Comment savoir si une fonction est convexe ?

Calcule sa dérivée seconde : si $f''(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, la fonction est convexe sur cet intervalle. Cela revient à dire que $f'$ est croissante, ou que la courbe est au-dessus de ses tangentes. Étudie le signe de $f''$ dans un tableau, après l’avoir factorisée.

Quelle est la différence entre une fonction convexe et une fonction concave ?

Une fonction convexe a une courbe au-dessus de ses tangentes et une dérivée seconde positive ; une fonction concave a une courbe au-dessous de ses tangentes et une dérivée seconde négative. Par exemple, $x \mapsto x^2$ est convexe et $x \mapsto \ln(x)$ est concave.

Qu’est-ce qu’un point d’inflexion et comment le trouver ?

C’est un point où la courbe traverse sa tangente, c’est-à-dire où la convexité change. Résous $f''(x) = 0$, puis vérifie que $f''$ change de signe en chaque solution. Calcule enfin l’ordonnée du point si l’énoncé demande ses coordonnées.

Comment lire la convexité sur le graphique de $f'$ ?

La fonction $f$ est convexe là où la courbe de $f'$ monte, c’est-à-dire où $f'$ est croissante, et concave là où elle descend. Les points d’inflexion de $f$ correspondent aux endroits où $f'$ passe d’une montée à une descente, ou l’inverse : ses extremums.

À quoi sert la convexité dans un exercice ?

Elle sert à étudier la forme d’une courbe, à localiser un point d’inflexion et à démontrer des inégalités. Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$, ce qui donne $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)$ ; on obtient par exemple $\mathrm{e}^{x} \geqslant x + 1$.

La convexité tombe-t-elle souvent au bac ?

Oui : elle est demandée dans 23 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026, souvent sous la forme « étudier la convexité de $f$ », « montrer que la courbe admet un point d’inflexion » ou « justifier que $f$ est concave ». Elle s’inscrit le plus souvent dans un exercice d’étude de fonction.

Suffit-il que $f''$ s’annule pour avoir un point d’inflexion ?

Non : il faut aussi que $f''$ change de signe. Pour $f(x) = x^4$, la dérivée seconde $12x^2$ s’annule en $0$ mais reste positive, donc la courbe ne traverse pas sa tangente et il n’y a pas de point d’inflexion.

Convexité : fonction convexe, concave, point d’inflexion — bac

L’essentiel

ce qu’il faut savoir

Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ quand sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (et, entre deux de ses points, au-dessous de la sécante qui les joint) ; elle est concave sur $I$ quand sa courbe est au-dessous de chacune de ses tangentes.
Pour une fonction $f$ deux fois dérivable sur $I$ , de dérivée seconde $f''$ , ces trois propriétés sont équivalentes : $f$ est convexe sur $I$  ; $f'$ est croissante sur $I$  ; $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ . De même, $f$ est concave sur $I$ équivaut à $f'$ décroissante, ou à $f''(x) \leqslant 0$ .
Un point d’inflexion est un point de la courbe où la convexité change : la courbe traverse sa tangente. Pour une fonction deux fois dérivable, l’abscisse $a$ d’un point d’inflexion est un nombre où $f''$ s’annule en changeant de signe.
Références : $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ sont convexes sur $\mathbb{R}$  ; $x \mapsto \ln(x)$ est concave sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$  ; $x \mapsto x^3$ est concave sur $\mathopen{]}-\infty \mathrel{;} 0]$ et convexe sur $[0 \mathrel{;} +\infty[$ , avec un point d’inflexion en $0$ .
Dérivée d’une composée : $(v \circ u)' ={}$ $(v' \circ u) \times u'$ . Par exemple $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\mathrm{e}^{u}$ . C’est elle qui sert à calculer $f'$ puis $f''$ d’une fonction comme $x \mapsto \mathrm{e}^{-2x}$ .
Inégalité de convexité : si $f$ est convexe et dérivable sur $I$ , sa courbe est au-dessus de ses tangentes, donc $f(x) \geqslant f(a) +{}$ $f'(a)(x - a)$ pour tous $x$ et $a$ de $I$ . Par exemple, $\mathrm{e}^{x} \geqslant x +{}$ $1$ pour tout réel $x$ (tangente en $0$ ).

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Calcule $f'$ puis $f''$ , en factorisant
Dérive deux fois et factorise à chaque étape : une dérivée factorisée donne son signe presque sans calcul. Avec un facteur $\mathrm{e}^{u}$ , sors-le en facteur, car l’exponentielle est strictement positive.
2.Étudie le signe de $f''$
Résous $f''(x) = 0$ puis dresse un tableau de signes sur l’intervalle d’étude. Là où $f''(x) \geqslant 0$ , la fonction est convexe ; là où $f''(x) \leqslant 0$ , elle est concave.
3.Conclus avec des intervalles et un point d’inflexion
Écris les intervalles : « $f$ est convexe sur … et concave sur … ». Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , la courbe a un point d’inflexion d’abscisse $a$ : calcule aussi son ordonnée $f(a)$ si on te demande les coordonnées.
4.Lis la convexité sur un graphique
Sur la courbe de $f$ , regarde si elle est au-dessus ou au-dessous de ses tangentes. Sur la courbe de $f'$ , la convexité de $f$ se lit sur la croissance de $f'$  ; sur celle de $f''$ , sur son signe.
5.Utilise la convexité pour une inégalité
Si $f$ est convexe, écris que la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ : $f(x) \geqslant f(a) +{}$ $f'(a)(x - a)$ . Choisis le point $a$ qui donne l’inégalité demandée, puis vérifie en calculant les deux membres.

Exemples

Cherche d’abord seul, puis compare avec le corrigé. Chaque calcul a été refait.

1.Convexité et point d’inflexion d’une fonction polynôme
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) ={}$ $2x^3 - 9x^2 + 12x$ . Étudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées de son éventuel point d’inflexion.
2.Une fonction avec une exponentielle
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) ={}$ $(2x - 1)\mathrm{e}^{-x}$ . Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$ , puis étudie la convexité de $f$ .
3.Lire la convexité sur le tableau de variations de la dérivée
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . On sait que sa dérivée $f'$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty \mathrel{;} -1]$ , croissante sur $[-1 \mathrel{;} 3]$ , puis décroissante sur $[3 \mathrel{;} +\infty[$ . Donne les intervalles où $f$ est convexe, ceux où elle est concave, et les abscisses des points d’inflexion de sa courbe.
4.Une inégalité par convexité
Montre que, pour tout réel $x$ , on a $\mathrm{e}^{x} \geqslant x +{}$ $1$ .

Une question du sujet

source : éduscol

Une vraie question d’un sujet, mot pour mot. Cherche-la avant de lire le corrigé.

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question A.2.b

Exercice 4 — Partie A

On considère la fonction

f

définie sur l’intervalle

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

par :

f(x) ={}

a +{}

\dfrac{b\ln(x + 1)}{x + 1}

, où

a

et

b

sont des réels, et

\ln

désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction

f

est deux fois dérivable sur

\mathopen{]}-1 \mathrel{;} +\infty[

. On note

f'

sa fonction dérivée et

f''

sa fonction dérivée seconde. L’objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de

a

et

b

de sorte que la courbe représentative de la fonction

f

sur

[0 \mathrel{;} +\infty[

corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous :

Repère orthonormé quadrillé, un carreau par unité, d’origine O, gradué 1 sur chaque axe ; l’axe des abscisses va un peu au-delà de 7. Sont tracées la courbe de f, avec son point A, et la droite TA, en pointillés, tangente à la courbe en A. — Ministère de l’Éducation nationale – éduscol

On précise que la droite

T_A

est la tangente à la courbe représentative de la fonction

f

au point

A(0 \mathrel{;} 1)

.

Question A.2.b

2. En utilisant le graphique : b. Donner le signe de

f''(1)

. Justifier.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Métropole, jour 1, exercice 4, question A.2.b (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol · Faire tout le sujet gratuitement

Question d’un sujetbac

Bac 2026, Polynésie, jour 1 — exercice 2, question 2

Exercice 2

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Question 2

2. On considère la fonction

g

définie sur

\mathbb{R}

par

g(x) ={}

x\mathrm{e}^{x}

. Affirmation 2 : La fonction

g

est convexe sur l’intervalle sur

[-2 \mathrel{;} +\infty[

.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, bac 2026, spécialité mathématiques, Polynésie, jour 1, exercice 2, question 2 (Licence Ouverte / etalab-2.0). Corrigé : Kleksa (non officiel). · Le sujet sur éduscol

Vu en première

les bases de première

En première, tu as étudié la dérivation : le nombre dérivé comme pente de la tangente, le lien entre le signe de

f'

et les variations de

f

, la dérivée d’un produit et d’un quotient. La convexité reprend ces idées un cran plus loin : on dérive

f'

, et le signe de

f''

décrit la façon dont la courbe tourne par rapport à ses tangentes.

Le sens de variation de

f'

joue pour la convexité le rôle que le signe de

f'

joue pour les variations de

f

: la démarche est la même (dérivée, signe, tableau), appliquée à

f'

. Pour une fonction du second degré

f(x) = ax^2 + bx + c

, tu connais déjà le résultat :

f''(x) = 2a

, donc

f

est convexe si

a > 0

et concave si

a < 0

.

Teste-toi

vérifié sur place

Choisis ou écris ta réponse et vérifie-la tout de suite : le corrigé apparaît sous l’exercice.

bac

Question 1.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) ={}

(-x^2 - 3)\mathrm{e}^{-2x}

. On admet que

f

est deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

. Déterminer

f''(x)

.

f''(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 2.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) ={}

-2x^3 + 6x^2 + 6x + 3

. Déterminer l’abscisse du point d’inflexion de la courbe représentative de

f

.

Saisis uniquement le nombre, avec une virgule comme séparateur décimal.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 3.

Soit

f

une fonction définie et deux fois dérivable sur

\mathbb{R}

. On admet que, pour tout réel

x

,

f''(x) ={}

(-x - 2)(x - 2)\mathrm{e}^{-x}

. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est exacte ?

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

bac

Question 4.

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = (-4x + 7)^4

. On admet que

f

est dérivable sur

\mathbb{R}

. Déterminer

f'(x)

.

f'(x) =

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice Kleksa au format du sujet — corrigé Kleksa.

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Les erreurs fréquentes

là où on perd des points

Tu confonds convexe et croissante. Une fonction peut être décroissante et convexe : $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est décroissante, mais sa dérivée seconde $\mathrm{e}^{-x}$ est strictement positive, donc elle est convexe.
Tu cherches un point d’inflexion là où $f'$ s’annule. C’est $f''$ qui doit s’annuler, et changer de signe : pour $f(x) = x^4$ , $f''(x) = 12x^2$ s’annule en $0$ sans changer de signe, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et il n’y a pas de point d’inflexion.
Tu inverses « convexe » et « concave ». Convexe signifie que la courbe est au-dessus de ses tangentes, concave qu’elle est au-dessous. Repère-toi avec $x \mapsto x^2$ : convexe, et sa courbe est ouverte vers le haut.
Tu ne factorises pas $f''$ . Avec $f''(x) ={}$ $(2x - 5)\mathrm{e}^{-x}$ , le signe se lit tout de suite : $\mathrm{e}^{-x}$ est strictement positif, donc $f''(x)$ a le signe de $2x - 5$ .
Tu donnes l’abscisse du point d’inflexion et rien d’autre. Quand la question demande les coordonnées, calcule aussi l’ordonnée : pour $f(x) ={}$ $2x^3 - 9x^2 + 12x$ , le point est $\left(\dfrac{3}{2} \mathrel{;} \dfrac{9}{2}\right)$ et non seulement $x = \dfrac{3}{2}$ .

À retenir

Convexe : courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$ croissante, $f''\geqslant 0$ . Concave : l’inverse.
Point d’inflexion : $f''$ s’annule en changeant de signe, et la courbe traverse sa tangente.
Dérivée d’une composée : $(v \circ u)' ={}$ $(v' \circ u) \times u'$  ; par exemple $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\mathrm{e}^{u}$ .
Si $f$ est convexe : $f(x) \geqslant f(a) +{}$ $f'(a)(x - a)$ pour tous $x$ et $a$ .
$\mathrm{e}^{x}$ est convexe sur $\mathbb{R}$  ; $\ln(x)$ est concave sur $]0 \mathrel{;} +\infty[$ .

Questions fréquentes

1.Comment savoir si une fonction est convexe ?+
Réponse :Calcule sa dérivée seconde : si $f''(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, la fonction est convexe sur cet intervalle. Cela revient à dire que $f'$ est croissante, ou que la courbe est au-dessus de ses tangentes. Étudie le signe de $f''$ dans un tableau, après l’avoir factorisée.
2.Quelle est la différence entre une fonction convexe et une fonction concave ?+
Réponse :Une fonction convexe a une courbe au-dessus de ses tangentes et une dérivée seconde positive ; une fonction concave a une courbe au-dessous de ses tangentes et une dérivée seconde négative. Par exemple, $x \mapsto x^2$ est convexe et $x \mapsto \ln(x)$ est concave.
3.Qu’est-ce qu’un point d’inflexion et comment le trouver ?+
Réponse :C’est un point où la courbe traverse sa tangente, c’est-à-dire où la convexité change. Résous $f''(x) = 0$ , puis vérifie que $f''$ change de signe en chaque solution. Calcule enfin l’ordonnée du point si l’énoncé demande ses coordonnées.
4.Comment lire la convexité sur le graphique de $f'$  ?+
Réponse :La fonction $f$ est convexe là où la courbe de $f'$ monte, c’est-à-dire où $f'$ est croissante, et concave là où elle descend. Les points d’inflexion de $f$ correspondent aux endroits où $f'$ passe d’une montée à une descente, ou l’inverse : ses extremums.
5.À quoi sert la convexité dans un exercice ?+
Réponse :Elle sert à étudier la forme d’une courbe, à localiser un point d’inflexion et à démontrer des inégalités. Si $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ , ce qui donne $f(x) \geqslant f(a) +{}$ $f'(a)(x - a)$  ; on obtient par exemple $\mathrm{e}^{x} \geqslant x +{}$ $1$ .
6.La convexité tombe-t-elle souvent au bac ?+
Réponse :Oui : elle est demandée dans 23 des 36 sujets de spécialité mathématiques de 2024 à 2026, souvent sous la forme « étudier la convexité de $f$ », « montrer que la courbe admet un point d’inflexion » ou « justifier que $f$ est concave ». Elle s’inscrit le plus souvent dans un exercice d’étude de fonction.
7.Suffit-il que $f''$ s’annule pour avoir un point d’inflexion ?+
Réponse :Non : il faut aussi que $f''$ change de signe. Pour $f(x) = x^4$ , la dérivée seconde $12x^2$ s’annule en $0$ mais reste positive, donc la courbe ne traverse pas sa tangente et il n’y a pas de point d’inflexion.

Voir aussi

Toutes les notions de maths du bac

Sources

Le contenu suit les programmes officiels ; les sujets sont ceux du ministère, publiés sur éduscol. Les explications, les exemples, les corrigés et les exercices sont les nôtres.

Page vérifiée le 26 octobre 2026

La convexité : fonctions convexes, concaves et point d’inflexion

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Calcule $f'$ puis $f''$ , en factorisant

2.Étudie le signe de $f''$

3.Conclus avec des intervalles et un point d’inflexion

4.Lis la convexité sur un graphique

5.Utilise la convexité pour une inégalité

Exemples

1.Convexité et point d’inflexion d’une fonction polynôme

2.Une fonction avec une exponentielle

3.Lire la convexité sur le tableau de variations de la dérivée

4.Une inégalité par convexité

Une question du sujet

Bac 2026, Métropole, jour 1 — exercice 4, question A.2.b

Bac 2026, Polynésie, jour 1 — exercice 2, question 2

Vu en première

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Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

Dernier exercice.

La convexité : fonctions convexes, concaves et point d’inflexion

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Calcule f′f'f′ puis f′′f''f′′, en factorisant

2.Étudie le signe de f′′f''f′′

3.Conclus avec des intervalles et un point d’inflexion

4.Lis la convexité sur un graphique

5.Utilise la convexité pour une inégalité

Exemples

1.Convexité et point d’inflexion d’une fonction polynôme

2.Une fonction avec une exponentielle

3.Lire la convexité sur le tableau de variations de la dérivée

4.Une inégalité par convexité

Une question du sujet

Vu en première

Teste-toi

Les erreurs fréquentes

À retenir

Questions fréquentes

Voir aussi

Sources

1.Calcule $f'$ puis $f''$ , en factorisant

2.Étudie le signe de $f''$