Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Арифметическая прогрессия: формула n-го члена и сумма первых n членов

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Для подготовки к ЕНТ нужны две формулы, n-го члена и суммы, и умение увидеть прогрессию в условии. Спецификация профильной математики называет прогрессии прямо, а спецификация математической грамотности — «логические задания на применение последовательности»; здесь собраны формулы, порядок решения, примеры и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 06 «Последовательности», тема 12. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 13, 14 и 31–40. Спецификация ЕНТ, математическая грамотность: раздел 03 «Изменение и зависимости», тема 07. В наших пробных вариантах по математической грамотности — по жребию задания 6 и 7.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 06. Последовательности

    • Тема 12. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, установление соответствия, один или несколько правильных ответов

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 13, 14 и 31–40.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

  • Математическая грамотность

    Раздел 03. Изменение и зависимости

    • Тема 07. Логические задания на применение последовательности. Логические задания на умение анализировать данные в таблице

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из пяти

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 6 и 7.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число dd, разность прогрессии: an+1=an+da_{n+1} = a_n + d. При d>0d > 0 прогрессия растёт, при d<0d < 0 убывает, при d=0d = 0 все члены равны.
  • Формула nn-го члена: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d. Если известны два члена, разность находят по расстоянию между номерами: am−ak=(m−k)da_m - a_k = (m - k)d.
  • Сумма первых nn членов: Sn=S_n ={}a1+an2⋅n \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n, если известен последний член, и Sn=S_n ={}2a1+(n−1)d2⋅n \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n, если известна разность.
  • Характеристическое свойство: каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних, an=a_n ={}an−1+an+12 \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}. Члены, равноудалённые от концов, дают одну и ту же сумму: a1+a10=a_1 + a_{10} ={}a4+a7 a_4 + a_7.
  • Последовательность an=pn+qa_n = pn + q — арифметическая прогрессия с разностью d=pd = p и первым членом a1=p+qa_1 = p + q.
  • Число cc является членом прогрессии, если уравнение a1+(n−1)d=ca_1 + (n - 1)d = c имеет натуральный корень nn.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Определите, что дано и что спрашивают

    Выпишите известные числа: первый член, разность, номера и значения членов. Затем решите, что нужно найти: один член, разность, номер или сумму.

  2. 2.Найдите разность

    Если даны два члена, разделите разность их значений на разность номеров: d=d ={}am−akm−k \frac{a_m - a_k}{m - k}. Если задана формула an=pn+qa_n = pn + q, разность равна числу pp.

  3. 3.Найдите первый член, если он не дан

    Подставьте известный член в формулу nn-го члена: a1=ak−(k−1)da_1 = a_k - (k - 1)d.

  4. 4.Запишите формулу и подставьте

    Для члена возьмите an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d, для суммы — ту из двух форм, где все величины уже известны.

  5. 5.Проверьте номер и знак

    Номер члена всегда натуральное число. У убывающей прогрессии разность отрицательна, и это легко потерять при подстановке.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Член и сумма по двум членам

    В арифметической прогрессии a4=11a_4 = 11, a9=−4a_9 = -4. Найдите a20a_{20} и сумму первых двадцати членов.

  2. 2.Сумма чисел, кратных семи

    Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 77.

  3. 3.Является ли число членом прогрессии

    Последовательность задана формулой an=7n−12a_n = 7n - 12. Является ли её членом число 100100? А число 5050?

  4. 4.Сколько членов нужно сложить

    Сколько первых членов прогрессии 18;15;12;…18; 15; 12; \dots нужно сложить, чтобы в сумме получить 4545?

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Арифметическая прогрессия задана первым членом a1=−3a_1 = -3 и разностью d=4d = 4. Установите соответствие между величинами и их значениями.
1. Член прогрессии a12a_{12}
2. Сумма первых 9 членов прогрессии

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Эта тема на математической грамотности

что меняется
В спецификации математической грамотности последовательности названы в разделе 03 «Изменение и зависимости», тема 07: «Логические задания на применение последовательности», рядом с ними стоит умение анализировать данные в таблице. Арифметическая прогрессия там по имени не названа, но в наших пробных вариантах для математической грамотности есть задача, где величина каждый день растёт на одно и то же число.
Это история о тренировках: каждый день дистанция длиннее предыдущей на одно и то же число километров. Спрашивают дистанцию в определённый день или общую дистанцию за несколько дней. Формулы остаются прежними, а главная работа — понять условие: «в десятый день» означает член a10a_{10}, «за первые десять дней» — сумму S10S_{10}. В каждом таком задании один верный ответ из пяти.
Задание в формате ЕНТМатематическая грамотность

Один ответ из пяти

Задание 2.

Алия готовится к забегу. В первый день тренировок она пробежала 1 км, а в каждый следующий день пробегала на 0,5 км больше, чем в предыдущий. Сколько километров она пробежит за первые 10 дней тренировок?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

В арифметической прогрессии a3=17a_{3} = 17 и a7=−3a_{7} = -3. Найдите a22a_{22}.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

В арифметической прогрессии a1=−17a_{1} = -17 и a5=7a_{5} = 7. Найдите a13a_{13}.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Арифметическая прогрессия задана формулой an=−2n+9a_n = -2n + 9. Найдите сумму первых 17 ее членов.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Последовательность задана формулой an=3n+7a_n = 3n + 7. Какие из данных чисел являются ее членами? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Путают номер члена и число шагов: от a3a_3 до a9a_9 шесть шагов, а не семь, поэтому в формуле стоит n−1n - 1, а не nn.
  • Теряют знак разности у убывающей прогрессии: подставляют d=3d = 3 вместо d=−3d = -3 и получают члены с другой стороны от начала.
  • Путают «член с номером nn» и «сумму первых nn членов». Условие «в десятый день» — это a10a_{10}, а «за десять дней» — S10S_{10}.
  • Не проверяют, что найденный номер натуральный: если для числа cc получилось n=3,5n = 3{,}5 или отрицательное nn, оно не член прогрессии.
  • В задаче «сколько членов дают сумму» берут только один корень уравнения. У убывающей прогрессии подходят иногда оба.

Запомните

  • Разность d=an+1−and = a_{n+1} - a_n постоянна.
  • an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d, am−ak=(m−k)da_m - a_k = (m - k)d.
  • Sn=S_n ={}a1+an2⋅n= \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n ={}2a1+(n−1)d2⋅n \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n.
  • Средний член равен среднему арифметическому соседних.
  • Номер члена — натуральное число; проверяйте это, когда ищете номер по значению.

Вопросы и ответы

  1. 1.Как найти разность арифметической прогрессии?+
    Ответ:Вычтите из любого члена предыдущий: d=an+1−and = a_{n+1} - a_n. Если даны два члена с разными номерами, разделите разность значений на разность номеров: d=d ={}am−akm−k \frac{a_m - a_k}{m - k}. Например, a4=11a_4 = 11 и a9=−4a_9 = -4 дают d=−155=−3d = \frac{-15}{5} = -3.
  2. 2.Какую из двух формул суммы выбрать?+
    Ответ:Если известны первый и последний члены, берите Sn=S_n ={}a1+an2⋅n \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n: нужно только сложить два числа и умножить на половину числа членов. Если последний член неизвестен, а известна разность, подставляйте в Sn=S_n ={}2a1+(n−1)d2⋅n \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n. Обе формулы дают один и тот же результат.
  3. 3.Как проверить, что число является членом прогрессии?+
    Ответ:Приравняйте формулу nn-го члена к этому числу и решите уравнение относительно nn. Если nn — натуральное число, то число является членом прогрессии с этим номером. Дробный, нулевой или отрицательный корень означает, что такого члена нет.
  4. 4.Как найти первый член, если даны два других?+
    Ответ:Сначала найдите разность по двум членам, потом вычтите из известного члена нужное число разностей: a1=ak−(k−1)da_1 = a_k - (k - 1)d. Например, при a5=17a_5 = 17 и a8=8a_8 = 8 получаем d=−3d = -3 и a1=a_1 ={}17+4⋅3= 17 + 4 \cdot 3 ={}29 29.
  5. 5.Что такое характеристическое свойство арифметической прогрессии?+
    Ответ:Каждый член, кроме первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних: в прогрессии 4;9;144; 9; 14 число 9=4+1429 = \frac{4 + 14}{2}. Обратное тоже верно: если для каждого члена выполнено такое равенство, последовательность — арифметическая прогрессия. Так удобно находить пропущенный член.
  6. 6.Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?+
    Ответ:В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. У арифметической члены меняются равномерно, на одинаковую величину, а у геометрической — в одинаковое число раз. Для геометрической прогрессии есть отдельная страница.
  7. 7.Входит ли арифметическая прогрессия в математическую грамотность?+
    Ответ:Спецификация математической грамотности называет «логические задания на применение последовательности» в разделе «Изменение и зависимости». Название «арифметическая прогрессия» там не приведено; в наших пробных вариантах для математической грамотности это задача на ту же идею: величина каждый день растёт на одно и то же число. Профильная математика называет прогрессии в разделе 06 прямо.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут