Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Объём и площадь поверхности тел: призма, пирамида, цилиндр, конус и шар

Объём показывает, сколько места занимает тело, а площадь поверхности — сколько материала уйдёт, чтобы его покрыть. На ЕНТ объём и площадь поверхности тел нужны в профильной математике — для призмы, пирамиды и тел вращения, а площадь поверхности — ещё и на математической грамотности, для коробок, баков и комнат. Здесь собраны формулы, порядок решения, примеры и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 09 «Стереометрия», темы 16 и 17. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 22–24 и 31–35; задания 26 и 28, если выпадет контекст «Бассейн». Спецификация ЕНТ, математическая грамотность: раздел 04 «Пространство и форма», тема 10. В наших пробных вариантах по математической грамотности — задание 10.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 09. Стереометрия

    • Тема 16. Понятие о геометрических фигурах в пространстве.
    • Тема 17. Метрические соотношения в пространстве.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, задание на основе контекста, установление соответствия

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 22–24 и 31–35; задания 26 и 28, если выпадет контекст «Бассейн».

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

  • Математическая грамотность

    Раздел 04. Пространство и форма

    • Тема 10. Логические задачи на применение формулы площади поверхности геометрических тел

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из пяти

    В наших пробных вариантах — задание 10.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • У призмы объём равен площади основания SS, умноженной на высоту: V=S⋅hV = S \cdot h. Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями aa, bb, cc: V=abcV = abc, площадь поверхности S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac).
  • У пирамиды объём втрое меньше, чем у призмы с тем же основанием и той же высотой: V=V ={}13S⋅h \frac{1}{3} S \cdot h, где SS — площадь основания. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — половина периметра основания, умноженная на апофему.
  • У цилиндра с радиусом основания rr и высотой hh: V=πr2hV = \pi r^2 h, площадь боковой поверхности равна 2πrh2\pi r h, полной — 2πr(r+h)2\pi r(r + h).
  • У конуса: V=V ={}13πr2h \frac{1}{3}\pi r^2 h; образующая l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}, а площадь боковой поверхности равна πrl\pi r l, полной — πr(r+l)\pi r(r + l).
  • У шара радиуса RR: V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3, площадь сферы S=4πR2S = 4\pi R^2.
  • Объём измеряют в кубических единицах, площадь — в квадратных. Удобно помнить, что 1 дм³ — это 1 литр, а 1 м³ — 1000 литров.
rhl

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Определите тело и что именно найти

    Призма, пирамида, цилиндр, конус или шар? Спрашивают объём, площадь боковой поверхности или полной? От ответа зависит формула.

  2. 2.Выпишите данные в одних единицах

    Если размеры даны в сантиметрах и дециметрах вперемешку, переведите всё в одну единицу до вычислений, а не после.

  3. 3.Найдите недостающий размер

    Высоту, образующую или апофему находят по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника внутри тела: у конуса l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2.

  4. 4.Подставьте в формулу и сократите

    Оставляйте π\pi буквой, если в вариантах ответа он тоже записан буквой. Если в условии сказано считать π≈3,14\pi \approx 3{,}14, умножайте на 3,143{,}14 в самом конце.

  5. 5.Проверьте единицы и порядок числа

    Объём — в кубических единицах, площадь — в квадратных. Сравните ответ с размерами: объём коробки с измерениями 2, 3 и 4 дм не может быть 240 дм³.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Призма с прямоугольным треугольником в основании

    Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, высота призмы 10 см. Найдите объём призмы и площадь её полной поверхности.

  2. 2.Сколько литров в цилиндрическом баке

    Бак имеет форму цилиндра с радиусом основания 5 дм и высотой 8 дм. Сколько литров воды в нём помещается? Считайте, что π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

  3. 3.Правильная четырёхугольная пирамида

    Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, высота — 4 см. Найдите её объём и площадь полной поверхности.

  4. 4.Объём и площадь поверхности шара

    Радиус шара равен 6 см. Найдите его объём и площадь его поверхности.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 5 см. Установите соответствие между величинами и их значениями.
1. Объем цилиндра (в кубических сантиметрах)
2. Площадь боковой поверхности цилиндра (в квадратных сантиметрах)

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Задание на основе контекста

Бассейн спортивной школы

Во дворе спортивной школы построили открытый бассейн в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 20 м, шириной 5 м и глубиной 3 м (см. рисунок). Пустой бассейн заполняют водой с помощью насоса, который подает 100 м³ воды в час. Один кубический метр воды стоит 150 тенге.

Задание 2.

Дно и стенки бассейна облицовывают плиткой. Найдите площадь облицовки.
20 м5 м3 м

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Эта тема на математической грамотности

что меняется
В спецификации математической грамотности тела названы в разделе 04 «Пространство и форма», тема 10: задачи на применение формулы площади поверхности геометрических тел. Об объёме в этой строке не сказано, поэтому здесь в центре — площадь: сколько краски, бумаги или плитки уйдёт на коробку, бак или комнату.
На математической грамотности в задании пять вариантов ответа и один верный; в наших заданиях с цилиндром величину π\pi предлагают считать равной 3,143{,}14. Главное — понять из условия, какие грани покрывают: у коробки с крышкой все шесть, у открытого бака без крышки дна и боковой поверхности хватит, у комнаты пол обычно не красят.
Задание в формате ЕНТМатематическая грамотность

Один ответ из пяти

Задание 3.

Металлический бак для воды имеет форму цилиндра с крышкой. Радиус основания бака 6 дм, высота — 10 дм. Бак покрасили снаружи целиком, включая дно. Найдите площадь покрашенной поверхности. Считайте, что π≈3,14\pi \approx 3{,}14.
6 дм10 дм

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Радиус основания конуса равен 4 см, а высота — 3 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
4 см3 см

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 9 см, а ее высота hh равна 7 см. Найдите объем пирамиды.
h9 см

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Два измерения прямоугольного параллелепипеда равны 11 см и 2 см, а его диагональ равна 15 см. Найдите третье измерение.
d11 см2 смx

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математическая грамотность

Задание 4.

Подарочную коробку с крышкой в форме прямоугольного параллелепипеда (размеры на рисунке, cc — высота) нужно оклеить снаружи цветной бумагой со всех сторон. Сколько квадратных сантиметров бумаги понадобится? Нахлёсты не учитывайте.
24 см18 смc = 11 см

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Забывают множитель 13\frac{1}{3} в объёме пирамиды и конуса и получают ответ втрое больше. Такой неверный вариант может оказаться среди ответов.
  • Путают высоту конуса с образующей: в V=V ={}13πr2h \frac{1}{3}\pi r^2 h стоит высота, а в площади боковой поверхности πrl\pi r l — образующая.
  • Считают полную поверхность там, где нужна часть: у открытого бассейна или бака без крышки одной грани нет.
  • Смешивают единицы: сантиметры с дециметрами или квадратные метры с кубическими. Переведите всё в одну единицу до вычислений.
  • Подставляют диаметр вместо радиуса. Если дан диаметр, сначала разделите его пополам.

Запомните

  • Призма и цилиндр: V=S⋅hV = S \cdot h, где SS — площадь основания.
  • Пирамида и конус: V=V ={}13S⋅h \frac{1}{3} S \cdot h.
  • Боковая поверхность: у цилиндра 2πrh2\pi r h, у конуса πrl\pi r l, где l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}.
  • Шар: V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3, S=4πR2S = 4\pi R^2.
  • 1 дм³ = 1 л, 1 м³ = 1000 л.

Вопросы и ответы

  1. 1.Какие формулы объёма нужно знать к ЕНТ?+
    Ответ:Для профильной математики — объёмы призмы и параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, а также площади их поверхностей. Спецификация называет стереометрию разделом 09: понятие о геометрических фигурах в пространстве и метрические соотношения в пространстве. В спецификации математической грамотности названа площадь поверхности геометрических тел.
  2. 2.Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?+
    Ответ:Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.
  3. 3.Чем образующая конуса отличается от высоты?+
    Ответ:Высота опускается из вершины в центр основания и перпендикулярна ему. Образующая идёт из вершины к краю основания и длиннее высоты: l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}. Объём считают через высоту, площадь боковой поверхности — через образующую.
  4. 4.Как перевести кубические дециметры в литры?+
    Ответ:Один кубический дециметр равен одному литру, поэтому число не меняется: 628 дм³ — это 628 литров. Один кубический метр — это 1000 литров, а один литр — 1000 кубических сантиметров.
  5. 5.Нужно ли подставлять число вместо π\pi?+
    Ответ:Смотрите на варианты ответа. Если они записаны с π\pi, оставьте его буквой. Если в условии сказано считать π≈3,14\pi \approx 3{,}14 и ответы — десятичные дроби, умножайте на 3,143{,}14 в конце, когда всё остальное уже посчитано.
  6. 6.Сколько баллов дают за задание на соответствие?+
    Ответ:В профильной математике ЕНТ задания на соответствие оцениваются до двух баллов. В наших пробных вариантах к одному условию даны два вопроса и общий список из четырёх ответов, и за каждую верно найденную пару — один балл.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут