Quelles sont les identités remarquables au brevet ?

Pour les brevets 2027 et 2028, le programme n’en demande qu’une : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, pour factoriser une différence de deux carrés ou pour développer un produit du type $(x + 4)(x - 4)$. Les identités $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ne seront exigibles qu’au brevet 2029. Avant, tu développes un carré par double distributivité.

Comment développer une expression ?

Avec un seul facteur devant la parenthèse, multiplie-le par chaque terme : $5(x - 3) = 5x - 15$. Avec deux parenthèses, multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, puis réduis : $(3x - 2)(x + 4) = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$.

Comment factoriser une expression ?

Cherche d’abord un facteur commun à tous les termes et sors-le : $6x^2 + 15x = 3x(2x + 5)$. S’il n’y en a pas, regarde si l’expression est une différence de deux carrés : $49x^2 - 16 = (7x - 4)(7x + 4)$. Vérifie toujours en développant ta réponse.

Qu’est-ce que la double distributivité ?

C’est la règle pour développer le produit de deux sommes : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne quatre produits. Elle est abordée en 3e, dans le prolongement de la distributivité simple.

Comment réduire une expression littérale ?

Regroupe les termes de même nature et additionne leurs coefficients : les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble. Ainsi $4x^2 - 3x + 7 - x^2 + 5x - 2 = 3x^2 + 2x + 5$. Des termes de natures différentes, comme $3x$ et $5$, ne s’additionnent pas.

Comment vérifier un développement ou une factorisation ?

Remplace la lettre par une valeur simple, comme $1$ ou $2$, dans l’expression de départ et dans ton résultat : les deux calculs doivent donner le même nombre. Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur. Si c’est le cas, ce n’est pas une preuve, mais une bonne vérification.

Qu’est-ce qu’un programme de calcul ?

C’est une suite d’instructions appliquées à un nombre choisi au départ : ajouter, multiplier, élever au carré. En appelant $x$ ce nombre, on traduit le programme par une expression littérale, que l’on développe ou factorise pour montrer une propriété ou résoudre une équation. Au brevet, c’est la forme la plus fréquente du calcul littéral en partie 2.

Le calcul littéral, c’est en quelle classe ?

On le commence en 5e avec les formules et la distributivité simple pour réduire. En 4e, on développe, factorise et réduit avec la distributivité simple. En 3e viennent la double distributivité et la factorisation de $a^2 - b^2$. Au brevet, tout le cycle 4 peut être demandé.

Identité remarquable et calcul littéral : développer, factoriser

L’essentiel

à connaître par cœur

Une expression littérale contient des lettres qui désignent des nombres. On écrit

3x

pour

3 \times x

,

x^2

pour

x \times x

et

ab

pour

a \times b

. Réduire, c’est regrouper les termes de même nature :

3x - 7 + 5x + 2 = 8x - 5

et

2x^2 + x^2 = 3x^2

, mais

3x + 5

ne se réduit pas.

Développer, c’est transformer un produit en somme ; factoriser, c’est transformer une somme en produit. Les deux s’appuient sur la distributivité :

Propriété	Formule	Exemple
Distributivité simple	$k(a + b) = ka + kb$	$5(x - 3) = 5x - 15$
Double distributivité	$(a + b)(c + d) ={}$ $ac + ad + bc + bd$	$(2x + 1)(x - 3) ={}$ $2x^2 - 5x - 3$
Identité remarquable	$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$	$x^2 - 9 ={}$ $(x - 3)(x + 3)$

Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

-2(x + 4) = -2x - 8

et

-(2x - 5) = -2x + 5

.

Identités remarquables : au programme de 2020, qui vaut pour les brevets 2027 et 2028, une seule est à connaître par cœur,

a^2 - b^2 ={}

(a - b)(a + b)

, et on l’utilise dans les deux sens. Pour factoriser :

4x^2 - 25 ={}

(2x)^2 - 5^2 ={}

(2x - 5)(2x + 5)

. Pour développer :

(x + 4)(x - 4) ={}

x^2 - 16

.

Les deux autres identités,

(a + b)^2 ={}

a^2 + 2ab + b^2

et

(a - b)^2 ={}

a^2 - 2ab + b^2

, entrent au programme de 3e à la rentrée 2028 et seront exigibles à partir du brevet 2029. D’ici là, un carré comme

(x + 3)^2

se développe par double distributivité :

(x + 3)^2 ={}

(x + 3)(x + 3) ={}

x^2 + 3x + 3x + 9 ={}

x^2 + 6x + 9

Enfin, le calcul littéral sert à prouver une propriété générale : une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres est une identité. Pour montrer qu’une égalité est fausse, un seul contre-exemple suffit.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Développer
Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, en gardant les signes, puis réduis : $(2x + 1)(x - 3) ={}$ $2x^2 - 6x + x - 3 ={}$ $2x^2 - 5x - 3$ .
2.Factoriser avec un facteur commun
Repère le facteur présent dans chaque terme et sors-le devant une parenthèse : $8x + 12 = 4(2x + 3)$ , $x^2 + 7x = x(x + 7)$ , et $(x + 2)(3x - 1) +{}$ $(x + 2)(x + 5) ={}$ $(x + 2)(4x + 4)$ .
3.Factoriser avec $a^2 - b^2$
Quand l’expression est une différence de deux carrés, écris chacun comme un carré, puis applique l’identité : $49x^2 - 16 ={}$ $(7x)^2 - 4^2 ={}$ $(7x - 4)(7x + 4)$ .
4.Vérifier
Développe ta forme factorisée pour retrouver l’expression de départ, ou remplace $x$ par une valeur simple des deux côtés : avec $x = 1$ , $(2 + 1)(1 - 3) = -6$ et $2 - 5 - 3 = -6$ .
5.Calculer de tête
L’identité sert aussi en calcul mental : $52 \times 48 ={}$ $(50 + 2)(50 - 2) ={}$ $50^2 - 2^2 ={}$ $2\,500 - 4 ={}$ $2\,496$ .

La rédaction attendue

Pour montrer qu’une égalité est vraie pour tout nombre, pars d’un membre et transforme-le jusqu’à l’autre : « Pour tout nombre

x

,

(x + 2)(x - 2) ={}

x^2 - 2x + 2x - 4 ={}

x^2 - 4

. L’égalité est donc vraie pour tout nombre

x

. »

Pour montrer qu’elle est fausse, donne une valeur qui la met en défaut, avec les deux calculs. En partie 2, ces phrases de conclusion comptent dans les deux points de rédaction.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Réduire, puis développer
Partie 1, sans calculatrice. Réduis $A ={}$ $4x^2 - 3x + 7 - x^2 + 5x - 2$ , puis développe et réduis $B = (3x - 2)(x + 4)$ .
2.Factoriser
Partie 1, sans calculatrice. Factorise $C = 49x^2 - 16$ et $D = 6x^2 + 15x$ .
3.Démontrer une propriété
Partie 2. Montre que, pour tout nombre entier $n$ , la différence des carrés de deux entiers consécutifs, $(n + 1)^2 - n^2$ , est égale à leur somme $n + (n + 1)$ .

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Pour un nombre entier n, exprimer son double, son triple, sa moitié, son prédécesseur, son successeur, son carré. »
« Simplifier des expressions littérales. »
« Calculer la valeur d’une expression algébrique y compris avec des puissances, sans technicité excessive. »
« Développer et factoriser une expression simple. »

En partie 1, sans calculatrice, on peut te demander de réduire une expression, de calculer sa valeur pour un nombre donné, de développer ou de factoriser une expression simple, ou d’écrire en fonction de

n

le double, le triple ou le successeur d’un entier. Tu écris seulement le résultat.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, le calcul littéral arrive le plus souvent par un programme de calcul : tu le testes sur un nombre, tu l’écris en fonction de

x

, tu montres qu’il est égal à une autre expression en développant, puis tu résous une équation. Il sert aussi à exprimer une aire ou une recette en fonction de

x

. Le décompte ci-dessous ne retient que les questions qui demandent de développer, de réduire ou de factoriser ; avec les programmes de calcul, le calcul littéral revient dans environ la moitié des sujets.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 7 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 3Calculer $\left(5 + 2\sqrt{3}\right)\left(5 - 2\sqrt{3}\right)$  ; le sujet note lui-même « Automatiser l’identité remarquable $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ ».
Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 6Réduire $3a - 1 - 4(2a + 3)$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 5Factoriser $9x^2 - 25$ .
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3Un programme de calcul à écrire en fonction de $x$ , puis à mettre sous la forme $(x + 5)(x - 1)$ .
Sujet zéro A (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 2Un programme de calcul qui conduit au produit $(2x - 3)(2x + 3)$ .

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2022, Amérique du Sud, exercice 1 · affirmation 5

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Voici six affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
[…]
5) Affirmation 5 : pour tout nombre $x$ , on a : $(x + 5)^2 - 4 ={}$ $(x + 1)(x + 9)$ .

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2022, Amérique du Sud, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite

Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Calculer

(5 + 2\sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3})

.

Question 3 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Question 2. (0–0,5)

Réduire l’expression :

3a - 1 - 4(2a + 3)

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Question 6 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Question 3. (0–1)

Développe et réduis l’expression

E = (3x - 4)(5x + 8)

.

E =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

Factorise l’expression

F = 4x^2 - 9

.

F =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 5. (0–0,5)

n

désigne un nombre entier. Écris, en fonction de

n

, le triple de

n

diminué de 2.

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

Le cadre photo (5 pts)

Lina veut encadrer une photo rectangulaire de 15 cm de long et 12 cm de large. Le cadre a la même largeur tout autour de la photo ; cette largeur, en centimètres, est notée

x

. La photo et son cadre forment un grand rectangle (voir figure, où le cadre est la partie grisée).

Question 1(1 pt)
Dans cette question, la largeur du cadre est de 5 cm. Calcule l’aire du cadre.
Réponse rédigée
Le grand rectangle mesure $15 + 2 \times 5 = 25$ cm de long et $12 + 2 \times 5 = 22$ cm de large. Son aire est $25 \times 22 = 550$ cm². L’aire de la photo est $15 \times 12 = 180$ cm². L’aire du cadre est la différence des deux aires : $550 - 180 = 370$ cm². Résultat : l’aire du cadre est de 370 cm².
Barème (Kleksa)
- Dimensions du grand rectangle0,5 pt
- Aire du cadre juste, obtenue par différence ou par découpage0,5 pt
Question 2(1,5 pts)
Montre que, pour tout nombre positif $x$ , l’aire du cadre, en cm², est égale à $4x^2 + 54x$ . Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Le grand rectangle mesure $(15 + 2x)$ cm de long et $(12 + 2x)$ cm de large. L’aire du cadre est l’aire du grand rectangle moins l’aire de la photo : $(15 + 2x)(12 + 2x) -{}$ $15 \times 12 ={}$ $180 +{}$ $30x +{}$ $24x +{}$ $4x^2 -{}$ $180 ={}$ $4x^2 + 54x$ . Conclusion : l’aire du cadre est bien égale à $4x^2 + 54x$ cm².
Barème (Kleksa)
- Aire du grand rectangle exprimée en fonction de x0,5 pt
- Développement et réduction justes0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 3(0,5 pt)
Factorise l’expression $4x^2 + 54x$ .
Réponse rédigée
Les deux termes ont $2x$ en facteur commun : $4x^2 + 54x ={}$ $2x \times 2x +{}$ $2x \times 27 ={}$ $2x(2x + 27)$ . Conclusion : $4x^2 + 54x ={}$ $2x(2x + 27)$ .
Barème (Kleksa)
- Facteur commun mis en évidence et factorisation juste0,5 pt
Question 4(2 pts)
Lina veut que le grand rectangle ait un périmètre de 74 cm. Quelle doit être la largeur du cadre ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Le grand rectangle mesure $(15 + 2x)$ cm sur $(12 + 2x)$ cm. Son périmètre, en cm, est : $2 \times (15 + 2x + 12 + 2x) ={}$ $2 \times (27 + 4x) ={}$ $54 + 8x$ . On résout l’équation $54 + 8x = 74$ : $8x = 74 - 54 = 20$ , donc $x = \frac{20}{8} = 2{,}5$ . Résultat : le cadre doit avoir une largeur de 2,5 cm.
Barème (Kleksa)
- Périmètre exprimé en fonction de x et mise en équation0,5 pt
- Résolution juste de l’équation0,5 pt
- Largeur du cadre juste0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Oublier le double produit : $(x + 4)^2$ n’est pas $x^2 + 16$ . Développe $(x + 4)(x + 4)$ , ou teste avec $x = 1$ : $(1 + 4)^2 = 25$ , alors que $1^2 + 16 = 17$ .
Ne changer qu’un signe après un moins : $-(2x - 5) = -2x + 5$ , et $-3(x - 4) = -3x + 12$ .
Réduire ce qui ne se réduit pas : $3x + 2$ n’est pas $5x$ . Avec $x = 2$ , $3x + 2 = 8$ alors que $5x = 10$ .
Confondre somme et produit de carrés : $x^2 + x^2 = 2x^2$ , alors que $x^2 \times x^2 ={}$ $x^4$ .
Vouloir factoriser une somme de carrés avec l’identité : $x^2 - 9 ={}$ $(x - 3)(x + 3)$ , mais $x^2 + 9$ ne se factorise pas ainsi.

À savoir par cœur

$k(a + b) = ka + kb$ .
$(a + b)(c + d) ={}$ $ac + ad + bc + bd$ .
$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ , dans les deux sens.
Un moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes.

Questions fréquentes

1.Quelles sont les identités remarquables au brevet ?+
Rép. :Pour les brevets 2027 et 2028, le programme n’en demande qu’une : $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ , pour factoriser une différence de deux carrés ou pour développer un produit du type $(x + 4)(x - 4)$ . Les identités $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ et $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ ne seront exigibles qu’au brevet 2029. Avant, tu développes un carré par double distributivité.
2.Comment développer une expression ?+
Rép. :Avec un seul facteur devant la parenthèse, multiplie-le par chaque terme : $5(x - 3) = 5x - 15$ . Avec deux parenthèses, multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, puis réduis : $(3x - 2)(x + 4) ={}$ $3x^2 + 12x - 2x - 8 ={}$ $3x^2 + 10x - 8$ .
3.Comment factoriser une expression ?+
Rép. :Cherche d’abord un facteur commun à tous les termes et sors-le : $6x^2 + 15x ={}$ $3x(2x + 5)$ . S’il n’y en a pas, regarde si l’expression est une différence de deux carrés : $49x^2 - 16 ={}$ $(7x - 4)(7x + 4)$ . Vérifie toujours en développant ta réponse.
4.Qu’est-ce que la double distributivité ?+
Rép. :C’est la règle pour développer le produit de deux sommes : $(a + b)(c + d) ={}$ $ac + ad + bc + bd$ . Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne quatre produits. Elle est abordée en 3e, dans le prolongement de la distributivité simple.
5.Comment réduire une expression littérale ?+
Rép. :Regroupe les termes de même nature et additionne leurs coefficients : les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble. Ainsi $4x^2 - 3x + 7 - x^2 + 5x - 2 ={}$ $3x^2 + 2x + 5$ . Des termes de natures différentes, comme $3x$ et $5$ , ne s’additionnent pas.
6.Comment vérifier un développement ou une factorisation ?+
Rép. :Remplace la lettre par une valeur simple, comme $1$ ou $2$ , dans l’expression de départ et dans ton résultat : les deux calculs doivent donner le même nombre. Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur. Si c’est le cas, ce n’est pas une preuve, mais une bonne vérification.
7.Qu’est-ce qu’un programme de calcul ?+
Rép. :C’est une suite d’instructions appliquées à un nombre choisi au départ : ajouter, multiplier, élever au carré. En appelant $x$ ce nombre, on traduit le programme par une expression littérale, que l’on développe ou factorise pour montrer une propriété ou résoudre une équation. Au brevet, c’est la forme la plus fréquente du calcul littéral en partie 2.
8.Le calcul littéral, c’est en quelle classe ?+
Rép. :On le commence en 5e avec les formules et la distributivité simple pour réduire. En 4e, on développe, factorise et réduit avec la distributivité simple. En 3e viennent la double distributivité et la factorisation de $a^2 - b^2$ . Au brevet, tout le cycle 4 peut être demandé.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Calcul littéral : développer, factoriser et identité remarquable (5e, 4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Développer

2.Factoriser avec un facteur commun

3.Factoriser avec $a^2 - b^2$

4.Vérifier

5.Calculer de tête

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Réduire, puis développer

2.Factoriser

3.Démontrer une propriété

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2022, Amérique du Sud, exercice 1 · affirmation 5

Teste-toi

Exercice type brevet

Le cadre photo (5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.

Calcul littéral : développer, factoriser et identité remarquable (5e, 4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Développer

2.Factoriser avec un facteur commun

3.Factoriser avec a2−b2a^2 - b^2a2−b2

4.Vérifier

5.Calculer de tête

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Réduire, puis développer

2.Factoriser

3.Démontrer une propriété

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Teste-toi

Exercice type brevet

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

3.Factoriser avec $a^2 - b^2$