Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Исследование функции с помощью производной: возрастание, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение

По знаку производной можно узнать, где функция возрастает и убывает, в каких точках у неё максимум и минимум и какое значение на отрезке самое большое или самое маленькое. Эта тема нужна для подготовки к ЕНТ по профильной математике: она опирается на производную и сводится к одному алгоритму. Ниже — правила, порядок действий, примеры с решением и задания в формате ЕНТ.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 07 «Математическое моделирование и анализ», тема 13. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 15–17 и 36–40; задание 30, если выпадет контекст «Участок».

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 07. Математическое моделирование и анализ

    • Тема 13. Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, задание на основе контекста, один или несколько правильных ответов

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 15–17 и 36–40; задание 30, если выпадет контекст «Участок».

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Если f′(x)>0f'(x) > 0 на промежутке, функция на нём возрастает; если f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает.
  • Критические точки — те, где f′(x)=0f'(x) = 0 (или производная не существует). Только они могут быть точками экстремума.
  • Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума; с минуса на плюс — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.
  • Наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a;b][a; b] берут среди значений функции в критических точках внутри отрезка и на концах aa и bb.
  • Если на всём отрезке производная сохраняет знак, функция монотонна, и наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
  • Максимум и минимум функции в точке — это не обязательно наибольшее и наименьшее значения на отрезке: сравнивать надо значения, а не точки.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Найдите производную

    Продифференцируйте функцию и по возможности разложите производную на множители: так проще найти нули и определить знаки.

  2. 2.Решите уравнение f′(x)=0f'(x) = 0

    Корни — критические точки. Отметьте их на числовой прямой и разбейте её на промежутки.

  3. 3.Определите знак производной

    Возьмите по одной удобной точке из каждого промежутка и подставьте в производную. Знак «+» — функция возрастает, знак «−» — убывает.

  4. 4.Для отрезка оставьте точки внутри него

    Критические точки вне отрезка [a;b][a; b] в расчёт не берут. Если внутри отрезка критических точек нет, считайте значения только на концах.

  5. 5.Сравните значения

    Вычислите значения функции в оставшихся критических точках и на концах отрезка. Наибольшее из них — искомое наибольшее, наименьшее — наименьшее.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Промежутки монотонности и точки экстремума

    Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x)=x3−12x+5f(x) = x^3 - 12x + 5.

  2. 2.Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

    Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=f(x) ={}x3−3x2−9x+2 x^3 - 3x^2 - 9x + 2 на отрезке [−2;4][-2; 4].

  3. 3.Функция без критических точек на отрезке

    Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x3+3xf(x) = x^3 + 3x на отрезке [−1;2][-1; 2].

  4. 4.Задача на наибольшее значение

    Число 18 представили в виде суммы двух положительных слагаемых. При каких слагаемых произведение квадрата первого и второго слагаемого наибольшее и чему оно равно?

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Найдите наименьшее значение функции f(x)=f(x) ={}2x3−9x2−6 2x^3 - 9x^2 - 6 на отрезке [−2;5][-2; 5].

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Задание на основе контекста

Огород на даче

Семья решила обустроить огород на даче. Участок имеет форму прямоугольника длиной 30 м и шириной 8 м (см. рисунок). Вдоль одной из длинных сторон участка проложена дорожка шириной 2 м, остальная часть участка отведена под грядки. Участок обносят забором по всему периметру; один метр забора стоит 2000 тенге.

Задание 2.

Из сетки, длина которой равна периметру участка, хотят сделать прямоугольный загон для кур наибольшей площади. Найдите эту площадь.
30 м8 мдорожка шириной 2 мгрядки

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

В каких из данных точек производная функции f(x)=f(x) ={}2x3+6x2+6 2x^3 + 6x^2 + 6 равна нулю? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

В каких из данных точек производная функции f(x)=−x2−8x+4f(x) = -x^2 - 8x + 4 равна нулю? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Какие из данных функций возрастают на всей числовой прямой? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Какие из данных функций возрастают на всей числовой прямой? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Путают критическую точку с точкой экстремума. Если производная равна нулю, но знак не меняется (как у x3x^3 в нуле), экстремума нет.
  • Включают в сравнение критические точки, которые лежат вне заданного отрезка.
  • Забывают вычислить значения на концах отрезка и называют ответом значение в точке максимума или минимума.
  • Подставляют точки в производную, когда нужно значение самой функции. Производная нужна только для поиска и знаков, сравнивают значения функции.
  • Путают вопрос «в какой точке» и «какое значение»: точка — это xx, значение — это f(x)f(x).

Запомните

  • f′(x)>0f'(x) > 0 — функция возрастает, f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает.
  • Максимум — знак производной меняется с «+» на «−», минимум — с «−» на «+».
  • На отрезке сравнивают значения в критических точках внутри него и на двух концах.
  • Нет критических точек внутри отрезка — значения берут только на концах.

Вопросы и ответы

  1. 1.Что спецификация говорит об исследовании функции?+
    Ответ:В спецификации профильной математики это входит в тему 13 «Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования» раздела 07. Отдельных строк про экстремумы или наибольшее и наименьшее значение в списке тем спецификации нет, поэтому страница опирается на школьный курс.
  2. 2.Чем отличается максимум функции от наибольшего значения на отрезке?+
    Ответ:Максимум — это локальное свойство точки: значение больше, чем рядом. Наибольшее значение на отрезке — самое большое из всех значений на нём, и оно может достигаться на конце отрезка, где никакого максимума нет.
  3. 3.Как быстро определить знаки производной?+
    Ответ:Разложите производную на множители и отметьте её нули на прямой. Знак в самом правом промежутке определяется старшим коэффициентом, а при переходе через простой корень знак меняется на противоположный.
  4. 4.Что делать, если в отрезок не попала ни одна критическая точка?+
    Ответ:Тогда функция на этом отрезке монотонна, и достаточно вычислить её значения на двух концах отрезка. Меньшее из них будет наименьшим, большее — наибольшим значением функции.
  5. 5.Как решать задачи на наибольшую площадь или объём?+
    Ответ:Выразите величину через одну переменную и найдите её наибольшее значение по тому же алгоритму. Не забудьте ограничение на переменную, например что сторона положительна и меньше полупериметра.
  6. 6.Как проверить, что нашли именно наибольшее значение?+
    Ответ:Сравните его со значениями на концах и в остальных критических точках, а затем посмотрите на знаки производной: слева от максимума она положительна, справа отрицательна. Если ответ выбивается из этой картины, ищите арифметическую ошибку.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут