Когда у квадратного уравнения нет корней?

Когда дискриминант отрицателен: $D = b^2 - 4ac 0$, корней два.

Зачем нужна теорема Виета, если есть дискриминант?

Когда уравнение приведённое и корни целые, их подбирают по сумме и произведению за несколько секунд. Кроме того, она позволяет находить выражения от корней, не находя самих корней. В наших пробных вариантах есть задание на соответствие, в котором нужны именно сумма и произведение корней.

Какие уравнения входят в ту же тему, что квадратные?

Спецификация НЦТ относит к теме 05 раздела 02 «Уравнения» линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения. Поэтому дробные уравнения, которые сводятся к квадратным, разобраны на этой же странице.

Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?

Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.

Как не потерять корни при решении дробного уравнения?

Сначала найдите значения, при которых знаменатель равен нулю, и запретите их. Затем приравняйте числитель к нулю, решите получившееся квадратное уравнение и вычеркните запрещённые корни. То, что осталось, и есть ответ.

Как быстро проверить найденные корни?

Сложите их и перемножьте: по теореме Виета сумма должна равняться $-\frac{b}{a}$, а произведение — $\frac{c}{a}$. Если оба равенства выполнены, корни найдены верно. Для уравнения с целыми корнями этот способ занимает несколько секунд.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Квадратные уравнения: дискриминант, формула корней и теорема Виета

Квадратные уравнения встречаются в профильной математике сами по себе и внутри систем, неравенств и текстовых задач. Здесь собраны дискриминант, формула корней, теорема Виета и дробные уравнения, которые сводятся к квадратным: порядок решения по шагам, примеры с разбором, задания в формате ЕНТ и проверка своих сил.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 02 «Уравнения», тема 05. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 5, 6, 9 и 31–40.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 02. Уравнения

Тема 05. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 02. Уравнения
- Тема 05. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Дробно-рациональные уравнения.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, установление соответствия, один или несколько правильных ответов
В наших пробных вариантах — по жребию задания 5, 6, 9 и 31–40.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \neq 0$ . Число $D = b^2 - 4ac$ называют дискриминантом.
Если $D > 0$ , у уравнения два корня; если $D = 0$ , один (его называют двойным); если $D < 0$ , действительных корней нет. Корни находят по формуле $x ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
Неполные уравнения решают без дискриминанта: при $c = 0$ выносят $x$ за скобки, $ax^2 + bx ={}$ $x(ax + b) ={}$ $0$ ; при $b = 0$ переносят свободный член, $x^2 = -\frac{c}{a}$ .
Теорема Виета: если корни $x_1$ и $x_2$ существуют, то $x_1 + x_2 ={}$ $-\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 ={}$ $\frac{c}{a}$ . У приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$ , а произведение равно $q$ .
Квадратный трёхчлен раскладывают на множители так: $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В дробно-рациональном уравнении корень, обращающий знаменатель в нуль, не подходит.

Как решать: по шагам

по порядку

1.Приведите уравнение к стандартному виду
Перенесите все слагаемые в левую часть, раскройте скобки и запишите уравнение как $ax^2 + bx + c = 0$ . Выпишите $a$ , $b$ и $c$ вместе со знаками.
2.Проверьте, нельзя ли решить проще
Если $c = 0$ или $b = 0$ , дискриминант не нужен. Если коэффициенты небольшие и $a = 1$ , попробуйте подобрать целые корни по сумме и произведению.
3.Найдите дискриминант
Вычислите $D = b^2 - 4ac$ и по его знаку определите, сколько корней у уравнения. При $D < 0$ решение закончено: корней нет.
4.Вычислите корни
Подставьте коэффициенты в формулу $x ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ и разделите на $2a$ весь числитель, а не его часть. Дроби оставляйте несократимыми.
5.Проверьте ответ
Сверьте сумму и произведение корней с формулами Виета. В дробном уравнении исключите значения, при которых знаменатель равен нулю.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Два корня, один из них дробный
Решите уравнение $3x^2 - 5x - 2 = 0$ .
2.Дискриминант равен нулю
Решите уравнение $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .
3.Отрицательный дискриминант
Сколько действительных корней имеет уравнение $x^2 + 2x + 5 = 0$ ?
4.Сумма квадратов корней без самих корней
Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$ . Найдите $x_1^2 + x_2^2$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Дано уравнение

x^2 - 10x + 24 = 0

. Установите соответствие между величинами и их значениями.

1Сумма корней уравнения

2Произведение корней уравнения

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Решите уравнение

\frac{x^2 + x - 30}{x - 5} ={}

0

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Найдите меньший корень уравнения

2x^2 - 11x + 15 = 0

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Найдите меньший корень уравнения

x^2 - 4x - 45 = 0

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Какие из данных чисел являются корнями уравнения

x^2 - 6x - 7 = 0

? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Какие из данных чисел являются корнями уравнения

x^2 + 4x + 3 = 0

? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Теряют знак у $b$ : в формуле стоит $-b$ , поэтому при $b = -5$ в числителе получается $+5$ . Подставляйте коэффициенты в скобках.
Делят на $2$ или на $a$ вместо $2a$ либо делят только часть числителя. Дробная черта относится ко всему выражению $-b \pm \sqrt{D}$ .
Сокращают обе части уравнения на $x$ и теряют корень: из $x^2 = 7x$ получают только $x = 7$ , а второй корень $x = 0$ пропадает. Выносите $x$ за скобки.
В дробном уравнении оставляют корень, при котором знаменатель равен нулю. Сначала запишите, какие значения $x$ запрещены, и сверьтесь с ними в конце.
Пользуются теоремой Виета, не проверив, что корни существуют: при $D < 0$ сумма и произведение по формулам есть, а корней нет.

Запомните

$D = b^2 - 4ac$ ; при $D > 0$ два корня, при $D = 0$ один, при $D < 0$ корней нет.
$x ={}$ $\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ — делится весь числитель, и на $2a$ .
Виета: $x_1 + x_2 ={}$ $-\frac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 ={}$ $\frac{c}{a}$ .
$ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Дробь равна нулю при нулевом числителе и ненулевом знаменателе.

Вопросы и ответы

1.Когда у квадратного уравнения нет корней?+
Ответ:Когда дискриминант отрицателен: $D = b^2 - 4ac < 0$ . Тогда парабола $y = ax^2 + bx + c$ не пересекает ось абсцисс, и действительных решений нет. Если же $D = 0$ , корень один, а если $D > 0$ , корней два.
2.Зачем нужна теорема Виета, если есть дискриминант?+
Ответ:Когда уравнение приведённое и корни целые, их подбирают по сумме и произведению за несколько секунд. Кроме того, она позволяет находить выражения от корней, не находя самих корней. В наших пробных вариантах есть задание на соответствие, в котором нужны именно сумма и произведение корней.
3.Какие уравнения входят в ту же тему, что квадратные?+
Ответ:Спецификация НЦТ относит к теме 05 раздела 02 «Уравнения» линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения. Поэтому дробные уравнения, которые сводятся к квадратным, разобраны на этой же странице.
4.Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?+
Ответ:Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.
5.Как не потерять корни при решении дробного уравнения?+
Ответ:Сначала найдите значения, при которых знаменатель равен нулю, и запретите их. Затем приравняйте числитель к нулю, решите получившееся квадратное уравнение и вычеркните запрещённые корни. То, что осталось, и есть ответ.
6.Как быстро проверить найденные корни?+
Ответ:Сложите их и перемножьте: по теореме Виета сумма должна равняться $-\frac{b}{a}$ , а произведение — $\frac{c}{a}$ . Если оба равенства выполнены, корни найдены верно. Для уравнения с целыми корнями этот способ занимает несколько секунд.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Квадратные уравнения: дискриминант, формула корней и теорема Виета

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Приведите уравнение к стандартному виду

2.Проверьте, нельзя ли решить проще

3.Найдите дискриминант

4.Вычислите корни

5.Проверьте ответ

Примеры с решением

1.Два корня, один из них дробный

2.Дискриминант равен нулю

3.Отрицательный дискриминант

4.Сумма квадратов корней без самих корней

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники