Quelle est la formule du théorème de Thalès ?

Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ et si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. On garde deux de ces rapports et on fait un produit en croix pour trouver la longueur cherchée.

Comment rédiger le théorème de Thalès au brevet ?

Cite les conditions (« Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, les points $A$, $N$, $C$ sont alignés et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles »), nomme le théorème, écris les trois rapports en lettres, puis remplace et conclus avec l’unité. En partie 1, la réponse suffit ; en partie 2, la rédaction est évaluée.

Qu’est-ce que la réciproque du théorème de Thalès ?

Elle prouve que deux droites sont parallèles : si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Si les rapports sont différents, la contraposée prouve que les droites ne sont pas parallèles.

Qu’est-ce que la configuration papillon ?

C’est la configuration où les points $M$ et $N$ sont de l’autre côté du point $A$ par rapport à $B$ et $C$ : les deux triangles sont opposés par le sommet, comme les ailes d’un papillon. Les égalités de rapports sont les mêmes que dans les triangles emboîtés.

Le théorème de Thalès, c’est en 4e ou en 3e ?

Les deux. D’après les repères annuels de progression du cycle 4, la configuration des triangles emboîtés et sa réciproque sont étudiées en 4e, et la configuration papillon en 3e. Au brevet, la partie 1 demande les triangles emboîtés, la partie 2 peut demander les deux.

Quelle différence entre le théorème de Thalès et celui de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore ne concerne qu’un triangle, qui doit être rectangle, et relie les carrés de ses trois côtés. Le théorème de Thalès concerne deux triangles formés par deux droites parallèles, et dit que leurs côtés sont proportionnels. Dans un exercice, le théorème de Pythagore donne souvent une longueur dont le théorème de Thalès a besoin.

Comment montrer que deux droites sont parallèles ?

Avec la réciproque du théorème de Thalès, si tu connais des longueurs. Avec les angles, si deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants sont égaux. Ou parce que les deux droites sont perpendiculaires à une même droite, comme dans la question du DNB 2022 de cette page.

Et le théorème de la droite des milieux ?

Le programme de 2020 ne le nomme pas : c’est un cas particulier du théorème de Thalès et de sa réciproque, avec des rapports égaux à $\dfrac{1}{2}$. Si $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et de $[AC]$, alors $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et $MN = \dfrac{BC}{2}$. Le nouveau programme du cycle 4, publié en 2026, l’enseigne en 4e à partir de la rentrée 2027.

Théorème de Thalès : formule, réciproque et rédaction (4e, 3e)

L’essentiel

à connaître par cœur

Les droites

(BM)

et

(CN)

se coupent en

A

. Si les droites

(MN)

et

(BC)

sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles

AMN

et

ABC

sont proportionnelles :

\dfrac{AM}{AB} ={}

\dfrac{AN}{AC} ={}

\dfrac{MN}{BC}

Chaque rapport met en haut un côté du triangle

AMN

et en bas le côté du triangle

ABC

qui lui correspond : celui qui est sur la même droite, ou qui lui est parallèle.

Le théorème vaut dans deux configurations. Dans les triangles emboîtés, étudiés en 4e,

M

est sur le segment

[AB]

et

N

sur le segment

[AC]

: le petit triangle est dans le grand. Dans le papillon, étudié en 3e,

M

et

N

sont de l’autre côté du point

A

: les deux triangles sont opposés par le sommet.

Pour calculer une longueur, on garde deux des trois rapports : celui qui contient la longueur cherchée et celui dont on connaît les deux longueurs. Un produit en croix donne le résultat.

La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles : si les points

A

,

M

,

B

d’une part et

A

,

N

,

C

d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si

\dfrac{AM}{AB} ={}

\dfrac{AN}{AC}

, alors les droites

(MN)

et

(BC)

sont parallèles.

La contraposée sert à démontrer qu’elles ne le sont pas : si

\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}

, alors les droites

(MN)

et

(BC)

ne sont pas parallèles.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repère la configuration
Trouve le point commun $A$ , les deux droites qui se coupent en $A$ et les deux droites parallèles. Le parallélisme doit être donné par l’énoncé, ou démontré avant.
2.Écris les trois rapports
En haut, les côtés du triangle $AMN$  ; en bas, les côtés correspondants du triangle $ABC$ , dans le même ordre. Les deux premiers rapports ont leurs côtés qui partent de $A$ , le troisième est $\dfrac{MN}{BC}$ .
3.Remplace et garde deux rapports
Remplace les longueurs connues, puis garde le rapport qui contient la longueur cherchée et un rapport dont tu connais les deux longueurs.
4.Fais un produit en croix
Si $\dfrac{4}{10} ={}$ $\dfrac{MN}{7{,}5}$ , alors $MN ={}$ $\dfrac{4 \times 7{,}5}{10} ={}$ $3$ .
5.Contrôle le résultat
Dans des triangles emboîtés, un côté du petit triangle est plus court que le côté correspondant du grand. Si ce n’est pas le cas, un rapport est à l’envers.

La rédaction attendue

Pour un calcul de longueur : « Les points

A

,

M

,

B

sont alignés, les points

A

,

N

,

C

sont alignés, et les droites

(MN)

et

(BC)

sont parallèles. D’après le théorème de Thalès,

\dfrac{AM}{AB} ={}

\dfrac{AN}{AC} ={}

\dfrac{MN}{BC}

, donc

\dfrac{4}{10} ={}

\dfrac{MN}{7{,}5}

et

MN ={}

\dfrac{4 \times 7{,}5}{10} ={}

3

cm. »

Pour la réciproque : « D’une part,

\dfrac{AM}{AB} ={}

\dfrac{2{,}4}{6} ={}

0{,}4

. D’autre part,

\dfrac{AN}{AC} ={}

\dfrac{3}{7{,}5} ={}

0{,}4

. Les rapports sont égaux, et les points

A

,

M

,

B

et

A

,

N

,

C

sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites

(MN)

et

(BC)

sont parallèles. »

Calcule les deux rapports séparément avant de les comparer, et cite toutes les conditions : les deux alignements et le parallélisme pour le théorème, les alignements dans le même ordre et l’égalité des rapports pour la réciproque. En partie 2, la clarté des raisonnements et la maîtrise de la langue sont évaluées sur

2

points.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Triangles emboîtés : deux longueurs
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$ , $N$ , $C$ , avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$  ; les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, comme sur la figure de gauche.
On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $BC = 7{,}5$ cm et $AN = 3{,}6$ cm. Calcule $MN$ et $AC$ .
2.Papillon : une configuration de 3e
Les points $B$ , $A$ , $M$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $C$ , $A$ , $N$  ; les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, comme sur la figure de droite.
On donne $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 9$ cm et $AM = 4$ cm. Calcule $MN$ et $AN$ .
3.Les droites sont-elles parallèles ? Réciproque et contraposée
Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A$ , $N$ , $C$ , avec $AM = 2{,}4$ cm, $AB = 6$ cm et $AN = 3$ cm.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles si $AC = 7{,}5$ cm ? Et si $AC = 7$ cm ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Reconnaître une situation d’application du théorème de Thalès dans la configuration des triangles emboîtés, mettre en place l’automatisme sur l’égalité des rapports de longueur, développer un regard critique sur les conditions d’utilisation et les résultats obtenus. »

En partie 1, sans calculatrice, seule la configuration des triangles emboîtés est un automatisme : tu écris l’égalité des rapports et tu calcules de tête, avec des nombres simples, sans rédiger. Le sujet zéro B demande même seulement d’écrire une égalité de rapports qui permet de trouver une longueur.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, avec calculatrice, le papillon et la réciproque arrivent dans des problèmes : la largeur d’une rivière, la hauteur d’un arbre, un parcours dont deux côtés doivent être parallèles. Le théorème de Thalès y suit souvent un calcul fait avec le théorème de Pythagore, et chaque étape se justifie en citant les alignements et le parallélisme.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 22 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 8Calculer une longueur dans des triangles emboîtés, les droites parallèles étant données.
Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3, question 3Calculer une longueur avec le théorème de Thalès, après une longueur obtenue par le théorème de Pythagore.
Sujet zéro A (ministère, décembre 2025) · Partie 1, question 7Calculer une longueur dans des triangles emboîtés.
Sujet zéro B (ministère, décembre 2025) · Partie 1, question 8Écrire une égalité de rapports qui permet de déterminer une longueur.

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2022, Métropole, exercice 1 · questions 1 et 2

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points C, E et D, de même que A, E et B sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)
AE = 20 pas
BE = 5 pas
BD = 1 pas
1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur AC de la rivière.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2022, Métropole, exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–1)

Sur la figure ci-dessous, les points A, U et B sont alignés, les points A, V et C sont alignés, et les droites (UV) et (BC) sont parallèles. On donne AU = 4 cm, AB = 8 cm et UV = 9 cm. Calcule la longueur BC, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–1)

Sur la figure ci-dessous, les points A, E et B sont alignés, les points A, F et C sont alignés, et les droites (EF) et (BC) sont parallèles. On donne AE = 6 cm, AB = 10 cm et BC = 8 cm. Calcule la longueur EF, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–1)

Sur la figure ci-dessous, les points A, M et B sont alignés, les points A, N et C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 6 cm, AB = 9 cm et MN = 4 cm. Calcule la longueur BC, en cm.

cm

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

Sur la figure ci-contre, dans le triangle AED, le point B appartient au segment [AE], le point C appartient au segment [AD], les droites (DE) et (CB) sont parallèles. Déterminer la longueur AE.

AE =cm

Question 8 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

L’ombre de l’arbre (4,5 pts)

Pour estimer la hauteur d’un arbre, Nina plante un bâton [DE] verticalement dans le sol. À un moment de la journée, l’extrémité de l’ombre du bâton et celle de l’ombre de l’arbre [BC] se trouvent au même point A (voir figure). Les points A, D et B sont alignés sur le sol horizontal, et les points A, E et C sont alignés. On a

DE = 1{,}2

m,

AD = 3{,}2

m et

AB = 14{,}4

m. Le bâton et l’arbre sont verticaux.

Question 1(1,5 pts)
Justifie que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Le bâton et l’arbre sont verticaux et le sol est horizontal, donc les droites (DE) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Conclusion : les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Barème (Kleksa)
- Les deux droites sont perpendiculaires à la droite (AB)0,5 pt
- Propriété citée et conclusion0,5 pt
- Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 2(1,5 pts)
On admet que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. Calcule la hauteur BC de l’arbre.
Réponse rédigée
Les points A, D, B sont alignés, les points A, E, C sont alignés, et les droites (DE) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès : $\frac{AD}{AB} ={}$ $\frac{AE}{AC} ={}$ $\frac{DE}{BC}$ , donc $\frac{3{,}2}{14{,}4} ={}$ $\frac{1{,}2}{BC}$ . On en déduit $BC ={}$ $\frac{1{,}2 \times 14{,}4}{3{,}2} ={}$ $5{,}4$ . Résultat : l’arbre mesure 5,4 m de haut.
Barème (Kleksa)
- Théorème de Thalès cité avec ses hypothèses (alignements, parallèles)0,5 pt
- Égalité des rapports écrite correctement0,5 pt
- Hauteur de l’arbre juste0,5 pt
Question 3(1 pt)
On admet que l’arbre mesure 5,4 m de haut. Calcule la longueur AC. Arrondis au dixième de mètre.
Réponse rédigée
Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore : $AC^2 ={}$ $AB^2 + BC^2 ={}$ $14{,}4^{2} + 5{,}4^{2} ={}$ $207{,}36 + 29{,}16 ={}$ $236{,}52$ , donc $AC ={}$ $\sqrt{236{,}52} \approx 15{,}4$ m. Résultat : la longueur AC est d’environ 15,4 m.
Barème (Kleksa)
- Théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B0,5 pt
- Longueur juste, arrondie au dixième0,5 pt
Question 4(0,5 pt)
On admet que l’arbre mesure 5,4 m de haut. Calcule la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ . Arrondis au degré.
Réponse rédigée
Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît le côté adjacent [AB] et le côté opposé [BC] à l’angle $\widehat{BAC}$ : $\tan(\widehat{BAC}) ={}$ $\frac{BC}{AB} ={}$ $\frac{5{,}4}{14{,}4} ={}$ $0{,}375$ , donc $\widehat{BAC} ={}$ $\arctan(0{,}375) \approx 21^\circ$ . Résultat : l’angle $\widehat{BAC}$ mesure environ 21°.
Barème (Kleksa)
- Mesure de l’angle juste (relation trigonométrique adaptée), arrondie au degré0,5 pt

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Écrire un rapport à l’envers : les trois rapports mettent en haut les côtés du même triangle. $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AC}{AN}$ ne vont pas ensemble.
Prendre $MB$ au lieu de $AB$ : les rapports portent sur les côtés des deux triangles, qui partent de $A$ . Si l’énoncé donne $AM = 4$ cm et $MB = 6$ cm, alors $AB = 10$ cm.
Appliquer le théorème sans droites parallèles : sans parallélisme, les rapports n’ont aucune raison d’être égaux.
Pour la réciproque, oublier l’ordre des points : dans un papillon, $M$ et $N$ doivent être tous les deux de l’autre côté de $A$ .
Comparer des rapports arrondis : compare des fractions, ou fais les produits en croix avec les valeurs exactes.

À savoir par cœur

Si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors $\dfrac{AM}{AB} ={}$ $\dfrac{AN}{AC} ={}$ $\dfrac{MN}{BC}$ .
Le petit triangle en haut, le grand en bas, côtés correspondants dans le même ordre.
Le produit en croix : si $\dfrac{a}{b} ={}$ $\dfrac{c}{d}$ , alors $a \times d ={}$ $b \times c$ .
La réciproque : des rapports égaux et des points alignés dans le même ordre donnent des droites parallèles.

Questions fréquentes

1.Quelle est la formule du théorème de Thalès ?+
Rép. :Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ et si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , alors $\dfrac{AM}{AB} ={}$ $\dfrac{AN}{AC} ={}$ $\dfrac{MN}{BC}$ . On garde deux de ces rapports et on fait un produit en croix pour trouver la longueur cherchée.
2.Comment rédiger le théorème de Thalès au brevet ?+
Rép. :Cite les conditions (« Les points $A$ , $M$ , $B$ sont alignés, les points $A$ , $N$ , $C$ sont alignés et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles »), nomme le théorème, écris les trois rapports en lettres, puis remplace et conclus avec l’unité. En partie 1, la réponse suffit ; en partie 2, la rédaction est évaluée.
3.Qu’est-ce que la réciproque du théorème de Thalès ?+
Rép. :Elle prouve que deux droites sont parallèles : si les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} ={}$ $\dfrac{AN}{AC}$ , alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Si les rapports sont différents, la contraposée prouve que les droites ne sont pas parallèles.
4.Qu’est-ce que la configuration papillon ?+
Rép. :C’est la configuration où les points $M$ et $N$ sont de l’autre côté du point $A$ par rapport à $B$ et $C$ : les deux triangles sont opposés par le sommet, comme les ailes d’un papillon. Les égalités de rapports sont les mêmes que dans les triangles emboîtés.
5.Le théorème de Thalès, c’est en 4e ou en 3e ?+
Rép. :Les deux. D’après les repères annuels de progression du cycle 4, la configuration des triangles emboîtés et sa réciproque sont étudiées en 4e, et la configuration papillon en 3e. Au brevet, la partie 1 demande les triangles emboîtés, la partie 2 peut demander les deux.
6.Quelle différence entre le théorème de Thalès et celui de Pythagore ?+
Rép. :Le théorème de Pythagore ne concerne qu’un triangle, qui doit être rectangle, et relie les carrés de ses trois côtés. Le théorème de Thalès concerne deux triangles formés par deux droites parallèles, et dit que leurs côtés sont proportionnels. Dans un exercice, le théorème de Pythagore donne souvent une longueur dont le théorème de Thalès a besoin.
7.Comment montrer que deux droites sont parallèles ?+
Rép. :Avec la réciproque du théorème de Thalès, si tu connais des longueurs. Avec les angles, si deux angles alternes-internes ou deux angles correspondants sont égaux. Ou parce que les deux droites sont perpendiculaires à une même droite, comme dans la question du DNB 2022 de cette page.
8.Et le théorème de la droite des milieux ?+
Rép. :Le programme de 2020 ne le nomme pas : c’est un cas particulier du théorème de Thalès et de sa réciproque, avec des rapports égaux à $\dfrac{1}{2}$ . Si $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et de $[AC]$ , alors $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ et $MN = \dfrac{BC}{2}$ . Le nouveau programme du cycle 4, publié en 2026, l’enseigne en 4e à partir de la rentrée 2027.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Théorème de Thalès et sa réciproque (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère la configuration

2.Écris les trois rapports

3.Remplace et garde deux rapports

4.Fais un produit en croix

5.Contrôle le résultat

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Triangles emboîtés : deux longueurs

2.Papillon : une configuration de 3e

3.Les droites sont-elles parallèles ? Réciproque et contraposée

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2022, Métropole, exercice 1 · questions 1 et 2

Teste-toi

Exercice type brevet

L’ombre de l’arbre (4,5 pts)

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.

Théorème de Thalès et sa réciproque (4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repère la configuration

2.Écris les trois rapports

3.Remplace et garde deux rapports

4.Fais un produit en croix

5.Contrôle le résultat

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Triangles emboîtés : deux longueurs

2.Papillon : une configuration de 3e

3.Les droites sont-elles parallèles ? Réciproque et contraposée

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

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Exercice type brevet

Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

3.Les droites sont-elles parallèles ? Réciproque et contraposée