Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Треугольник: теорема Пифагора, площадь, теоремы синусов и косинусов

Теорема Пифагора, формулы площади, теоремы синусов и косинусов — инструменты, на которых держится планиметрия профильной математики. На этой странице они собраны вместе для подготовки к ЕНТ: что и когда применять, порядок решения, четыре разобранных примера, задание в формате ЕНТ с решением и задания для самопроверки.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 08 «Планиметрия», темы 14 и 15. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 19–21 и 31–40.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 08. Планиметрия

    • Тема 14. Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур.
    • Тема 15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, установление соответствия, один или несколько правильных ответов

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 19–21 и 31–40.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • В прямоугольном треугольнике с катетами aa, bb и гипотенузой cc верна теорема Пифагора: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Верно и обратное: если для трёх сторон a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, треугольник прямоугольный. Тройки 3; 4; 53;\ 4;\ 5, 5; 12; 135;\ 12;\ 13, 8; 15; 178;\ 15;\ 17, 7; 24; 257;\ 24;\ 25 и все им пропорциональные полезно узнавать сразу.
  • Площадь треугольника: S=12ahaS = \frac{1}{2} a h_a, где hah_a — высота, проведённая к стороне aa; S=S ={}12absin⁡γ \frac{1}{2} ab \sin\gamma по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам — формула Герона S=S ={}p(p−a)(p−b)(p−c) \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, где p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2} — полупериметр. В прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов.
  • Высота, проведённая к гипотенузе, находится из двух выражений площади: 12ab=\frac{1}{2} ab ={}12ch \frac{1}{2} c h, откуда h=abch = \frac{ab}{c}. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё: a2=c⋅aca^2 = c \cdot a_c.
  • Теорема косинусов: c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2abcos⁡γ 2ab\cos\gamma, где γ\gamma — угол между сторонами aa и bb. Она связывает три стороны и один угол, а при γ=90∘\gamma = 90^\circ превращается в теорему Пифагора.
  • Теорема синусов: asin⁡α=\frac{a}{\sin\alpha} ={}bsin⁡β= \frac{b}{\sin\beta} ={}csin⁡γ= \frac{c}{\sin\gamma} ={}2R 2R, где RR — радиус описанной окружности. Она нужна, когда известны сторона и два угла либо две стороны и угол, лежащий против одной из них.
  • Углы и виды. Сумма углов треугольника равна 180∘180^\circ. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. У равностороннего треугольника со стороной aa высота равна a32\frac{a\sqrt{3}}{2}, а площадь — a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
  • Значения, которые полезно помнить наизусть: sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
ABCHabch

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Выпишите данные и сделайте чертёж

    Нарисуйте треугольник, подпишите известные стороны и углы, отметьте то, что нужно найти. Буква вершины и противоположная сторона носят одно имя: против угла AA лежит сторона BCBC.

  2. 2.Определите, с каким треугольником вы работаете

    Есть прямой угол или три стороны образуют тройку — работает теорема Пифагора. Известны две стороны и угол между ними либо три стороны — теорема косинусов. Известны сторона и два угла — теорема синусов.

  3. 3.Выберите формулу площади по данным

    Дана высота — половина произведения основания на высоту. Даны две стороны и угол между ними — половина произведения сторон на синус угла. Даны три стороны — формула Герона.

  4. 4.Подставьте числа и упростите

    Выписывайте промежуточные значения: квадраты сторон, произведения, значения синусов и косинусов. Корень извлекайте в конце, а не после каждого действия.

  5. 5.Проверьте ответ по смыслу

    Гипотенуза длиннее каждого катета, против большего угла лежит большая сторона, а каждая сторона меньше суммы двух других. Единицы площади — квадратные, единицы длины — обычные.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Гипотенуза, площадь и высота

    Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу, площадь треугольника и высоту, проведённую к гипотенузе.

  2. 2.Теорема косинусов и площадь по двум сторонам и углу

    В треугольнике ABCABC известно: AB=16AB = 16 см, AC=6AC = 6 см, ∠A=\angle A ={}60∘ 60^\circ. Найдите сторону BCBC и площадь треугольника.

  3. 3.Теорема синусов и радиус описанной окружности

    В треугольнике ABCABC угол AA равен 30∘30^\circ, угол BB равен 45∘45^\circ, сторона BC=10BC = 10 см. Найдите сторону ACAC и радиус описанной окружности.

  4. 4.Формула Герона и высота

    Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведённую к средней по длине стороне.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один или несколько правильных ответов

Задание 1.

Какие из данных троек чисел могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Катеты прямоугольного треугольника равны 4 см и 3 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
CABH4 см3 см

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 2.

Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 3.

В треугольнике ABCABC угол AA равен 30∘30^\circ, сторона BCBC равна 7 см. Найдите диаметр описанной окружности.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Берут за гипотенузу не самую длинную сторону. В равенстве a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 квадрат гипотенузы стоит один, по другую сторону знака — сумма квадратов катетов. Проверьте: гипотенуза всегда длиннее каждого катета.
  • Забывают множитель 12\frac{1}{2} в формуле площади и получают площадь прямоугольника, вдвое большую. Такой неверный вариант может оказаться среди ответов.
  • В теореме косинусов берут угол не между теми сторонами. Угол γ\gamma лежит против стороны cc, а стороны aa и bb его образуют.
  • В теореме синусов путают пары. Каждую сторону делят на синус угла, который лежит напротив неё: BCBC делят на sin⁡A\sin A, ACAC — на sin⁡B\sin B.
  • Принимают половину гипотенузы за высоту. Половина гипотенузы — это медиана, и она равна высоте только в равнобедренном прямоугольном треугольнике, а в остальных высота меньше.

Запомните

  • Пифагор: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, cc — гипотенуза.
  • Площадь: S=S ={}12aha= \frac{1}{2} a h_a ={}12absin⁡γ \frac{1}{2} ab \sin\gamma.
  • Герон: S=S ={}p(p−a)(p−b)(p−c) \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, pp — полупериметр.
  • Высота к гипотенузе: h=abch = \frac{ab}{c}.
  • Косинусов: c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2abcos⁡γ 2ab\cos\gamma. Синусов: asin⁡α=\frac{a}{\sin\alpha} ={}2R 2R.

Вопросы и ответы

  1. 1.Какие формулы площади треугольника нужно знать к ЕНТ?+
    Ответ:Три основные: половина произведения основания на высоту, половина произведения двух сторон на синус угла между ними и формула Герона по трём сторонам. Для прямоугольного треугольника площадь — половина произведения катетов, а для равностороннего со стороной aa — a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Выбирайте ту формулу, для которой в условии уже есть все данные.
  2. 2.Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов?+
    Ответ:Теорема косинусов нужна, когда известны две стороны и угол между ними либо все три стороны. Теорема синусов — когда известны сторона и два угла либо две стороны и угол против одной из них. Если в треугольнике есть прямой угол, обходятся теоремой Пифагора и определениями синуса и косинуса.
  3. 3.Как проверить, что треугольник прямоугольный?+
    Ответ:Найдите наибольшую сторону и сравните квадрат этой стороны с суммой квадратов двух других. Если они равны, треугольник прямоугольный, и наибольшая сторона — гипотенуза. Если квадрат наибольшей стороны больше суммы, угол против неё тупой, если меньше — все углы острые.
  4. 4.Чему равна высота, проведённая к гипотенузе?+
    Ответ:Она равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: h=abch = \frac{ab}{c}. Формула следует из двух выражений площади — через катеты и через гипотенузу с высотой. Например, для катетов 5 и 12 гипотенуза равна 13, а высота — 6013\frac{60}{13}.
  5. 5.Когда удобна формула Герона?+
    Ответ:Когда известны три стороны и нет ни высоты, ни углов. Сначала найдите полупериметр pp, затем подставьте его в корень из произведения p(p−a)(p−b)(p−c)p(p - a)(p - b)(p - c). Чтобы проще извлечь корень, раскладывайте числа под ним на множители.
  6. 6.Какие значения синуса и косинуса полезно помнить?+
    Ответ:Значения для углов 30∘30^\circ, 45∘45^\circ и 60∘60^\circ: синус 30∘30^\circ равен 12\frac{1}{2}, синус 45∘45^\circ равен 22\frac{\sqrt{2}}{2}, синус 60∘60^\circ равен 32\frac{\sqrt{3}}{2}. Косинусы тех же углов идут в обратном порядке. Для 120∘120^\circ косинус равен −12-\frac{1}{2}.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут