Qu’est-ce qu’une homothétie ?

C’est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point fixe, le centre, selon un nombre non nul, le rapport. L’image a la même forme et les mêmes angles que la figure de départ ; ses longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe. Avec un rapport négatif, l’image est de l’autre côté du centre.

Comment trouver le rapport d’une homothétie ?

Divise une longueur de l’image par la longueur qui lui correspond sur la figure de départ, par exemple $\dfrac{OA'}{OA}$. Mets ensuite un signe moins si l’image est de l’autre côté du centre. Avec $OA = 3$ cm et $OA' = 7{,}5$ cm de l’autre côté de $O$, le rapport est $-2{,}5$.

Comment construire l’image d’une figure par une homothétie ?

Point par point : pour chaque sommet $M$, trace la droite $(OM)$, puis place l’image à la distance $OM$ multipliée par le rapport sans son signe, du même côté de $O$ si le rapport est positif, de l’autre côté sinon. Il reste à relier les images des sommets.

Quel est l’effet d’un agrandissement sur les aires et les volumes ?

Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Doubler les dimensions d’une boîte multiplie sa surface par $4$ et son volume par $8$. À l’inverse, une réduction de rapport $0{,}5$ transforme un cube de $64$ cm³ en un cube de $8$ cm³.

L’homothétie, c’est en 4e ou en 3e ?

D’après les repères annuels de progression du cycle 4, l’agrandissement et la réduction, avec leur effet sur les longueurs, les aires et les volumes, sont étudiés en 4e ; l’homothétie, de rapport positif ou négatif, et son lien avec le théorème de Thalès, en 3e.

Quel est le lien entre l’homothétie et le théorème de Thalès ?

Si $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par une homothétie de centre $O$, les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, et les points $O$, $A$, $A'$ et $O$, $B$, $B'$ sont alignés : c’est une configuration de Thalès, emboîtée si le rapport est positif, en papillon s’il est négatif.

L’homothétie est-elle au programme du brevet ?

Oui. Les brevets de 2027 et de 2028 portent sur le programme de cycle 4 de 2020, qui la place en 3e. Le texte du nouveau programme, publié en 2026 et appliqué en 3e à partir de la rentrée 2028, ne la nomme plus : cette page sera revue pour le brevet 2029.

Brevet de maths 2027 · Espace et géométrie

Homothétie, agrandissement et réduction (4e, 3e, brevet)

Une homothétie agrandit ou réduit une figure à partir d’un point, son centre, selon un nombre, son rapport. Les angles ne changent pas, les longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe et les aires par son carré : c’est le piège classique du brevet. L’agrandissement et la réduction s’étudient en 4e, l’homothétie en 3e. Voici la définition, le rôle du signe du rapport, l’effet sur les longueurs, les aires et les volumes, des exemples corrigés et une vraie question du DNB.

4e
3e
brevet

Au programme · Espace et géométrie

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure.
Effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes.
Utiliser un rapport de réduction ou d’agrandissement (architecture, maquettes) pour calculer des longueurs, des aires, des volumes.

Enseigné en 4e, 3e (repères annuels de progression, 2019). Programme de mathématiques du cycle 4, BO n° 31 du 30 juillet 2020 — le brevet 2027 se passe encore sur ce programme.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

L’essentiel

à connaître par cœur

L’homothétie de centre

O

et de rapport

k

, un nombre non nul, transforme une figure en une figure de même forme. Si

k

est positif, l’image d’un point

M

est sur la demi-droite

[OM)

, à

k

fois la distance

OM

. Si

k

est négatif, l’image est sur la droite

(OM)

, de l’autre côté de

O

, à une distance de

O

égale à

OM

multipliée par

k

sans son signe. Le programme n’exige pas cette définition point par point : on attend surtout que tu saches construire une image et te servir de ses propriétés.

k

est plus grand que

1

, ou plus petit que

-1

, la figure est agrandie ; si

k

est strictement compris entre

-1

1

, elle est réduite. Avec

k = -1

, l’homothétie est la symétrie de centre

O

Une homothétie conserve les angles, l’alignement et le parallélisme. Elle multiplie les longueurs par la distance à zéro de

k

, c’est-à-dire par

k

sans son signe, et les aires par

k^2

Sur la figure,

A'B'C'

est l’image de

ABC

par l’homothétie de centre

O

et de rapport

2

: ses côtés sont deux fois plus longs et son aire quatre fois plus grande.

A''B''C''

est l’image de

ABC

par l’homothétie de rapport

-0{,}5

: il est de l’autre côté de

O

, tourné d’un demi-tour, ses côtés sont deux fois plus courts et son aire quatre fois plus petite.

Plus généralement, un agrandissement ou une réduction de rapport

k

, un nombre positif, multiplie les longueurs par

k

, les aires par

k^2

et les volumes par

k^3

 ; les angles ne changent pas. C’est ce qui sert pour les maquettes, les plans et les sections d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à sa base.

Le lien avec le théorème de Thalès : si

A'

B'

sont les images de

A

B

, la droite

(A'B')

est parallèle à

(AB)

\dfrac{OA'}{OA} ={}

\dfrac{OB'}{OB} ={}

\dfrac{A'B'}{AB}

est la distance à zéro du rapport. C’est une configuration de Thalès, en papillon quand le rapport est négatif.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repère le centre et le rapport
Le centre est le point qui ne bouge pas. Le signe du rapport dit si l’image est du même côté du centre que la figure, ou de l’autre côté.
2.Construis l’image d’un point
Trace la droite qui joint le centre $O$ au point $M$ , mesure $OM$ , et reporte la distance multipliée par le rapport sans son signe, du même côté de $O$ si le rapport est positif, de l’autre côté s’il est négatif.
3.Trouve le rapport
Divise une longueur de l’image par la longueur qui lui correspond sur la figure de départ, puis donne-lui un signe moins si l’image est de l’autre côté du centre.
4.Applique l’effet sur les grandeurs
Les longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe, les aires par son carré ; dans un agrandissement ou une réduction d’un solide, les volumes sont multipliés par son cube. Les angles ne changent pas.

La rédaction attendue

« L’homothétie de centre

O

et de rapport

-3

multiplie les longueurs par

3

et les aires par

(-3)^2 = 9

. L’aire du triangle image est donc égale à

9

fois l’aire du triangle de départ. »

Pour un rapport : « Le point

A'

est sur la droite

(OA)

, de l’autre côté de

O

, et

OA' = 2{,}5 \times OA

: le rapport de l’homothétie est

-2{,}5

. »

Cite toujours la propriété utilisée, longueurs, aires ou volumes, et le nombre par lequel on multiplie. En partie 2, la clarté des raisonnements et la maîtrise de la langue sont évaluées sur

2

points.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Un rapport négatif
Un triangle rectangle a des côtés de $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On construit son image par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ . Quelles sont les longueurs des côtés de l’image ? Et son aire ?
2.Une maquette, réduction de rapport 1/50
Un architecte construit la maquette d’une maison à l’échelle $\dfrac{1}{50}$ . Un mur mesure $4$ m de long, le sol d’une chambre a une aire de $20$ m², et le volume d’une pièce est de $60$ m³. Que deviennent ces mesures sur la maquette ?
3.Trouver le rapport
Le point $A'$ est l’image du point $A$ par une homothétie de centre $O$  ; $A'$ est sur la droite $(OA)$ , de l’autre côté de $O$ , avec $OA = 3$ cm et $OA' = 7{,}5$ cm. Quel est le rapport ? Quelle est l’image d’un segment de $2$ cm ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

L’homothétie n’est pas dans la liste des automatismes de la partie 1, qui cite les symétries et la translation. Mais savoir qu’un agrandissement de rapport

3

multiplie les aires par

9

se fait de tête, et sert dès qu’une figure est agrandie ou réduite.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, on te demande le rapport d’une homothétie qui transforme une figure en une autre, une longueur ou une aire de l’image, ou de dire si une affirmation sur les aires est vraie. L’agrandissement et la réduction reviennent avec les maquettes, les affiches et les sections de solides. Pour le signe du rapport, regarde si l’image est du même côté du centre. Dans les sujets de 2022 à 2025, l’homothétie apparaissait parfois dans un QCM « Par quelle transformation… ? » ; la partie 2 du nouveau brevet n’a plus de QCM.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 10 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2024, Amérique du Nord, exercice 1 · question 4 (affirmation E)

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Voici cinq affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
4) Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport (– 3).
Affirmation E : L’aire du triangle A’B’C’ est égale à 3 fois l’aire du triangle ABC.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2024, Amérique du Nord, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite

Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–1)

Le triangle K′L′M′ est l’image du triangle KLM par l’homothétie de centre O et de rapport

-3

. L’aire du triangle KLM est 4 cm². Quelle est l’aire, en cm², du triangle K′L′M′ ?

cm²

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–1)

Un solide a un volume de 3 cm³. On l’agrandit à l’échelle 3. Quel est le volume, en cm³, du solide obtenu ?

cm³

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–1)

Un terrain a une aire de 63 m². Sur une maquette, on le représente réduit à l’échelle

\frac{1}{3}

. Quelle est l’aire, en m², du terrain sur la maquette ?

m²

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

Une figure a une aire de 13 cm². On l’agrandit à l’échelle 5. Quelle est l’aire, en cm², de la figure obtenue ?

cm²

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

L’affiche de la fête (5 pts)

Pour annoncer la fête du collège, Mia agrandit une photo rectangulaire de 12 cm sur 8 cm pour en faire une affiche. L’affiche est un agrandissement de la photo : elle a la même forme, et sa longueur mesure 72 cm.

Question 1(1 pt)
Calcule le coefficient d’agrandissement.
Réponse rédigée
Le coefficient d’agrandissement est le quotient de deux longueurs correspondantes : $\frac{72}{12} = 6$ . Résultat : le coefficient d’agrandissement est 6.
Barème (Kleksa)
- Quotient de deux longueurs correspondantes0,5 pt
- Coefficient juste0,5 pt
Question 2(1 pt)
Calcule la largeur de l’affiche.
Réponse rédigée
Toutes les longueurs sont multipliées par le coefficient d’agrandissement 6 : $6 \times 8 = 48$ . Résultat : la largeur de l’affiche est de 48 cm.
Barème (Kleksa)
- Largeur de la photo multipliée par le coefficient0,5 pt
- Largeur juste0,5 pt
Question 3(1,5 pts)
Mia affirme : « L’aire de l’affiche est 6 fois plus grande que celle de la photo. » A-t-elle raison ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Aire de la photo : $12 \times 8 = 96$ cm². Aire de l’affiche : $72 \times 48 = 3456$ cm². $3456 \div 96 = 36$ : l’aire de l’affiche est 36 fois plus grande que celle de la photo, et non 6 fois. En effet, lors d’un agrandissement de coefficient 6, les longueurs sont multipliées par 6 et les aires par $6^{2} = 36$ . Conclusion : Mia a tort.
Barème (Kleksa)
- Calcul des deux aires, ou utilisation du carré du coefficient0,5 pt
- Conclusion juste : les aires sont multipliées par le carré du coefficient0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 4(1,5 pts)
Sur la photo, le logo du collège occupe une aire de 8 cm². Quelle aire occupe-t-il sur l’affiche ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Lors d’un agrandissement de coefficient 6, les aires sont multipliées par $6^{2} = 36$ . L’aire du logo sur l’affiche est donc $8 \times 36 = 288$ cm². Résultat : sur l’affiche, le logo occupe une aire de 288 cm².
Barème (Kleksa)
- Aire multipliée par le carré du coefficient0,5 pt
- Aire juste0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Multiplier les aires par le rapport : avec un rapport de $3$ , les aires sont multipliées par $9$  ; dans un agrandissement de rapport $3$ , les volumes le sont par $27$ .
Oublier le signe du rapport : avec un rapport de $-2$ , les longueurs sont bien multipliées par $2$ , mais l’image est de l’autre côté du centre.
Prendre le rapport à l’envers : c’est une longueur de l’image divisée par la longueur qui lui correspond au départ, et non l’inverse.
Croire qu’une homothétie conserve les longueurs : elle conserve les angles, l’alignement et le parallélisme, mais pas les longueurs, sauf pour un rapport de $1$ ou de $-1$ .
Oublier de convertir avec une échelle : à l’échelle $\dfrac{1}{50}$ , un mur de $4$ m mesure $0{,}08$ m sur la maquette, soit $8$ cm.

À savoir par cœur

Une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par la distance à zéro de $k$ et les aires par $k^2$ .
Un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$ , les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ .
Rapport positif : l’image est du même côté du centre ; rapport négatif : de l’autre côté.
Agrandissement si le rapport est plus grand que $1$ ou plus petit que $-1$  ; réduction s’il est strictement compris entre $-1$ et $1$ .
Les angles, l’alignement et le parallélisme sont conservés.

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce qu’une homothétie ?+
Rép. :C’est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point fixe, le centre, selon un nombre non nul, le rapport. L’image a la même forme et les mêmes angles que la figure de départ ; ses longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe. Avec un rapport négatif, l’image est de l’autre côté du centre.
2.Comment trouver le rapport d’une homothétie ?+
Rép. :Divise une longueur de l’image par la longueur qui lui correspond sur la figure de départ, par exemple $\dfrac{OA'}{OA}$ . Mets ensuite un signe moins si l’image est de l’autre côté du centre. Avec $OA = 3$ cm et $OA' = 7{,}5$ cm de l’autre côté de $O$ , le rapport est $-2{,}5$ .
3.Que change un rapport négatif ?+
Rép. :L’image est placée de l’autre côté du centre, et elle est tournée d’un demi-tour par rapport à la figure de départ. Les longueurs sont multipliées par le rapport sans son signe et les aires par son carré, qui est positif : un rapport de $-3$ multiplie les longueurs par $3$ et les aires par $9$ .
4.Comment construire l’image d’une figure par une homothétie ?+
Rép. :Point par point : pour chaque sommet $M$ , trace la droite $(OM)$ , puis place l’image à la distance $OM$ multipliée par le rapport sans son signe, du même côté de $O$ si le rapport est positif, de l’autre côté sinon. Il reste à relier les images des sommets.
5.Quel est l’effet d’un agrandissement sur les aires et les volumes ?+
Rép. :Si les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$ . Doubler les dimensions d’une boîte multiplie sa surface par $4$ et son volume par $8$ . À l’inverse, une réduction de rapport $0{,}5$ transforme un cube de $64$ cm³ en un cube de $8$ cm³.
6.L’homothétie, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :D’après les repères annuels de progression du cycle 4, l’agrandissement et la réduction, avec leur effet sur les longueurs, les aires et les volumes, sont étudiés en 4e ; l’homothétie, de rapport positif ou négatif, et son lien avec le théorème de Thalès, en 3e.
7.Quel est le lien entre l’homothétie et le théorème de Thalès ?+
Rép. :Si $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par une homothétie de centre $O$ , les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles, et les points $O$ , $A$ , $A'$ et $O$ , $B$ , $B'$ sont alignés : c’est une configuration de Thalès, emboîtée si le rapport est positif, en papillon s’il est négatif.
8.L’homothétie est-elle au programme du brevet ?+
Rép. :Oui. Les brevets de 2027 et de 2028 portent sur le programme de cycle 4 de 2020, qui la place en 3e. Le texte du nouveau programme, publié en 2026 et appliqué en 3e à partir de la rentrée 2028, ne la nomme plus : cette page sera revue pour le brevet 2029.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

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Homothétie, agrandissement et réduction (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère le centre et le rapport

2.Construis l’image d’un point

3.Trouve le rapport

4.Applique l’effet sur les grandeurs

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Un rapport négatif

2.Une maquette, réduction de rapport 1/50

3.Trouver le rapport

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Teste-toi

Exercice type brevet

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources