Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Функции и графики: область определения, линейная функция, парабола и чтение графика

Функция задаёт, как одна величина зависит от другой, а график показывает эту зависимость на плоскости. При подготовке к ЕНТ с функцией работают двумя способами: по формуле (область определения, прямая, парабола) и по графику или таблице в текстовой задаче. Ниже — основные факты, порядок решения, примеры с решением и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 07 «Математическое моделирование и анализ», тема 13. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 31–40; задание 27, если выпадет контекст «Такси». Спецификация ЕНТ, математическая грамотность: раздел 03 «Изменение и зависимости», тема 06. В наших пробных вариантах по математической грамотности — по жребию задания 6 и 7.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 07. Математическое моделирование и анализ

    • Тема 13. Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

    Формы заданий в наших вариантах

    задание на основе контекста, установление соответствия, один или несколько правильных ответов

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 31–40; задание 27, если выпадет контекст «Такси».

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

  • Математическая грамотность

    Раздел 03. Изменение и зависимости

    • Тема 06. Логические задачи на изменение одной величины в зависимости от другой

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из пяти

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 6 и 7.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Область определения — все значения xx, при которых формула имеет смысл: знаменатель не равен нулю, выражение под корнем чётной степени неотрицательно. Множество значений — все значения yy, которые функция принимает.
  • Линейная функция y=kx+by = kx + b: график — прямая, kk — угловой коэффициент (при k>0k > 0 функция возрастает, при k<0k < 0 убывает), bb — ордината точки пересечения с осью OyOy. Две точки определяют прямую.
  • Парабола y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c: ветви вверх при a>0a > 0 и вниз при a<0a < 0; абсцисса вершины x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, ордината вершины — значение функции в x0x_0.
  • Нули функции — решения уравнения f(x)=0f(x) = 0: в этих точках график пересекает ось OxOx. Значение f(0)f(0) — ордината точки пересечения с осью OyOy.
  • Принадлежит ли точка графику: подставьте её абсциссу в формулу. Если получилась ордината точки, она лежит на графике, иначе нет.
  • Чтение графика: значение функции — это высота графика над данным xx; участок, где график идёт вверх, соответствует возрастанию, горизонтальный участок — постоянству.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Определите, что дано: формула, график или описание

    От вида задания зависит первое действие: по формуле находят значения и свойства, по графику считывают значения, по описанию составляют формулу.

  2. 2.Выпишите ограничения

    Для дроби знаменатель не равен нулю, для корня подкоренное выражение неотрицательно. Эти условия и дают область определения.

  3. 3.Найдите нужные точки

    Для параболы — вершину и пересечения с осями, для прямой — угловой коэффициент и свободный член, для графика — пары значений на сетке.

  4. 4.Подставьте и проверьте

    Подставляйте числа в формулу аккуратно: отрицательное значение xx берите в скобки, квадрат отрицательного числа положителен.

  5. 5.Сверьте ответ с картинкой

    Ветви параболы вниз, а вершина получилась ниже оси? Возрастающая прямая, а коэффициент отрицательный? Такое противоречие означает ошибку в вычислениях.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Область определения

    Найдите область определения функции y=y ={}x−3x−5 \frac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}.

  2. 2.Вершина параболы и множество значений

    Для функции y=−x2+2x+8y = -x^2 + 2x + 8 найдите вершину параболы, нули функции и множество значений.

  3. 3.Формула прямой по двум точкам

    График линейной функции проходит через точки A(1;5)A(1; 5) и B(3;11)B(3; 11). Запишите формулу функции.

  4. 4.Коэффициент по точке на графике

    График функции y=ax2−3x+2y = ax^2 - 3x + 2 проходит через точку (2;4)(2; 4). Найдите aa.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Дана функция f(x)=2x2+12x−4f(x) = 2x^2 + 12x - 4. Установите соответствие между величинами и их значениями.
1. Абсцисса вершины параболы
2. Значение функции в точке x=3x = 3

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Задание на основе контекста

Две службы такси

В городе работают две службы такси. В службе «Сапар» стоимость поездки складывается из платы за посадку 500 тенге и 100 тенге за каждый километр пути. В службе «Жол» платы за посадку нет, а каждый километр пути стоит 200 тенге. На рисунке показаны графики зависимости стоимости поездки (в тенге) от длины пути (в километрах) для обеих служб.

Задание 2.

Какой формулой задается стоимость yy (в тенге) поездки длиной xx км в службе «Сапар»?
123456789105001000150020000x, кмy, тенге«Сапар»«Жол»

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Эта тема на математической грамотности

что меняется
Спецификация математической грамотности называет эту тему в разделе 03 «Изменение и зависимости», тема 06: «Логические задачи на изменение одной величины в зависимости от другой». Формулы функций, область определения и вершину параболы эта строка не называет: речь о задачах, где зависимость задана графиком, таблицей или текстом (тариф, путь и время, цена и количество).
Поэтому здесь нужны не приёмы работы с формулой, а аккуратное чтение условия: какая величина откладывается по каждой оси, что значит точка пересечения графиков и как выразить зависимость формулой y=kx+by = kx + b. В таком задании пять вариантов ответа и один верный.
Задание в формате ЕНТМатематическая грамотность

Один ответ из пяти

Задание 3.

Оператор мобильной связи предлагает два тарифа. Тариф «Старт»: абонентская плата 1 990 тенге в месяц и 25 тенге за каждую минуту исходящих звонков. Тариф «Безлимит»: 3 990 тенге в месяц, звонки без доплаты. При каком наименьшем целом числе минут звонков в месяц тариф «Безлимит» обойдётся дешевле тарифа «Старт»?

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Какие из данных точек принадлежат графику функции y=−x2+3x−4y = -x^2 + 3x - 4? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Какие из данных точек принадлежат графику функции y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Какие из данных функций возрастают на всей числовой прямой? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 4.

Мадина ехала на велосипеде от дома до озера и по дороге сделала одну остановку. На графике показана зависимость пройденного расстояния ss (в км) от времени tt (в минутах). Сколько минут длилась остановка?
102030405060708090100246810121416180t, минs, км

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 5.

Мадина ехала на велосипеде от дома до озера и по дороге сделала одну остановку. На графике показана зависимость пройденного расстояния ss (в км) от времени tt (в минутах). С какой скоростью Мадина ехала до остановки?
102030405060708090100110246810121416182022240t, минs, км

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Забывают про ограничения: в области определения дроби остаётся точка, где знаменатель равен нулю, а корень берут и там, где подкоренное выражение отрицательно.
  • Путают абсциссу и ординату вершины параболы. Абсцисса — это −b2a-\frac{b}{2a}, ордината — значение функции в этой точке.
  • При подстановке отрицательного xx теряют скобки: (−3)2=9(-3)^2 = 9, а не −9-9.
  • Читают график не по той оси или не по тому масштабу: деление сетки может равняться не единице, а двум или десяти.
  • Берут цену километра за плату за посадку и наоборот: в формуле y=kx+by = kx + b угловой коэффициент kk — цена за единицу, а bb — постоянная часть.

Запомните

  • y=kx+by = kx + b: kk — наклон, bb — пересечение с осью OyOy.
  • Вершина параболы: x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.
  • Знаменатель не равен нулю, корень чётной степени — только из неотрицательного.
  • Точка принадлежит графику, если её координаты обращают формулу в верное равенство.

Вопросы и ответы

  1. 1.Что спецификация говорит о функциях и графиках?+
    Ответ:Спецификация профильной математики в разделе 07 называет тему 13 «Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования». Отдельной строки про функции и графики в списке тем спецификации профильной математики нет. В спецификации математической грамотности зависимость одной величины от другой названа в разделе 03 «Изменение и зависимости», тема 06.
  2. 2.Как найти область определения?+
    Ответ:Выпишите условия, при которых формула не теряет смысла: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение корня чётной степени неотрицательно. Решите все условия вместе и запишите ответ промежутками.
  3. 3.Как по формуле параболы определить, куда направлены ветви?+
    Ответ:Посмотрите на знак коэффициента при x2x^2. Если он положителен, ветви идут вверх и у функции есть наименьшее значение, если отрицателен — вниз и есть наибольшее значение.
  4. 4.Как составить формулу прямой по двум точкам?+
    Ответ:Найдите угловой коэффициент как отношение приращения yy к приращению xx, затем подставьте одну из точек в формулу y=kx+by = kx + b и найдите bb. Вторую точку используйте для проверки.
  5. 5.Как проверить, что точка лежит на графике?+
    Ответ:Подставьте абсциссу точки в формулу и сравните полученное значение с ординатой этой точки. Если числа равны, точка принадлежит графику, а если нет, то лежит вне него.
  6. 6.Как читать график зависимости в задаче?+
    Ответ:Сначала выясните, что отложено по каждой оси и в каких единицах. Затем найдите нужные значения на сетке и учтите цену деления: она не всегда равна единице.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут