Чему равна степень с нулевым и отрицательным показателем?

Для $a \neq 0$ степень с нулевым показателем равна единице: $a^0 = 1$. Степень с отрицательным показателем равна дроби: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Например, $5^{-2} = \frac{1}{25}$, а $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$.

Что означает степень с рациональным показателем?

Дробный показатель соединяет степень и корень: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$. В знаменателе показателя стоит степень корня, в числителе — степень подкоренного числа. Так $125^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{125})^2 = 25$.

Как вынести множитель из-под знака корня?

Разложите подкоренное число на множители и выделите среди них точный квадрат: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Корень из квадрата выходит наружу, остальное остаётся под знаком корня.

Зачем убирать иррациональность из знаменателя?

С целым знаменателем проще складывать дроби, сравнивать числа и сверять ответ с вариантами: в наших пробных вариантах ответы к таким заданиям записаны именно в этом виде. Для этого числитель и знаменатель умножают на подходящее сопряжённое выражение.

Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?

Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.

Как узнать, рационально ли число с корнем?

Упростите выражение до одного числа. Если получилось целое число или дробь, оно рационально; если в ответе остался корень из числа, не являющегося точным квадратом, оно иррационально. В наших пробных вариантах такие числа предлагают в задании с выбором одного или нескольких ответов.

Какие темы спецификации охватывает эта страница?

Тему 01 раздела 01 «Числа» — «Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения» — и тему 02 — «Действия со степенями». Обе строки приведены в таблице выше с их точными формулировками.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Степени и корни: свойства, рациональный показатель и иррациональность в знаменателе

Степени и корни встречаются в профильной математике в вычислениях, при упрощении выражений, в уравнениях и в самих заданиях на числа. Здесь собраны свойства степеней, степень с рациональным показателем, действия с радикалами и избавление от иррациональности в знаменателе: порядок работы, примеры с решением и задания в формате ЕНТ.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 01 «Числа», темы 01 и 02. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 1–3, 25 и 36–40.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 01. Числа

Тема 01. Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения.
Тема 02. Действия со степенями.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 01. Числа
- Тема 01. Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения.
- Тема 02. Действия со степенями.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, один или несколько правильных ответов
В наших пробных вариантах — по жребию задания 1–3, 25 и 36–40.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Свойства степеней (основание $a \neq 0$ ): $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ , $a^m : a^n = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ , $(ab)^n = a^n b^n$ . Показатели при умножении складываются, при делении вычитаются, при возведении в степень перемножаются.
Нулевой и отрицательный показатель: $a^0 = 1$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Отрицательный показатель не делает число отрицательным, он переворачивает дробь.
Степень с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$ . Например, $a^{\frac{1}{2}} ={}$ $\sqrt{a}$ , а $a^{\frac{3}{2}} ={}$ $\sqrt{a^3}$ .
Свойства корней ( $a \ge 0$ , $b \ge 0$ ): $\sqrt{ab} ={}$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} ={}$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $b > 0$ . Для любого числа $a$ верно $\sqrt{a^2} = |a|$ . Арифметический корень неотрицателен.
Множитель выносят из-под корня, чтобы получить подобные радикалы: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ . Складывать и вычитать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением: $4\sqrt{3} + \sqrt{3} ={}$ $5\sqrt{3}$ .
Иррациональность в знаменателе убирают умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение: $\frac{c}{\sqrt{a}} ={}$ $\frac{c\sqrt{a}}{a}$ и $\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} ={}$ $\frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$ .
Число иррационально, если его нельзя записать дробью $\frac{m}{n}$ с целыми $m$ и $n$ . Корень из натурального числа иррационален, когда подкоренное число не является точным квадратом.

Как решать: по шагам

по порядку

1.Определите, с чем вы работаете
Выделите степени, корни и дроби. Если корни и степени смешаны, перепишите корни как степени: $\sqrt[3]{a^2} ={}$ $a^{\frac{2}{3}}$ .
2.Приведите степени к одному основанию
Разложите основания на простые множители: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $16 = 2^4$ , $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ . Тогда свойства степеней применяются сразу.
3.Примените свойства степеней
Сложите, вычтите или перемножьте показатели. Ответ записывайте как число или как степень с одним основанием.
4.Упростите корни
Вынесите из-под знака корня множители-квадраты: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ . После этого приведите подобные радикалы.
5.Уберите иррациональность из знаменателя
Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое: на $\sqrt{a}$ для $\sqrt{a}$ и на $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ для $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ . Знаменатель станет целым числом.
6.Проверьте знак и порядок
Сравните результат с грубой оценкой: $\sqrt{7}$ немного меньше $3$ , а $2^{-3}$ положительно и меньше единицы.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Свойства степеней с разными основаниями
Вычислите значение выражения $\frac{2^{-3} \cdot 16^2}{4^3}$ .
2.Степень с рациональным показателем
Найдите значение выражения $8^{-\frac{2}{3}} +{}$ $32^{\frac{3}{5}}$ .
3.Подобные радикалы
Упростите выражение $\sqrt{75} +{}$ $\sqrt{12} -{}$ $\sqrt{27}$ .
4.Сопряжённое выражение
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{10}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Один или несколько правильных ответов

Задание 1.

Какие из данных чисел являются иррациональными? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби

\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Вычислите:

\frac{5^{4} \cdot 5^{-2}}{5^{4}}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Вычислите:

\frac{3^{3} \cdot 3^{2}}{3^{6}}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Вычислите:

2\sqrt{175} -{}

\sqrt{63} +{}

\sqrt{112}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Вычислите:

3\sqrt{112} -{}

\sqrt{63} +{}

\sqrt{7}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Пишут $\sqrt{a + b} ={}$ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Проверьте на числах: $\sqrt{36 + 64} = 10$ , а $\sqrt{36} + \sqrt{64} ={}$ $14$ .
Складывают показатели при сложении степеней: $2^3 + 2^4$ не равно $2^7$ . Показатели складываются только при умножении степеней с одним основанием.
Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , а не $-8$ .
Забывают модуль: $\sqrt{(-5)^2} = 5$ , а не $-5$ , потому что арифметический корень неотрицателен.
Умножают знаменатель $\sqrt{7} - \sqrt{2}$ на него же, а не на сопряжённое $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ , и иррациональность остаётся.

Запомните

$a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ , $a^m : a^n = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ .
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $a^0 = 1$ при $a \neq 0$ .
$a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ ; арифметический корень неотрицателен.
Иррациональность из знаменателя убирают умножением на сопряжённое.

Вопросы и ответы

1.Чему равна степень с нулевым и отрицательным показателем?+
Ответ:Для $a \neq 0$ степень с нулевым показателем равна единице: $a^0 = 1$ . Степень с отрицательным показателем равна дроби: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Например, $5^{-2} = \frac{1}{25}$ , а $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$ .
2.Что означает степень с рациональным показателем?+
Ответ:Дробный показатель соединяет степень и корень: $a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$ . В знаменателе показателя стоит степень корня, в числителе — степень подкоренного числа. Так $125^{\frac{2}{3}} ={}$ $(\sqrt[3]{125})^2 ={}$ $25$ .
3.Как вынести множитель из-под знака корня?+
Ответ:Разложите подкоренное число на множители и выделите среди них точный квадрат: $\sqrt{72} ={}$ $\sqrt{36 \cdot 2} ={}$ $6\sqrt{2}$ . Корень из квадрата выходит наружу, остальное остаётся под знаком корня.
4.Зачем убирать иррациональность из знаменателя?+
Ответ:С целым знаменателем проще складывать дроби, сравнивать числа и сверять ответ с вариантами: в наших пробных вариантах ответы к таким заданиям записаны именно в этом виде. Для этого числитель и знаменатель умножают на подходящее сопряжённое выражение.
5.Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?+
Ответ:Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.
6.Как узнать, рационально ли число с корнем?+
Ответ:Упростите выражение до одного числа. Если получилось целое число или дробь, оно рационально; если в ответе остался корень из числа, не являющегося точным квадратом, оно иррационально. В наших пробных вариантах такие числа предлагают в задании с выбором одного или нескольких ответов.
7.Какие темы спецификации охватывает эта страница?+
Ответ:Тему 01 раздела 01 «Числа» — «Действия с радикалами. Числовые и буквенные выражения. Дробные и целые выражения» — и тему 02 — «Действия со степенями». Обе строки приведены в таблице выше с их точными формулировками.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Степени и корни: свойства, рациональный показатель и иррациональность в знаменателе

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Определите, с чем вы работаете

2.Приведите степени к одному основанию

3.Примените свойства степеней

4.Упростите корни

5.Уберите иррациональность из знаменателя

6.Проверьте знак и порядок

Примеры с решением

1.Свойства степеней с разными основаниями

2.Степень с рациональным показателем

3.Подобные радикалы

4.Сопряжённое выражение

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники