver les nombres de départ d’un programme de calcul qui donnent $0$ , avec l’équation produit $(x + 5)(x - 1) = 0$ .
Sujet zéro B (ministère, décembre 2025) · Partie 1, question 7Choisir le calcul qui donne la solution de $4x - 3 = 20$ .

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2024, Centres étrangers, exercice 3 · partie B, questions 1 et 2

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Partie B
Soit la fonction $g$ définie, pour un nombre $x$ donné, par $g(x) = x^2 - x - 2$ .
1. Prouver que $(x - 2)(x + 1) ={}$ $x^2 - x - 2$ .
2. a. Résoudre l’équation $(x - 2)(x + 1) = 0$ .
b. En déduire les antécédents de 0 par la fonction $g$ . Aucune justification n’est attendue.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2024, Centres étrangers, exercice 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite

Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Déterminer la solution de l’équation :

3x - 2 = 25

x =

Question 5 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Question 2. (0–1)

Résous l’équation

3x - 6 = x + 2

.

x =

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–1)

Résous l’équation

4x + 5 = -13

.

x =

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Multiplier ce nombre par 6.

Ajouter 5 au résultat.

Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir

29

?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

Le spectacle du club théâtre (4,5 pts)

Le club théâtre du collège présente son spectacle de fin d’année. Une place coûte 12 € pour un adulte et 4 € pour un enfant. Le soir de la représentation, 240 places ont été vendues.

Question 1(0,5 pt)
Si 50 places adultes avaient été vendues, quelle aurait été la recette de la soirée ?
Réponse rédigée
Il y aurait eu $240 - 50 = 190$ places enfants. La recette aurait été : $50 \times 12 +{}$ $190 \times 4 ={}$ $600 + 760 ={}$ $1360$ . Résultat : la recette aurait été de 1360 €.
Barème (Kleksa)
- Recette juste, places adultes et places enfants comprises0,5 pt
Question 2(1 pt)
On note $x$ le nombre de places adultes vendues. Exprime en fonction de $x$ le nombre de places enfants vendues, puis la recette $R(x)$ , en euros.
Réponse rédigée
Il y a 240 places en tout, donc le nombre de places enfants est $240 - x$ . Les places adultes rapportent $12x$ euros et les places enfants $4(240 - x)$ euros. Conclusion : $R(x) ={}$ $12x + 4(240 - x)$ .
Barème (Kleksa)
- Nombre de places enfants exprimé en fonction de x0,5 pt
- Expression de la recette en fonction de x0,5 pt
Question 3(1,5 pts)
Montre que $R(x) = 8x + 960$ . Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
On développe, puis on réduit l’expression de la recette : $R(x) ={}$ $12x + 4(240 - x) ={}$ $12x +{}$ $4 \times 240 -{}$ $4 \times x ={}$ $12x + 960 - 4x ={}$ $8x + 960$ . Conclusion : on a bien $R(x) = 8x + 960$ .
Barème (Kleksa)
- Développement juste (distributivité)0,5 pt
- Réduction juste et conclusion0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 4(1,5 pts)
Ce soir-là, la recette a été de 1552 €. Combien de places adultes ont été vendues ?
Réponse rédigée
On sait que $R(x) = 8x + 960$ . On résout l’équation $8x + 960 = 1552$ : $8x = 1552 - 960 = 592$ , donc $x = \frac{592}{8} = 74$ . Vérification : $74 \times 12 +{}$ $166 \times 4 ={}$ $1552$ . Résultat : 74 places adultes ont été vendues.
Barème (Kleksa)
- Mise en équation0,5 pt
- Résolution juste de l’équation0,5 pt
- Nombre de places adultes juste0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Se tromper d’opération pour isoler $x$ : de $4x = 20$ , on tire $x = \frac{20}{4} = 5$ , et non $x = 20 - 4 = 16$ .
Perdre le signe en divisant : $-3x = 12$ donne $x = \frac{12}{-3} = -4$ , et non $4$ .
Ne donner qu’une solution d’une équation produit : $(x + 6)(x - 2) = 0$ en a deux, $-6$ et $2$ .
Diviser par $x$ : dans $x(x - 5) = 0$ , on perdrait la solution $0$ . Les solutions sont $0$ et $5$ .
Oublier la solution négative de $x^2 = 16$ : il y en a deux, $4$ et $-4$ , car $(-4)^2 = 16$ aussi.

À savoir par cœur

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Si $a > 0$ , l’équation $x^2 = a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .
Vérifier une solution : la remplacer dans chacun des deux membres.

Questions fréquentes

1.Comment résoudre une équation du premier degré ?+
Rép. :Regroupe les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, en faisant la même opération des deux côtés, puis divise par le nombre qui multiplie $x$ . Pour $6x + 5 = 23$ : $6x = 18$ , donc $x = 3$ . Termine en vérifiant : $6 \times 3 + 5 = 23$ .
2.Qu’est-ce qu’une équation produit nul ?+
Rép. :C’est une équation de la forme « produit $= 0$ », comme $(2x - 5)(x + 3) = 0$ . On la résout avec la propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc $2x - 5 = 0$ et $x + 3 = 0$ : les solutions sont $2{,}5$ et $-3$ .
3.Comment résoudre une équation avec x au carré ?+
Rép. :Au brevet, c’est l’équation $x^2 = a$ . Si $a > 0$ , elle a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ : $x^2 = 81$ donne $9$ et $-9$ . Si $a = 0$ , la seule solution est $0$ , et si $a < 0$ , il n’y en a aucune, car un carré n’est jamais négatif.
4.Comment vérifier la solution d’une équation ?+
Rép. :Remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans chacun des deux membres, séparément, et calcule. Si tu obtiens le même nombre des deux côtés, la solution est juste. Pour $3(x - 2) = 5x + 4$ et $x = -5$ : $3 \times (-7) = -21$ et $-25 + 4 = -21$ .
5.Comment mettre un problème en équation ?+
Rép. :Choisis l’inconnue et écris ce qu’elle représente : « Soit $x$ le nombre de séances ». Exprime les quantités de l’énoncé en fonction de $x$ , écris l’égalité que l’énoncé décrit, résous-la, vérifie que la solution a du sens, puis réponds par une phrase.
6.Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?+
Rép. :Oui. L’équation $2x + 1 = 2x + 4$ n’en a aucune : en soustrayant $2x$ , il resterait $1 = 4$ , qui est faux. À l’inverse, $2(x + 3) = 2x + 6$ est vraie pour tout nombre $x$ : c’est une identité. L’équation $x^2 = -9$ n’a pas non plus de solution.
7.Faut-il connaître les inéquations avant le brevet 2029 ?+
Rép. :Non. Les inéquations du type $ax \geqslant b$ entrent au programme de 3e à la rentrée 2028 et ne seront demandées qu’à partir du brevet 2029. Aux brevets 2027 et 2028, une question comme « à partir de combien de séances » se traite en résolvant l’équation du prix égal, puis en testant une valeur de chaque côté.
8.Les équations, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :En 5e, on teste seulement si une égalité est vraie pour une valeur. En 4e, on résout les équations du premier degré et on met des problèmes en équation. En 3e viennent les équations produits et les équations $x^2 = a$ . Au brevet, tout cela est au programme.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Équations : résoudre une équation et équation produit nul (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Regrouper

2.Isoler l’inconnue

3.Vérifier

4.Résoudre une équation produit

5.Mettre un problème en équation

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Résoudre une équation du premier degré

2.Une équation produit

3.Mettre un problème en équation

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2024, Centres étrangers, exercice 3 · partie B, questions 1 et 2

Teste-toi

Exercice type brevet

Le spectacle du club théâtre (4,5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.