Kleksa

Brevet de maths 2027 · Espace et géométrie

Triangles semblables et triangles égaux (4e, 3e, brevet)

Deux triangles semblables ont la même forme : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre, leurs angles sont égaux deux à deux et leurs côtés sont proportionnels. Deux triangles égaux sont superposables. Les cas d’égalité s’étudient en 4e, les triangles semblables en 3e. Voici la définition, la propriété des angles, la façon de le démontrer au brevet, des exemples corrigés et une vraie question du DNB.

  • 4e
  • 3e
  • brevet

L’essentiel

à connaître par cœur
Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre. Les côtés qui se correspondent sont dits homologues, et le coefficient de proportionnalité est le rapport d’agrandissement ou de réduction.
Propriété caractéristique : deux triangles sont semblables si, et seulement si, leurs angles sont égaux deux à deux. Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180∘180^\circ, il suffit de trouver deux paires d’angles égaux. Selon les manuels, l’une de ces deux phrases sert de définition et l’autre de propriété ; les deux sont vraies.
Sur la figure, ABCABC a pour côtés 44, 55 et 66 cm, et DEFDEF a pour côtés 66, 7,57{,}5 et 99 cm : 64=\dfrac{6}{4} ={}7,55= \dfrac{7{,}5}{5} ={}96= \dfrac{9}{6} ={}1,5 1{,}5. Les deux triangles sont semblables : DEFDEF est un agrandissement de ABCABC de rapport 1,51{,}5, et leurs angles sont égaux deux à deux.
Pour associer les sommets, range les côtés du plus petit au plus grand dans chaque triangle, ou suis les angles égaux : deux côtés homologues sont en face de deux angles égaux.
Deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables : ce sont des triangles semblables de rapport 11. En 4e, on étudie trois cas d’égalité : deux triangles sont égaux s’ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure, ou un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, ou leurs trois côtés respectivement de même longueur.
Dans la configuration du théorème de Thalès, les triangles AMNAMN et ABCABC sont semblables : leurs côtés proportionnels sont ceux des égalités de Thalès.
ABCDEF4 cm5 cm6 cm6 cm7,5 cm9 cm56°41°56°41°

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

  1. 1.Nomme les deux triangles

    Écris les deux triangles et repère leurs sommets. Un triangle rectangle, un angle commun ou deux droites parallèles sont souvent la clé.

  2. 2.Cherche deux paires d’angles égaux

    Justifie chaque égalité : deux angles droits, un angle commun aux deux triangles, des angles opposés par le sommet, des angles alternes-internes ou correspondants formés par des parallèles, ou un calcul avec la somme des angles.

  3. 3.Ou compare les rapports des côtés

    Si tu connais les six longueurs, range les côtés de chaque triangle dans l’ordre croissant et calcule les trois quotients. Il faut que les trois soient égaux.

  4. 4.Conclus et associe les sommets

    Écris « donc les triangles sont semblables », puis indique quels sommets se correspondent : c’est ce qui permet d’écrire les bons rapports.

  5. 5.Utilise le rapport

    Une longueur d’un triangle s’obtient en multipliant la longueur homologue de l’autre par le rapport d’agrandissement, ou en la divisant.

La rédaction attendue

« Dans les triangles ABCABC et CEFCEF, les angles ABC^\widehat{ABC} et CFE^\widehat{CFE} sont droits, et l’angle ACB^\widehat{ACB} est commun aux deux triangles. Les deux triangles ont donc deux angles égaux deux à deux : ils sont semblables. »
Puis, pour une longueur : « Les sommets BB et FF, CC et CC, AA et EE se correspondent, donc CFCB=\dfrac{CF}{CB} ={}CECA= \dfrac{CE}{CA} ={}EFAB \dfrac{EF}{AB}. »
Chaque égalité d’angles doit être justifiée par une propriété ou une donnée de l’énoncé : un angle qui a l’air droit sur la figure ne suffit pas. En partie 2, la clarté des raisonnements et la maîtrise de la langue sont évaluées sur 22 points.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

  1. 1.Par les longueurs des côtés

    Le triangle PQRPQR a pour côtés 33 cm, 44 cm et 66 cm, le triangle STUSTU a pour côtés 7,57{,}5 cm, 1010 cm et 1515 cm. Sont-ils semblables ?
    Même question pour un triangle de côtés 44 cm, 55 cm et 77 cm et un triangle de côtés 88 cm, 1010 cm et 1313 cm.

  2. 2.Par les angles

    Le triangle GHIGHI a deux angles de 50∘50^\circ et 60∘60^\circ. Le triangle JKLJKL a deux angles de 70∘70^\circ et 50∘50^\circ. Sont-ils semblables ?

  3. 3.Calculer une longueur avec le rapport

    Les triangles MNPMNP et RSTRST sont semblables, les sommets MM et RR, NN et SS, PP et TT se correspondant. On donne MN=3MN = 3 cm, NP=5NP = 5 cm, RS=4,5RS = 4{,}5 cm et RT=6RT = 6 cm. Calcule STST et MPMP.

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Les triangles semblables ne sont pas dans la liste des automatismes de la partie 1. Mais savoir que deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels aide sur une question de Thalès ou d’agrandissement : c’est la même proportionnalité.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, la question est souvent « Les triangles … sont-ils semblables ? » ou « Pourquoi les triangles … sont-ils semblables ? ». On répond avec deux paires d’angles égaux, en justifiant chacune : un angle droit donné ou démontré, un angle commun, des angles opposés par le sommet. Le sujet de référence n° 01 cite les triangles semblables parmi les méthodes possibles pour démontrer que deux angles sont égaux.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 4 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2025, Métropole (session de remplacement), exercice 3 · questions 2 et 3

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Sur la figure ci-contre :
ABC un triangle rectangle en B ;
les points B, E et C sont alignés ainsi que les points A, D, F et C ;
les droites (BD) et (EF) sont parallèles ;
AB = 10 cm, BC = 7,5 cm, BE = 3 cm, BD = 6 cm et CF = 2,7 cm.
1. a. Montrer que CE = 4,5 cm.
b. Démontrer que la longueur EF est égale à 3,6 cm.
2. Démontrer que le triangle CEF est rectangle en F.
3. a. Calculer la mesure de l’angle BCA^\widehat{BCA}. Arrondir au degré.
b. Les triangles ABC et CEF sont-ils semblables ?
ABCEDF

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2025, Métropole (session de remplacement), exercice 3 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–1)

Sur la figure ci-contre, dans le triangle AED, le point B appartient au segment [AE], le point C appartient au segment [AD], les droites (DE) et (CB) sont parallèles. Déterminer la longueur AE.
AEDBC6 cm3 cm15 cm

Question 8 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

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Les erreurs fréquentes

à ne pas faire
  • Croire que deux triangles semblables sont égaux : ils ont la même forme, pas forcément la même taille. Deux triangles égaux sont des triangles semblables de rapport 11.
  • Associer les mauvais côtés : deux côtés homologues sont en face de deux angles égaux. Range les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand avant de calculer les rapports.
  • Conclure avec une seule paire d’angles égaux : il en faut deux, la troisième s’en déduit par la somme des angles.
  • S’arrêter à deux rapports égaux : avec des côtés de 44, 55, 77 cm et 88, 1010, 1313 cm, les deux premiers rapports valent 22, mais le troisième non, et les triangles ne sont pas semblables.
  • Multiplier les aires par le rapport : si les longueurs sont multipliées par kk, les aires sont multipliées par k2k^2.

À savoir par cœur

  • Deux triangles sont semblables lorsque les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
  • Deux triangles sont semblables si, et seulement si, leurs angles sont égaux deux à deux ; deux paires d’angles égaux suffisent.
  • Deux côtés homologues sont en face de deux angles égaux.
  • Les trois cas d’égalité : un côté et ses deux angles adjacents, deux côtés et l’angle qu’ils forment, ou les trois côtés, respectivement égaux.

Questions fréquentes

  1. 1.Qu’est-ce que deux triangles semblables ?+
    Rép. :Ce sont deux triangles de même forme : l’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre. Leurs côtés sont proportionnels et leurs angles sont égaux deux à deux. Des triangles de côtés 44, 55, 66 cm et 66, 7,57{,}5, 99 cm sont semblables, avec un rapport de 1,51{,}5.
  2. 2.Comment montrer que deux triangles sont semblables ?+
    Rép. :Le plus souvent, en trouvant deux paires d’angles égaux, chacune justifiée : deux angles droits, un angle commun, des angles opposés par le sommet ou formés par des droites parallèles. Si l’on connaît les six longueurs, on peut aussi vérifier que les trois rapports des côtés homologues sont égaux.
  3. 3.Quelle différence entre triangles semblables et triangles égaux ?+
    Rép. :Deux triangles égaux sont superposables : mêmes angles et mêmes longueurs. Deux triangles semblables ont les mêmes angles, mais leurs longueurs peuvent être multipliées par un même nombre. Les triangles égaux sont donc des triangles semblables particuliers, de rapport 11.
  4. 4.Quels sont les cas d’égalité des triangles ?+
    Rép. :Deux triangles sont égaux s’ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure, ou un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, ou leurs trois côtés respectivement de même longueur. Ce sont les données qui suffisent pour construire un triangle de façon unique.
  5. 5.Les triangles semblables, c’est en 4e ou en 3e ?+
    Rép. :D’après les repères annuels de progression du cycle 4, les cas d’égalité des triangles sont étudiés en 4e et les triangles semblables en 3e. Au brevet, ils servent en partie 2, souvent avec le théorème de Thalès, la trigonométrie ou une homothétie.
  6. 6.Quel est le lien entre triangles semblables et théorème de Thalès ?+
    Rép. :Dans la configuration de Thalès, les triangles AMNAMN et ABCABC ont en AA un angle commun, ou deux angles opposés par le sommet dans un papillon, et deux autres angles égaux, correspondants ou alternes-internes, à cause des droites parallèles : ils sont semblables. Les égalités de rapports du théorème de Thalès sont les rapports de leurs côtés homologues.
  7. 7.Qu’est-ce qu’un triangle isométrique ?+
    Rép. :Des triangles isométriques sont des triangles égaux : ils ont les mêmes longueurs, d’où leur nom, qui veut dire « de même mesure ». Le programme du collège dit « triangles égaux » ; certains manuels et sites disent encore « triangles isométriques ».
  8. 8.Les triangles semblables sont-ils au programme du brevet ?+
    Rép. :Oui. Les brevets de 2027 et de 2028 portent sur le programme de cycle 4 de 2020, qui place les cas d’égalité en 4e et les triangles semblables en 3e. Le texte du nouveau programme, publié en 2026 et appliqué en 3e à partir de la rentrée 2028, ne les nomme plus : cette page sera revue pour le brevet 2029.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

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