Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Векторы и координаты: длина, сумма, скалярное произведение и угол между векторами

Координаты вектора, его длина, сумма, скалярное произведение и угол между векторами, а в пространстве ещё расстояние между точками и середина отрезка — это одна небольшая тема с набором формул. Страница для подготовки к ЕНТ: ключевые формулы, порядок решения, примеры с решением, задания в формате ЕНТ с разбором и задания для самопроверки.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 08 «Планиметрия», тема 15; раздел 10 «Векторы и преобразования в пространстве», тема 18. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 19–24.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 08. Планиметрия

    • Тема 15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования.

    Раздел 10. Векторы и преобразования в пространстве

    • Тема 18. Векторы и преобразования в пространстве.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 19–24.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Вектор по двум точкам. Координаты вектора AB→\overrightarrow{AB} равны разностям координат конца и начала: AB→=\overrightarrow{AB} ={}(xB−xA; yB−yA) (x_B - x_A;\ y_B - y_A). В пространстве добавляется третья координата zB−zAz_B - z_A. Векторы AB→\overrightarrow{AB} и BA→\overrightarrow{BA} противоположны.
  • Длина и расстояние. ∣a⃗∣=|\vec{a}| ={}x2+y2 \sqrt{x^2 + y^2}, в пространстве ∣a⃗∣=|\vec{a}| ={}x2+y2+z2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Расстояние между точками AA и BB равно длине вектора AB→\overrightarrow{AB}. Середина отрезка ABAB имеет координаты, равные полусуммам координат концов: (xA+xB2; yA+yB2)\left(\frac{x_A + x_B}{2};\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).
  • Действия с векторами выполняются покоординатно: a⃗+b⃗=\vec{a} + \vec{b} ={}(x1+x2; y1+y2) (x_1 + x_2;\ y_1 + y_2), a⃗−b⃗=\vec{a} - \vec{b} ={}(x1−x2; y1−y2) (x_1 - x_2;\ y_1 - y_2), ka⃗=k\vec{a} ={}(kx1; ky1) (kx_1;\ ky_1).
  • Скалярное произведение: a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}x1x2+y1y2= x_1x_2 + y_1y_2 ={}∣a⃗∣⋅∣b⃗∣cos⁡φ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\varphi, где φ\varphi — угол между векторами. Отсюда cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}0 0.
  • Коллинеарность. Векторы коллинеарны, если один получается из другого умножением на число: b⃗=ka⃗\vec{b} = k\vec{a}. Тогда их координаты пропорциональны: x2x1=\frac{x_2}{x_1} ={}y2y1 \frac{y_2}{y_1} при ненулевых знаменателях.
  • В пространстве формулы те же, с третьей координатой: a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}x1x2+ x_1x_2 +{}y1y2+ y_1y_2 +{}z1z2 z_1z_2, а ∣AB→∣=|\overrightarrow{AB}| ={}(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2 \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.
abφO

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Запишите координаты точек и векторов

    Выпишите всё, что дано: координаты точек или готовых векторов. Если условие в пространстве, не забудьте третью координату у каждой точки.

  2. 2.Найдите вектор по точкам

    Вычтите из координат конца координаты начала. Порядок важен: вектор AB→\overrightarrow{AB} и вектор BA→\overrightarrow{BA} отличаются знаками всех координат.

  3. 3.Выберите формулу под вопрос

    Длина или расстояние — корень из суммы квадратов координат. Сумма и разность — покоординатно. Угол и перпендикулярность — через скалярное произведение. Середина отрезка — полусуммы координат.

  4. 4.Подставьте и упростите

    Считайте скалярное произведение и длины по отдельности, а потом собирайте косинус угла. Не сокращайте корни, пока не вычислены все произведения.

  5. 5.Проверьте ответ

    Длина не бывает отрицательной, косинус угла лежит между −1-1 и 11, а для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Координаты вектора, длина и сумма

    Даны точки A(1;2)A(1; 2), B(5;5)B(5; 5) и C(−3;4)C(-3; 4). Найдите координаты вектора AB→\overrightarrow{AB}, его длину и координаты вектора AB→+\overrightarrow{AB} +{}AC→ \overrightarrow{AC}.

  2. 2.Угол между векторами

    Найдите угол между векторами a⃗(3;1)\vec{a}(3; 1) и b⃗(1;2)\vec{b}(1; 2).

  3. 3.Перпендикулярные и коллинеарные векторы

    При каком значении pp векторы a⃗(p;3)\vec{a}(p; 3) и b⃗(4;−6)\vec{b}(4; -6) перпендикулярны? При каком значении pp они коллинеарны?

  4. 4.Расстояние между точками и середина отрезка в пространстве

    Даны точки A(1;−2;3)A(1; -2; 3) и B(4;2;15)B(4; 2; 15). Найдите длину отрезка ABAB и координаты его середины.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Даны точки A(1;2;0)A(1; 2; 0) и B(3;8;−3)B(3; 8; -3). Найдите координаты середины отрезка ABAB.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Даны точки A(−4;0;2)A(-4; 0; 2) и B(−6;−4;−2)B(-6; -4; -2). Найдите длину отрезка ABAB.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Даны векторы a⃗(−3;4)\vec{a}(-3; 4) и b⃗(7;−1)\vec{b}(7; -1). Найдите скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Даны векторы a⃗(2;−3)\vec{a}(2; -3) и b⃗(−5;7)\vec{b}(-5; 7). Найдите длину вектора a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Найдите косинус угла между векторами a⃗(3;4)\vec{a}(3; 4) и b⃗(4;3)\vec{b}(4; 3). Ответ запишите десятичной дробью.

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 4.

Какие из пар векторов перпендикулярны? Укажите все верные ответы.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Вычитают координаты в обратном порядке и получают вектор BA→\overrightarrow{BA} вместо AB→\overrightarrow{AB}. Все координаты тогда имеют противоположные знаки, а длина остаётся прежней, поэтому ошибка видна только в координатах.
  • Забывают извлечь корень и записывают в ответ квадрат длины, то есть сумму квадратов координат. Такой неверный вариант может оказаться среди ответов.
  • Путают скалярное произведение с вектором: скалярное произведение есть число, а не пара координат. Складывать нужно произведения соответствующих координат: x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2.
  • При нахождении середины отрезка делят на 2 только одну координату или берут разность вместо суммы. Полусумма нужна для каждой координаты.
  • Считают угол по формуле через косинус и забывают разделить скалярное произведение на произведение длин. Без деления «косинус» легко получается больше единицы, а это невозможно.

Запомните

  • AB→=\overrightarrow{AB} ={}(xB−xA; yB−yA) (x_B - x_A;\ y_B - y_A): конец минус начало.
  • ∣a⃗∣=|\vec{a}| ={}x2+y2 \sqrt{x^2 + y^2}, в пространстве — плюс z2z^2.
  • a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}x1x2+y1y2 x_1x_2 + y_1y_2, перпендикулярность — ноль.
  • cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}.
  • Середина отрезка — полусуммы координат концов.

Вопросы и ответы

  1. 1.Как найти координаты вектора по двум точкам?+
    Ответ:Из координат конца вычтите координаты начала. Для A(1;2)A(1; 2) и B(5;5)B(5; 5) вектор AB→\overrightarrow{AB} имеет координаты (4;3)(4; 3). В пространстве вычитайте так же и третью координату. Если поменять точки местами, все координаты вектора сменят знак.
  2. 2.Как найти угол между векторами?+
    Ответ:Найдите скалярное произведение, длины обоих векторов и разделите произведение на произведение длин. Получится косинус угла. По его значению определите угол, например 22\frac{\sqrt{2}}{2} даёт 45∘45^\circ, а 00 даёт 90∘90^\circ. Отрицательный косинус означает тупой угол.
  3. 3.Как проверить, что векторы перпендикулярны?+
    Ответ:Вычислите скалярное произведение: сложите произведения соответствующих координат. Если получился ноль, векторы перпендикулярны. Этот способ не требует находить углы и работает одинаково на плоскости и в пространстве, где к сумме добавляется произведение третьих координат.
  4. 4.Чем коллинеарные векторы отличаются от равных?+
    Ответ:Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и один получается из другого умножением на число. Равные векторы имеют одинаковую длину и направление, то есть множитель равен единице. Противоположные векторы коллинеарны с множителем, равным −1-1.
  5. 5.Как найти середину отрезка по координатам концов?+
    Ответ:Сложите соответствующие координаты концов и разделите каждую сумму на 2. Для точек A(2;−1;4)A(2; -1; 4) и B(6;3;−2)B(6; 3; -2) середина имеет координаты (4;1;1)(4; 1; 1). Формула одинакова на плоскости и в пространстве и отличается лишь числом координат.
  6. 6.Входят ли в тему преобразования?+
    Ответ:Строки спецификации, к которым относится страница, называются «Векторы и преобразования» (тема 15) и «Векторы и преобразования в пространстве» (тема 18). Здесь разобрана только векторная часть: координаты, длина, действия с векторами, скалярное произведение и угол. Преобразования — параллельный перенос, симметрию, поворот, гомотетию — спецификация подробнее не расписывает, и в наших пробных вариантах заданий на них нет. Повторите их по школьному учебнику геометрии.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут