Что из производной названо в спецификации?

Спецификация профильной математики называет тему 13 «Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования» в разделе 07. Отдельных пунктов про таблицу производных или касательную в списке тем спецификации нет, поэтому на странице разобраны стандартные для школьного курса вещи: таблица, правила, касательная.

Нужно ли учить таблицу производных наизусть?

Да: таблица нужна для любого задания на производную, а на одно задание спецификация рассчитывает в среднем две минуты, и выводить формулы заново некогда. Выучите производные степени, корня, синуса, косинуса, экспоненты и логарифма, остальные получаются по правилам.

Как найти угловой коэффициент касательной?

Найдите производную функции и подставьте абсциссу точки касания: число $f'(x_0)$ и есть угловой коэффициент. Если задан угол наклона к оси абсцисс, его тангенс равен тому же числу.

Чем отличается $f(x_0)$ от $f'(x_0)$?

Первое число — ордината точки на графике, второе — угловой коэффициент касательной в ней. В нашем задании на соответствие выше нужно найти обе величины, а числа в списке ответов могут быть близкими, поэтому вычисляйте оба.

Как взять производную сложной функции?

Выделите внешнюю и внутреннюю функции, найдите производную внешней по таблице, оставив внутреннюю без изменений, и умножьте на производную внутренней. Для $(3x + 1)^5$ получается $5(3x + 1)^4 \cdot 3$.

Как связаны производная и промежутки возрастания?

Где производная положительна, функция возрастает, где отрицательна — убывает. Эта связь подробно разобрана на странице об исследовании функции: там же показано, как по знаку производной находят точки максимума и минимума.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Производная: таблица производных, правила дифференцирования и уравнение касательной

Производная показывает, как быстро меняется функция в точке. Для подготовки к ЕНТ по математике нужно уверенно владеть таблицей производных, четырьмя правилами и уравнением касательной: на них строятся и вычисление значения производной, и задачи про угловой коэффициент. Ниже — формулы, порядок действий, примеры с решением и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 07 «Математическое моделирование и анализ», тема 13. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 15–17 и 31–35.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 07. Математическое моделирование и анализ

Тема 13. Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 07. Математическое моделирование и анализ
- Тема 13. Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, установление соответствия
В наших пробных вариантах — по жребию задания 15–17 и 31–35.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Таблица производных: $(C)' = 0$ , $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' ={}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ .
Правила: производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель выносится за знак производной, $(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Производная сложной функции: производную внешней функции умножают на производную внутренней, например $\big((2x - 5)^4\big)' ={}$ $4(2x - 5)^3 \cdot 2$ .
Геометрический смысл: значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$ , то есть тангенсу угла её наклона к оси абсцисс.
Уравнение касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$ : $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ .
Физический смысл: если $s(t)$ — путь, то $s'(t)$ — скорость в момент $t$ , а производная скорости — ускорение.

Как решать: по шагам

по порядку

1.Определите, что спрашивают
Нужна производная как функция, её значение в точке, угловой коэффициент или уравнение касательной? От этого зависит, сколько шагов останется после дифференцирования.
2.Разберите функцию на части
Выясните, чем она является: суммой, произведением, частным или сложной функцией. Для суммы и разности производную берут по слагаемым.
3.Дифференцируйте по таблице и правилам
Каждое слагаемое — по таблице, произведение и частное — по правилам. Для сложной функции не забудьте умножить на производную внутренней.
4.Подставьте точку
Подставляйте $x_0$ только в готовую производную, а не в исходную функцию. Знаки минус и скобки при подстановке — самое уязвимое место.
5.Для касательной найдите три числа
Нужны $x_0$ , $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ . Затем подставьте их в $y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ и раскройте скобки.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Таблица и правила для многочлена
Найдите производную функции $f(x) ={}$ $x^4 - 5x^2 + 3x - 7$ и вычислите $f'(2)$ .
2.Произведение и сложная функция
Найдите значение производной функции $g(x) ={}$ $(x^2 + 1)(x - 3)$ при $x = 2$ , а затем значение производной функции $h(x) = (2x - 5)^4$ при $x = 3$ .
3.Уравнение касательной
Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 2x + 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$ .
4.Касательная, параллельная прямой
В какой точке касательная к графику функции $y = x^2 - 6x + 1$ параллельна прямой $y = 4x - 3$ ?

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Дана функция

f(x) ={}

-x^3 - 3x^2 + 2x - 5

. Установите соответствие между выражениями и их значениями.

f(-1)

f'(-1)

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Дана функция

f(x) ={}

2x^3 + 2x^2 - 5x + 3

. Найдите

f'(-2)

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Дана функция

f(x) ={}

x^3 - 2x^2 + 5x + 4

. Найдите

f'(1)

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Укажите уравнение касательной к графику функции

f(x) = 2x^2 - 5x + 5

в точке с абсциссой

x_0 = 2

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Укажите уравнение касательной к графику функции

f(x) = -2x^2 + 4x - 1

в точке с абсциссой

x_0 = 0

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Подставляют точку в исходную функцию вместо производной. Сначала найдите $f'(x)$ , потом подставляйте $x_0$ .
Берут производную произведения как произведение производных. Верно только $(uv)' = u'v + uv'$ .
Забывают множитель от внутренней функции: $\big((2x - 5)^4\big)'$ равна $8(2x - 5)^3$ , а не $4(2x - 5)^3$ .
Теряют знак минус при подстановке отрицательной точки: $-3x^2$ при $x = -1$ даёт $-3$ , а не $3$ .
В уравнении касательной подставляют $x_0$ вместо $f(x_0)$ или забывают раскрыть скобку $(x - x_0)$ .

Запомните

$(x^n)' = nx^{n-1}$ , производная константы равна нулю.
$(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Сложная функция: производная внешней, умноженная на производную внутренней.
$f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ .
$y ={}$ $f(x_0) +{}$ $f'(x_0)(x - x_0)$ .

Вопросы и ответы

1.Что из производной названо в спецификации?+
Ответ:Спецификация профильной математики называет тему 13 «Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования» в разделе 07. Отдельных пунктов про таблицу производных или касательную в списке тем спецификации нет, поэтому на странице разобраны стандартные для школьного курса вещи: таблица, правила, касательная.
2.Нужно ли учить таблицу производных наизусть?+
Ответ:Да: таблица нужна для любого задания на производную, а на одно задание спецификация рассчитывает в среднем две минуты, и выводить формулы заново некогда. Выучите производные степени, корня, синуса, косинуса, экспоненты и логарифма, остальные получаются по правилам.
3.Как найти угловой коэффициент касательной?+
Ответ:Найдите производную функции и подставьте абсциссу точки касания: число $f'(x_0)$ и есть угловой коэффициент. Если задан угол наклона к оси абсцисс, его тангенс равен тому же числу.
4.Чем отличается $f(x_0)$ от $f'(x_0)$ ?+
Ответ:Первое число — ордината точки на графике, второе — угловой коэффициент касательной в ней. В нашем задании на соответствие выше нужно найти обе величины, а числа в списке ответов могут быть близкими, поэтому вычисляйте оба.
5.Как взять производную сложной функции?+
Ответ:Выделите внешнюю и внутреннюю функции, найдите производную внешней по таблице, оставив внутреннюю без изменений, и умножьте на производную внутренней. Для $(3x + 1)^5$ получается $5(3x + 1)^4 \cdot 3$ .
6.Как связаны производная и промежутки возрастания?+
Ответ:Где производная положительна, функция возрастает, где отрицательна — убывает. Эта связь подробно разобрана на странице об исследовании функции: там же показано, как по знаку производной находят точки максимума и минимума.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Производная: таблица производных, правила дифференцирования и уравнение касательной

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Определите, что спрашивают

2.Разберите функцию на части

3.Дифференцируйте по таблице и правилам

4.Подставьте точку

5.Для касательной найдите три числа

Примеры с решением

1.Таблица и правила для многочлена

2.Произведение и сложная функция

3.Уравнение касательной

4.Касательная, параллельная прямой

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники