Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$, une fonction linéaire $f(x) = ax$. La fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, avec $b = 0$. Sur un graphique, les deux sont des droites, mais seule celle d’une fonction linéaire passe par l’origine du repère.

Quelle est la formule d’une fonction affine ?

Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Par exemple, $f(x) = 3x + 1$ a pour coefficient directeur $3$ et pour ordonnée à l’origine $1$ : $f(0) = 1$, $f(1) = 4$, $f(2) = 7$.

Comment calculer le coefficient directeur ?

On prend deux valeurs de la fonction et on divise la variation des images par la variation des $x$ : $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Si $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$, alors $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$. Sur un graphique où un carreau vaut une unité sur chaque axe, c’est le nombre de carreaux dont la droite monte quand on avance d’un carreau.

Qu’est-ce que l’ordonnée à l’origine ?

C’est le nombre $b$ de $f(x) = ax + b$, c’est-à-dire l’image de $0$ : $f(0) = b$. Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Pour une fonction linéaire, l’ordonnée à l’origine vaut $0$.

Comment tracer la représentation graphique d’une fonction affine ?

On calcule les images de deux nombres, souvent $0$ et un nombre bien choisi, on place les deux points et on trace la droite qui les relie. Pour $f(x) = 2x - 3$ : $f(0) = -3$ et $f(3) = 3$, donc la droite passe par $(0 ; -3)$ et $(3 ; 3)$. Un troisième point sert à vérifier.

Comment trouver l’expression d’une fonction linéaire ?

Une seule valeur suffit. Si $h$ est linéaire et $h(6) = 9$, alors $h(x) = ax$ avec $6a = 9$, donc $a = 1{,}5$ et $h(x) = 1{,}5x$. On en déduit par exemple $h(10) = 15$ et $h(-4) = -6$.

Une fonction constante est-elle une fonction affine ?

Oui : une fonction constante, comme $f(x) = 4$, s’écrit $f(x) = 0 \times x + 4$. C’est une fonction affine avec $a = 0$ et $b = 4$. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses, qui coupe l’axe des ordonnées en $4$.

Quel est le lien entre fonction linéaire et proportionnalité ?

Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire $f(x) = ax$ : le coefficient $a$ est le coefficient de proportionnalité. Un tarif de $425$ € par mois donne $g(x) = 425x$, linéaire ; un tarif avec un prix fixe donne une fonction affine qui n’est pas linéaire.

Fonction affine et fonction linéaire : cours, graphique (3e)

L’essentiel

à connaître par cœur

Une fonction affine est une fonction de la forme

f(x) = ax + b

, où

a

et

b

sont deux nombres. Une fonction linéaire est une fonction de la forme

f(x) = ax

: c’est une fonction affine particulière, avec

b = 0

. Quand

a = 0

, la fonction

f(x) = b

est constante, et c’est aussi une fonction affine.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées

(0 ; b)

, car

f(0) = b

: on appelle

b

l’ordonnée à l’origine. La droite d’une fonction linéaire passe par l’origine du repère.

Le nombre

a

est le coefficient directeur : quand

x

augmente de

1

,

f(x)

augmente de

a

, ou diminue si

a

est négatif. Sur le graphique, la droite de

f(x) = 2x - 1

coupe l’axe des ordonnées en

-1

et monte de

2

carreaux quand on avance d’un carreau ; celle de

h(x) = 0{,}5x

passe par l’origine et monte d’un demi-carreau par carreau.

On calcule le coefficient directeur à partir de deux valeurs : la variation des images divisée par la variation des

x

.

a ={}

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

Par exemple, si

f(1) = 4

et

f(3) = 10

, alors

a ={}

\frac{10 - 4}{3 - 1} ={}

3

, puis

b ={}

f(1) - 3 \times 1 ={}

1

:

f(x) = 3x + 1

.

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité :

f(x) = ax

multiplie toujours par le même nombre

a

, le coefficient de proportionnalité. Une fonction affine qui n’est pas linéaire modélise, par exemple, un tarif avec un abonnement :

b

est le prix fixe,

a

le prix de chaque unité.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Reconnais la forme
Développe et réduis l’expression si besoin. Si elle s’écrit $ax + b$ , la fonction est affine ; si $b = 0$ , elle est linéaire. Un $x^2$ , ou un $x$ au dénominateur, et elle n’est ni l’une ni l’autre.
2.Lis $a$ et $b$
Dans $f(x) = -2x + 5$ , le coefficient directeur est $a = -2$ et l’ordonnée à l’origine $b = 5$ : la droite coupe l’axe des ordonnées en $5$ et descend de $2$ quand $x$ augmente de $1$ .
3.Pour tracer, calcule deux points
Deux points suffisent pour une droite : souvent $x = 0$ , qui donne $(0 ; b)$ , et une autre valeur choisie pour tomber dans le repère. Un troisième point sert de vérification. Pour une fonction linéaire, l’origine est l’un des points.
4.Pour trouver l’expression, calcule $a$ puis $b$
Avec deux valeurs $f(x_1)$ et $f(x_2)$ , calcule $a ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , puis $b$ en remplaçant dans $f(x_1) = a x_1 + b$ . Vérifie avec la seconde valeur.
5.Pour comparer deux tarifs, résous $f(x) = g(x)$
Le point d’intersection des deux droites donne le nombre pour lequel les deux tarifs coûtent autant ; de part et d’autre, le tarif le plus avantageux est celui dont la droite est la plus basse.

La rédaction attendue

La fonction

f

est de la forme

x \longmapsto ax + b

avec

a = 75

et

b = 22\,400

: c’est une fonction affine.

Elle n’est pas linéaire, car

f(0) ={}

22\,400 \neq 0

: sa représentation graphique ne passe pas par l’origine.

La fonction

g

est de la forme

x \longmapsto ax

avec

a = 425

: c’est une fonction linéaire, la dépense est proportionnelle au nombre de mois.

En partie 2, la clarté du raisonnement et la rédaction comptent pour

2

points sur l’ensemble de la partie.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Tracer la représentation graphique d’une fonction affine
Trace la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x - 3$ .
2.Trouver l’expression d’une fonction affine à partir de deux valeurs
$f$ est une fonction affine telle que $f(-1) = 7$ et $f(3) = -1$ . Détermine l’expression de $f(x)$ .
3.Reconnaître une fonction affine ou linéaire
Parmi les fonctions $k(x) = 2(x - 3) + 5$ , $m(x) = 4 - x$ , $n(x) = 3x^2$ et $p(x) = -4x$ , lesquelles sont affines ? lesquelles sont linéaires ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Exploiter un graphique représentant la dépendance de deux grandeurs pour lire et interpréter différentes valeurs sur l’axe des abscisses ou l’axe des ordonnées. »

Dans la partie 1, en

20

minutes et sans calculatrice, les fonctions affines arrivent surtout par un graphique : lire une valeur sur l’axe des abscisses ou sur l’axe des ordonnées, reconnaître une droite qui passe par l’origine. Savoir de tête que la droite de

f(x) = ax + b

coupe l’axe des ordonnées en

b

fait gagner du temps.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans la partie 2, les fonctions affines et linéaires servent à modéliser : un tarif avec abonnement, une consommation, un remplissage. On demande d’écrire l’expression, de dire si la fonction est linéaire, d’associer chaque droite à sa fonction, de tracer une représentation graphique, puis de comparer deux offres par lecture graphique ou par le calcul.

Justifie chaque association : « cette droite passe par l’origine, c’est la fonction linéaire », « celle-ci coupe l’axe des ordonnées en

60

, c’est

g(x) = 10x + 60

».

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 8 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 2Trois tarifs de bateau : associer les courbes $C_1$ et $C_2$ à la fonction affine $g(x) = 10x + 60$ et à un autre tarif, puis tracer la fonction linéaire $x \longmapsto 25x$ .
Sujet zéro A (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 3Les fonctions $x \longmapsto 4x + 3$ et $x \longmapsto 6x$ : laquelle est une situation de proportionnalité, quelle droite représente chacune, où se coupent-elles ?
Sujet zéro B (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 3La masse d’un paquet de lessive, $f(x) = 1{,}5x + 200$ : représenter la fonction affine $f$ dans un repère, puis s’en servir.

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2025, Métropole, exercice 5 · partie B, questions 4 et 5

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Un garage propose 2 options au client :
Option Achat : prix d’achat de la voiture 22 400 €. Assurance obligatoire 75 € par mois.
Option Location : 425 € par mois, assurance comprise.
L’objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.
[…]
Partie B
On souhaite maintenant modéliser les deux options précédentes par des fonctions.
On note $x$ la durée écoulée en mois depuis la livraison de la voiture.
La fonction $g$ , permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Location, peut s’écrire sous la forme : $g(x) = 425x$ .
4. Déterminer l’expression de $f(x)$ permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Achat.
5. Sur le graphique de la page 8, on a tracé les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ .
Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois, l’option Achat est la plus avantageuse.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2025, Métropole, exercice 5 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

f

est une fonction linéaire telle que

f(4) = 4{,}8

. Calcule

f(3)

.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–1)

Soit

g

la fonction définie par

g(x) = -4x + 15

. Quel est l’antécédent de

-17

par la fonction

g

?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–1)

f

est une fonction affine telle que

f(1) = 8

et

f(4) = 17

. Donne l’expression de

f(x)

.

f(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

La salle d’escalade (5 pts)

Une salle d’escalade propose deux tarifs : • tarif A : 12 € la séance ; • tarif B : un abonnement annuel de 40 €, puis 7 € la séance. Les droites (d₁) et (d₂) du graphique ci-dessous représentent le prix payé, en euros, en fonction du nombre de séances, pour ces deux tarifs.

Question 1(1 pt)
Calcule le prix payé pour 5 séances avec chacun des deux tarifs.
Réponse rédigée
Avec le tarif A : $12 \times 5 = 60$ €. Avec le tarif B : $40 + 7 \times 5 ={}$ $40 + 35 ={}$ $75$ €. Résultat : 60 € avec le tarif A et 75 € avec le tarif B.
Barème (Kleksa)
- Prix juste avec le tarif A0,5 pt
- Prix juste avec le tarif B0,5 pt
Question 2(1,5 pts)
On note $x$ le nombre de séances, $f(x)$ le prix payé en euros avec le tarif A et $g(x)$ le prix payé avec le tarif B. Exprime $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$ , puis indique laquelle de ces deux fonctions est linéaire. Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Avec le tarif A, on paie 12 € par séance : $f(x) = 12x$ . Avec le tarif B, on paie 40 € d’abonnement et 7 € par séance : $g(x) = 7x + 40$ . La fonction $f$ est de la forme $x \mapsto ax$ : elle est linéaire. La fonction $g$ est affine, mais elle n’est pas linéaire, car $g(0) = 40$ et non 0. Conclusion : $f$ est la fonction linéaire.
Barème (Kleksa)
- Expressions de f(x) et de g(x)0,5 pt
- Fonction linéaire reconnue et justifiée0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 3(1 pt)
Associe chaque droite du graphique au tarif qu’elle représente. Justifie.
Réponse rédigée
La droite (d₁) passe par l’origine du repère : elle représente une situation de proportionnalité, c’est-à-dire la fonction linéaire $f$ du tarif A. La droite (d₂) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; 40)$ : pour 0 séance, on paie déjà les 40 € de l’abonnement. Elle représente la fonction $g$ du tarif B. Conclusion : (d₁) représente le tarif A et (d₂) le tarif B.
Barème (Kleksa)
- Association juste des deux droites aux deux tarifs0,5 pt
- Justification (passage par l’origine, ou ordonnée à l’origine)0,5 pt
Question 4(1,5 pts)
À partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux que le tarif A ? Justifie par un calcul. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Les deux tarifs coûtent le même prix lorsque $12x = 7x + 40$ , c’est-à-dire $12x - 7x = 40$ , soit $5x = 40$ , donc $x = \frac{40}{5} = 8$ . Pour 8 séances, on paie $12 \times 8 = 96$ € avec le tarif A et $40 + 7 \times 8 = 96$ € avec le tarif B. Ensuite, chaque séance de plus coûte 12 € avec le tarif A, mais seulement 7 € avec le tarif B : le tarif B devient le moins cher. Sur le graphique, après le point d’intersection des deux droites, la droite du tarif B est en dessous de celle du tarif A. Résultat : le tarif B est plus avantageux à partir de 9 séances.
Barème (Kleksa)
- Nombre de séances pour lequel les deux tarifs sont égaux (équation ou lecture graphique justifiée)0,5 pt
- Nombre de séances juste, au-delà du point d’égalité0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Croire que toute droite représente une fonction linéaire. Seule une droite qui passe par l’origine en représente une ; la droite de $f(x) ={}$ $75x + 22\,400$ coupe l’axe des ordonnées en $22\,400$ , et la fonction est affine, pas linéaire.
Calculer le coefficient directeur à l’envers. On divise la variation des images par la variation des $x$ : $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , et non l’inverse.
Confondre $a$ et $b$ . Dans $f(x) = -2x + 5$ , l’ordonnée à l’origine est $5$ , pas $-2$  ; le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$ .
Lire l’ordonnée à l’origine sur le mauvais axe. Elle se lit là où la droite coupe l’axe des ordonnées, l’axe vertical, au point d’abscisse $0$ .
Croire qu’une fonction linéaire n’est pas affine. Une fonction linéaire est une fonction affine particulière, avec $b = 0$ : $p(x) = -4x$ est à la fois linéaire et affine.

À savoir par cœur

Fonction affine : $f(x) = ax + b$ . Fonction linéaire : $f(x) = ax$ , une fonction affine avec $b = 0$ .
Représentation graphique : une droite ; pour une fonction linéaire, une droite qui passe par l’origine.
$b$ : l’ordonnée à l’origine, $f(0) = b$ . $a$ : le coefficient directeur, ce que gagne $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ .
Coefficient directeur : $a ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité, de coefficient $a$ .

Questions fréquentes

1.Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?+
Rép. :Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$ , une fonction linéaire $f(x) = ax$ . La fonction linéaire est donc une fonction affine particulière, avec $b = 0$ . Sur un graphique, les deux sont des droites, mais seule celle d’une fonction linéaire passe par l’origine du repère.
2.Quelle est la formule d’une fonction affine ?+
Rép. :Une fonction affine s’écrit $f(x) = ax + b$ , où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine. Par exemple, $f(x) = 3x + 1$ a pour coefficient directeur $3$ et pour ordonnée à l’origine $1$ : $f(0) = 1$ , $f(1) = 4$ , $f(2) = 7$ .
3.Comment calculer le coefficient directeur ?+
Rép. :On prend deux valeurs de la fonction et on divise la variation des images par la variation des $x$ : $a ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ . Si $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$ , alors $a ={}$ $\frac{10 - 4}{3 - 1} ={}$ $3$ . Sur un graphique où un carreau vaut une unité sur chaque axe, c’est le nombre de carreaux dont la droite monte quand on avance d’un carreau.
4.Qu’est-ce que l’ordonnée à l’origine ?+
Rép. :C’est le nombre $b$ de $f(x) = ax + b$ , c’est-à-dire l’image de $0$ : $f(0) = b$ . Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. Pour une fonction linéaire, l’ordonnée à l’origine vaut $0$ .
5.Comment tracer la représentation graphique d’une fonction affine ?+
Rép. :On calcule les images de deux nombres, souvent $0$ et un nombre bien choisi, on place les deux points et on trace la droite qui les relie. Pour $f(x) = 2x - 3$ : $f(0) = -3$ et $f(3) = 3$ , donc la droite passe par $(0 ; -3)$ et $(3 ; 3)$ . Un troisième point sert à vérifier.
6.Comment trouver l’expression d’une fonction linéaire ?+
Rép. :Une seule valeur suffit. Si $h$ est linéaire et $h(6) = 9$ , alors $h(x) = ax$ avec $6a = 9$ , donc $a = 1{,}5$ et $h(x) = 1{,}5x$ . On en déduit par exemple $h(10) = 15$ et $h(-4) = -6$ .
7.Une fonction constante est-elle une fonction affine ?+
Rép. :Oui : une fonction constante, comme $f(x) = 4$ , s’écrit $f(x) = 0 \times x + 4$ . C’est une fonction affine avec $a = 0$ et $b = 4$ . Sa représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses, qui coupe l’axe des ordonnées en $4$ .
8.Quel est le lien entre fonction linéaire et proportionnalité ?+
Rép. :Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire $f(x) = ax$ : le coefficient $a$ est le coefficient de proportionnalité. Un tarif de $425$ € par mois donne $g(x) = 425x$ , linéaire ; un tarif avec un prix fixe donne une fonction affine qui n’est pas linéaire.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Fonction affine et fonction linéaire : coefficient directeur, représentation graphique (3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Reconnais la forme

2.Lis $a$ et $b$

3.Pour tracer, calcule deux points

4.Pour trouver l’expression, calcule $a$ puis $b$

5.Pour comparer deux tarifs, résous $f(x) = g(x)$

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Tracer la représentation graphique d’une fonction affine

2.Trouver l’expression d’une fonction affine à partir de deux valeurs

3.Reconnaître une fonction affine ou linéaire

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2025, Métropole, exercice 5 · partie B, questions 4 et 5

Teste-toi

Exercice type brevet

La salle d’escalade (5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.

Fonction affine et fonction linéaire : coefficient directeur, représentation graphique (3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Reconnais la forme

2.Lis aaa et bbb

3.Pour tracer, calcule deux points

4.Pour trouver l’expression, calcule aaa puis bbb

5.Pour comparer deux tarifs, résous f(x)=g(x)f(x) = g(x)f(x)=g(x)

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Tracer la représentation graphique d’une fonction affine

2.Trouver l’expression d’une fonction affine à partir de deux valeurs

3.Reconnaître une fonction affine ou linéaire

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Teste-toi

Exercice type brevet

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

2.Lis $a$ et $b$

4.Pour trouver l’expression, calcule $a$ puis $b$

5.Pour comparer deux tarifs, résous $f(x) = g(x)$