Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Разделите любой член на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Если даны члены с номерами, отличающимися на несколько шагов, разделите член с большим номером на член с меньшим и извлеките корень нужной степени: из $q^3 = -8$ следует $q = -2$. Для чётной степени проверьте, какой знак подходит по условию.

Когда существует сумма бесконечной геометрической прогрессии?

Только когда $|q| < 1$, то есть знаменатель лежит строго между $-1$ и $1$. Тогда члены становятся всё ближе к нулю, а сумма равна $\frac{b_1}{1 - q}$. Для $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \dots$ получаем $\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Какая формула суммы при знаменателе 1?

При $q = 1$ все члены равны первому, поэтому $S_n = n b_1$. Общая формула $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для этого случая не подходит: в знаменателе получился бы нуль. Если в условии не сказано, чему равен знаменатель, этот случай стоит проверить отдельно.

Как связаны геометрическая прогрессия и сложные проценты?

Если банк в конце года начисляет один и тот же процент на всю накопленную сумму, суммы на конец каждого года образуют геометрическую прогрессию. Её знаменатель равен $1 + \frac{p}{100}$, где $p$ — годовой процент. Так, за три года при $10\%$ сумма умножается на $1{,}1^3 = 1{,}331$.

Как найти первый член по двум другим?

Найдите знаменатель по двум известным членам, потом разделите известный член на знаменатель в нужной степени: $b_1 = \frac{b_k}{q^{k-1}}$. Например, при положительных членах $b_3 = 20$ и $b_5 = 80$ получаем $q^2 = 4$, $q = 2$ и $b_1 = \frac{20}{4} = 5$.

Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?

В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. Поэтому у арифметической члены меняются на одну и ту же величину, а у геометрической — в одно и то же число раз: при $|q| > 1$ они по модулю растут всё быстрее, а при $|q| < 1$ приближаются к нулю. Арифметическая прогрессия разобрана на отдельной странице.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Геометрическая прогрессия: знаменатель, сумма первых n членов и бесконечно убывающая прогрессия

Q: Когда существует сумма бесконечной геометрической прогрессии?

Только когда $|q| < 1$, то есть знаменатель лежит строго между $-1$ и $1$. Тогда члены становятся всё ближе к нулю, а сумма равна $\frac{b_1}{1 - q}$. Для $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \dots$ получаем $\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Q: Какая формула суммы при знаменателе 1?

При $q = 1$ все члены равны первому, поэтому $S_n = n b_1$. Общая формула $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для этого случая не подходит: в знаменателе получился бы нуль. Если в условии не сказано, чему равен знаменатель, этот случай стоит проверить отдельно.

Q: Как связаны геометрическая прогрессия и сложные проценты?

Если банк в конце года начисляет один и тот же процент на всю накопленную сумму, суммы на конец каждого года образуют геометрическую прогрессию. Её знаменатель равен $1 + \frac{p}{100}$, где $p$ — годовой процент. Так, за три года при $10\%$ сумма умножается на $1{,}1^3 = 1{,}331$.

Q: Как найти первый член по двум другим?

Найдите знаменатель по двум известным членам, потом разделите известный член на знаменатель в нужной степени: $b_1 = \frac{b_k}{q^{k-1}}$. Например, при положительных членах $b_3 = 20$ и $b_5 = 80$ получаем $q^2 = 4$, $q = 2$ и $b_1 = \frac{20}{4} = 5$.

Q: Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?

В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. Поэтому у арифметической члены меняются на одну и ту же величину, а у геометрической — в одно и то же число раз: при $|q| > 1$ они по модулю растут всё быстрее, а при $|q| < 1$ приближаются к нулю. Арифметическая прогрессия разобрана на отдельной странице.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число. К ЕНТ нужны формулы n-го члена и суммы, свойство трёх соседних членов и сумма бесконечно убывающей прогрессии, а ещё связь со сложными процентами по вкладу. Здесь собраны формулы, порядок решения, примеры и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 06 «Последовательности», тема 12. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 13 и 14; задания 27 и 29, если выпадет контекст «Вклад». Спецификация ЕНТ, математическая грамотность: раздел 03 «Изменение и зависимости», тема 07. В наших пробных вариантах по математической грамотности — отдельного задания по этой теме нет.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 06. Последовательности

Тема 12. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Математическая грамотность — обязательный предмет ЕНТ: 10 заданий, в каждом один верный ответ из пяти, 10 баллов; нужно набрать не меньше 3.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 06. Последовательности
- Тема 12. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, задание на основе контекста
В наших пробных вариантах — по жребию задания 13 и 14; задания 27 и 29, если выпадет контекст «Вклад».
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант
Математическая грамотность
Раздел 03. Изменение и зависимости
- Тема 07. Логические задания на применение последовательности. Логические задания на умение анализировать данные в таблице
В наших пробных вариантах — отдельного задания по этой теме нет.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$ , знаменатель прогрессии: $b_{n+1} = b_n q$ . Здесь $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$ , а знаменатель находят делением: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ .
Формула $n$ -го члена: $b_n ={}$ $b_1 \cdot q^{n-1}$ . Если известны два члена, то $b_m ={}$ $b_k \cdot q^{m-k}$ : знаменатель получают из корня степени $m - k$ .
Сумма первых $n$ членов при $q \ne 1$ : $S_n ={}$ $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . При $q = 1$ все члены равны, и $S_n = n b_1$ .
Характеристическое свойство: для трёх последовательных членов $b_n^2 ={}$ $b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ , например $12^2 = 4 \cdot 36$ для $4; 12; 36$ .
При $|q| < 1$ прогрессия бесконечно убывающая, и сумма всех её членов существует: $S = \frac{b_1}{1 - q}$ . При $|q| \ge 1$ такой суммы нет.
Вклад со сложными процентами растёт как геометрическая прогрессия. Если за год банк начисляет $p\%$ и прибавляет их к вкладу, сумма умножается на $1 + \frac{p}{100}$ , а через $n$ лет равна $S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .

Как решать: по шагам

по порядку

1.Определите, что дано и что спрашивают
Выпишите первый член, знаменатель, номера и значения известных членов. Решите, что нужно: член, знаменатель, сумма первых $n$ членов или сумма бесконечно убывающей прогрессии.
2.Найдите знаменатель
Если даны два соседних члена, разделите второй на первый. Если даны члены с разными номерами, разделите член с большим номером на член с меньшим: $q^{m-k} ={}$ $\frac{b_m}{b_k}$ . Не забудьте про отрицательный знаменатель.
3.Найдите первый член, если он не дан
Подставьте известный член в формулу $n$ -го члена: $b_1 ={}$ $\frac{b_k}{q^{k-1}}$ .
4.Выберите формулу и подставьте
Для члена возьмите $b_n ={}$ $b_1 \cdot q^{n-1}$ , для суммы $n$ членов — $S_n ={}$ $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ . Для бесконечно убывающей сначала проверьте $|q| < 1$ .
5.Для вклада запишите множитель за год
Начисление $p\%$ в год означает множитель $1 + \frac{p}{100}$ . Через $n$ лет умножьте начальную сумму на этот множитель $n$ раз.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Знаменатель, первый член и седьмой член
В геометрической прогрессии $b_2 = 12$ , $b_5 = -96$ . Найдите знаменатель, первый член и $b_7$ .
2.Сумма первых семи членов
Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой $b_1 = 5$ и $q = 2$ .
3.Бесконечно убывающая прогрессия
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $18; -6; 2; \dots$
4.Вклад на три года
Вкладчик положил в банк 300 000 тенге под 10 % годовых. Проценты начисляются в конце каждого года и прибавляются к сумме вклада. Сколько тенге будет на вкладе через три года?

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Задание на основе контекста

Банковский вклад

Мадина открыла в банке вклад на сумму 800 000 тенге под 20 % годовых. Проценты начисляются один раз в конце каждого года и прибавляются к сумме вклада. В течение срока вклада деньги со счета не снимают и не добавляют.

Задание 1.

Какая сумма будет на вкладе через два года?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Эта тема на математической грамотности

что меняется

В спецификации математической грамотности геометрическая прогрессия по имени не названа. Раздел 03 «Изменение и зависимости» содержит тему 07 «Логические задания на применение последовательности», а проценты стоят в разделе 01 «Количественные рассуждения», тема 03: «Логические задачи на вычисление процентов». В наших пробных вариантах для математической грамотности отдельного задания на геометрическую прогрессию нет.

Идея прогрессии нужна и там: если величина каждый период меняется в одно и то же число раз или на одно и то же число процентов, итог получают умножением на множитель столько раз, сколько периодов. В наших пробных вариантах для математической грамотности так устроена задача на вклад, по которому банк два года подряд начисляет один и тот же процент на всю сумму. Ответов в таких заданиях пять, верный один. Задачи на проценты разобраны на отдельной странице.

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

В геометрической прогрессии

b_1 = 1

, знаменатель

q = 3

. Найдите сумму первых 6 членов прогрессии.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

В геометрической прогрессии

b_1 = 3

, знаменатель

q = 2

. Найдите

b_{5}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен

15

, а сумма всех членов равна

20

. Запишите число.

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 4.

Числа

x

6

18

— три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите

x

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 5.

Какие из данных последовательностей являются геометрическими прогрессиями? Укажите все верные ответы.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Ставят в формулу $n$ -го члена $q^n$ вместо $q^{n-1}$ : первый член уже есть, и до $n$ -го всего $n - 1$ умножений.
Теряют отрицательный знаменатель: из $q^2 = 4$ берут только $q = 2$ , хотя $q = -2$ тоже подходит, если это не противоречит условию. Для нечётной степени знак определяется однозначно.
Применяют формулу суммы бесконечной прогрессии при $|q| \ge 1$ . Такой суммы нет: члены не стремятся к нулю.
Складывают проценты по годам: два года по $20\%$ принимают за $40\%$ вместо множителя $1{,}2^2$ .
Делят формулу суммы на ноль: при $q = 1$ знаменатель $q - 1$ равен нулю, и сумма $n$ членов считается как $n b_1$ .

Запомните

Знаменатель $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ постоянен.
$b_n ={}$ $b_1 \cdot q^{n-1}$ , $b_m ={}$ $b_k \cdot q^{m-k}$ .
$S_n ={}$ $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \ne 1$ ; $S_n = n b_1$ при $q = 1$ .
Для бесконечно убывающей ( $|q| < 1$ ): $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .
Вклад: множитель за год равен $1 + \frac{p}{100}$ , и через $n$ лет сумму умножают на него $n$ раз.

Вопросы и ответы

1.Как найти знаменатель геометрической прогрессии?+
Ответ:Разделите любой член на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ . Если даны члены с номерами, отличающимися на несколько шагов, разделите член с большим номером на член с меньшим и извлеките корень нужной степени: из $q^3 = -8$ следует $q = -2$ . Для чётной степени проверьте, какой знак подходит по условию.
2.Когда существует сумма бесконечной геометрической прогрессии?+
Ответ:Только когда $|q| < 1$ , то есть знаменатель лежит строго между $-1$ и $1$ . Тогда члены становятся всё ближе к нулю, а сумма равна $\frac{b_1}{1 - q}$ . Для $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \dots$ получаем $\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} ={}$ $2$ .
3.Какая формула суммы при знаменателе 1?+
Ответ:При $q = 1$ все члены равны первому, поэтому $S_n = n b_1$ . Общая формула $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для этого случая не подходит: в знаменателе получился бы нуль. Если в условии не сказано, чему равен знаменатель, этот случай стоит проверить отдельно.
4.Как связаны геометрическая прогрессия и сложные проценты?+
Ответ:Если банк в конце года начисляет один и тот же процент на всю накопленную сумму, суммы на конец каждого года образуют геометрическую прогрессию. Её знаменатель равен $1 + \frac{p}{100}$ , где $p$ — годовой процент. Так, за три года при $10\%$ сумма умножается на $1{,}1^3 = 1{,}331$ .
5.Как найти первый член по двум другим?+
Ответ:Найдите знаменатель по двум известным членам, потом разделите известный член на знаменатель в нужной степени: $b_1 ={}$ $\frac{b_k}{q^{k-1}}$ . Например, при положительных членах $b_3 = 20$ и $b_5 = 80$ получаем $q^2 = 4$ , $q = 2$ и $b_1 = \frac{20}{4} = 5$ .
6.Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?+
Ответ:В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. Поэтому у арифметической члены меняются на одну и ту же величину, а у геометрической — в одно и то же число раз: при $|q| > 1$ они по модулю растут всё быстрее, а при $|q| < 1$ приближаются к нулю. Арифметическая прогрессия разобрана на отдельной странице.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Геометрическая прогрессия: знаменатель, сумма первых n членов и бесконечно убывающая прогрессия

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Определите, что дано и что спрашивают

2.Найдите знаменатель

3.Найдите первый член, если он не дан

4.Выберите формулу и подставьте

5.Для вклада запишите множитель за год

Примеры с решением

1.Знаменатель, первый член и седьмой член

2.Сумма первых семи членов

3.Бесконечно убывающая прогрессия

4.Вклад на три года

Задание в формате ЕНТ

Эта тема на математической грамотности

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники