Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Первообразная и интеграл: таблица первообразных, формула Ньютона — Лейбница и площадь

Первообразная возвращает функцию по её производной, а определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница даёт число: приращение первообразной. Этим числом измеряют площадь фигуры под графиком и путь по скорости. Для подготовки к ЕНТ по профильной математике нужны таблица первообразных и умение подставлять пределы интегрирования. Ниже — формулы, порядок решения, примеры и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 07 «Математическое моделирование и анализ», тема 13. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 15–17.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 07. Математическое моделирование и анализ

    • Тема 13. Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 15–17.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Первообразная функции ff — такая функция FF, что F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Все первообразные одной функции отличаются на постоянное слагаемое: F(x)+CF(x) + C.
  • Таблица первообразных: xn→xn+1n+1x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1} при n≠−1n \ne -1, 1x→ln⁡∣x∣\frac{1}{x} \to \ln|x|, cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin x, sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos x, ex→exe^x \to e^x. Постоянный множитель выносят, сумму берут по слагаемым.
  • Для линейной внутренней функции первообразную делят на коэффициент при xx: первообразная cos⁡3x\cos 3x равна 13sin⁡3x\frac{1}{3}\sin 3x.
  • Формула Ньютона — Лейбница: ∫abf(x) dx=\int_a^b f(x)\,dx ={}F(b)−F(a) F(b) - F(a), где FF — любая первообразная ff. Постоянное слагаемое CC в разности сокращается.
  • Площадь криволинейной трапеции под графиком y=f(x)≥0y = f(x) \ge 0 на отрезке [a;b][a; b] равна ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx. Площадь между графиками — интеграл от разности «верхняя функция минус нижняя».
  • Смысл в движении: если v(t)v(t) — скорость, то путь за промежуток от t1t_1 до t2t_2 равен ∫t1t2v(t) dt\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Приведите функцию к сумме степеней

    Раскройте скобки, запишите корни и дроби как степени: x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}, 1x2=x−2\frac{1}{x^2} = x^{-2}. Тогда каждое слагаемое берут по таблице.

  2. 2.Найдите первообразную и проверьте её

    Продифференцируйте результат: должна получиться исходная функция. Это самая надёжная проверка и самый быстрый способ найти потерянный коэффициент.

  3. 3.Если нужна конкретная первообразная — найдите CC

    Подставьте координаты заданной точки в F(x)+CF(x) + C и решите уравнение относительно CC.

  4. 4.Для интеграла подставьте пределы

    Вычислите F(b)F(b) и F(a)F(a) по отдельности и вычтите: верхний предел минус нижний. Отрицательные значения берите в скобки.

  5. 5.Для площади выберите верхний график

    Найдите точки пересечения, выясните, какая функция выше на отрезке, и вычислите интеграл от разности. Площадь не бывает отрицательной.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Первообразная суммы по таблице

    Найдите все первообразные функции f(x)=f(x) ={}4x3− 4x^3 -{}1x2+ \frac{1}{x^2} +{}2cos⁡x 2\cos x.

  2. 2.Первообразная, проходящая через точку

    Найдите первообразную функции f(x)=8x−3f(x) = 8x - 3, график которой проходит через точку M(1;9)M(1; 9) на координатной плоскости.

  3. 3.Определённый интеграл

    Вычислите ∫13(6x2−4x+1) dx\int_1^3 (6x^2 - 4x + 1)\,dx.

  4. 4.Площадь между параболой и прямой

    Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=−x2+4xy = -x^2 + 4x и прямой y=xy = x.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Для функции f(x)=3x2−6x+3f(x) = 3x^2 - 6x + 3 укажите первообразную, график которой проходит через точку M(−1;−6)M(-1; -6).

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Вычислите интеграл ∫24(3x2+5) dx\int_{2}^{4} (3x^2 + 5)\,dx.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Вычислите интеграл ∫−12(−4x+4) dx\int_{-1}^{2} (-4x + 4)\,dx.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2y = x^2 и прямой y=2xy = 2x.

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 4.

Точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=3t2+2v(t) = 3t^2 + 2 (м/с), где tt — время в секундах. Найдите путь (в метрах), который точка пройдёт за промежуток времени от t=1t = 1 до t=3t = 3.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Забывают постоянное слагаемое CC там, где нужны все первообразные, и теряют его при поиске первообразной по точке.
  • Берут производную вместо первообразной или наоборот: показатель степени надо не уменьшать, а увеличивать, и делить на новый показатель.
  • Не делят на коэффициент при xx внутри: первообразная cos⁡3x\cos 3x равна 13sin⁡3x\frac{1}{3}\sin 3x, а не sin⁡3x\sin 3x.
  • Меняют порядок подстановки: в формуле Ньютона — Лейбница из значения на верхнем пределе вычитают значение на нижнем.
  • Путают, какой график выше, и получают отрицательную «площадь». Вычитайте из верхней функции нижнюю.

Запомните

  • ∫xn dx=\int x^n\,dx ={}xn+1n+1+C \frac{x^{n+1}}{n+1} + C при n≠−1n \ne -1.
  • ∫abf(x) dx=\int_a^b f(x)\,dx ={}F(b)−F(a) F(b) - F(a).
  • Площадь между графиками: ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx, где на отрезке f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x).
  • Проверка первообразной — производная: F′(x)F'(x) должна дать f(x)f(x).

Вопросы и ответы

  1. 1.Что спецификация говорит о первообразной и интеграле?+
    Ответ:В спецификации профильной математики эта тема входит в строку 13 «Начала математического анализа. Решение задач с помощью математического моделирования» раздела 07. Отдельных строк про первообразные или интегралы в списке тем спецификации нет, поэтому здесь разобран стандартный школьный курс: таблица, формула Ньютона — Лейбница и площадь.
  2. 2.Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?+
    Ответ:Неопределённый интеграл — это множество всех первообразных, функция с постоянным слагаемым CC. Определённый интеграл с пределами aa и bb — число, равное F(b)−F(a)F(b) - F(a).
  3. 3.Почему в формуле Ньютона — Лейбница не нужна константа?+
    Ответ:Если взять первообразную F(x)+CF(x) + C, то в разности F(b)+C−(F(a)+C)F(b) + C - (F(a) + C) постоянные слагаемые сокращаются. Поэтому подойдёт любая первообразная, удобнее всего с C=0C = 0.
  4. 4.Как найти площадь, если график ниже оси абсцисс?+
    Ответ:Определённый интеграл от отрицательной функции даёт отрицательное число. Площадь равна его модулю или интегралу от разности «верхняя функция минус нижняя», где нижней считают график, а верхней — ось.
  5. 5.Как проверить первообразную?+
    Ответ:Продифференцируйте её: производная должна совпасть с исходной функцией. Если первообразную искали по точке, подставьте координаты этой точки в итоговую формулу и убедитесь, что равенство выполняется.
  6. 6.Как найти точки, между которыми считать площадь?+
    Ответ:Приравняйте формулы графиков и решите уравнение: корни и есть границы интегрирования. Если между ними нет третьей точки пересечения, то верхний график один и тот же на всём отрезке.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут