Какие формулы сокращённого умножения нужно знать?

Спецификация НЦТ называет формулы сокращённого умножения в теме 04 раздела 01 «Числа», вместе с разложением многочлена и упрощением алгебраических выражений, но перечня формул не даёт. Надёжный минимум — квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма и разность кубов.

Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?

Квадрат разности $(a - b)^2$ равен $a^2 - 2ab + b^2$ — это три слагаемых. Разность квадратов $a^2 - b^2$ равна произведению $(a - b)(a + b)$. Первое — квадрат одной скобки, второе — произведение двух разных скобок.

Как запомнить формулы кубов?

Обе формулы имеют вид «первая скобка — сумма или разность, вторая — неполный квадрат». В формуле суммы кубов перед $ab$ во второй скобке стоит минус (это неполный квадрат разности), в формуле разности кубов — плюс (неполный квадрат суммы). Проверьте на $a = 2$, $b = 1$: $2^3 - 1^3 = 7$ и $(2 - 1)(4 + 2 + 1) = 7$.

Зачем читать формулу справа налево?

Так выражение раскладывают на множители, а значит, сокращают дроби, решают уравнения и считают устно. Выражение $x^2 + 6x + 9$ превращается в $(x + 3)^2$, а разность квадратов двух чисел — в произведение их разности и суммы.

Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?

Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.

Как проверить, что выражение упрощено верно?

Подставьте в исходное выражение и в результат одно и то же небольшое значение переменной, например $x = 1$ или $x = 2$. Если значения совпали, упрощение, скорее всего, верное; если нет, проверьте знаки и удвоенное произведение.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы, разность квадратов, сумма и разность кубов

Формулы сокращённого умножения нужны в профильной математике при упрощении выражений, сокращении дробей, разложении на множители и устном счёте. Здесь собраны квадрат суммы и разности, разность квадратов, кубы и порядок работы с ними, примеры с решением и задания в формате ЕНТ.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 01 «Числа», тема 04. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 2 и 3.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 01. Числа

Тема 04. Алгебраические выражения и их преобразования. Формулы. Формулы сокращенного умножения. Степень дроби. Разложение многочлена. Упрощение алгебраических выражений.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 01. Числа
- Тема 04. Алгебраические выражения и их преобразования. Формулы. Формулы сокращенного умножения. Степень дроби. Разложение многочлена. Упрощение алгебраических выражений.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх
В наших пробных вариантах — по жребию задания 2 и 3.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Квадрат суммы и квадрат разности: $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ и $(a - b)^2 ={}$ $a^2 - 2ab + b^2$ . Удвоенное произведение $2ab$ легко потерять.
Разность квадратов: $a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ . Это не то же самое, что квадрат разности $(a - b)^2$ .
Кубы: $a^3 + b^3 ={}$ $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ и $a^3 - b^3 ={}$ $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ . Куб суммы раскрывается так: $(a + b)^3 ={}$ $a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$ .
Формулы работают в обе стороны. Слева направо они раскрывают скобки, справа налево раскладывают выражение на множители или собирают его в квадрат.
Роль $a$ и $b$ может играть любое выражение: число, степень, произведение. Например, $9x^2 = (3x)^2$ , поэтому $9x^2 - 25 ={}$ $(3x - 5)(3x + 5)$ .
Формулы помогают считать устно: $a^2 - b^2$ при близких числах превращается в произведение разности на сумму.

Как решать: по шагам

по порядку

1.Узнайте форму выражения
Ищите два слагаемых в квадрате или в кубе, разность двух квадратов, трёхчлен вида $a^2 \pm 2ab + b^2$ , сумму или разность кубов.
2.Определите, что стоит на месте a и b
Запишите, чему равны $a$ и $b$ , вместе с коэффициентами: $4x^2 = (2x)^2$ , $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$ . Так удвоенное произведение не потеряется.
3.Примените формулу в нужную сторону
Если надо упростить выражение со скобками, раскройте их. Если надо сократить дробь или найти значение, разложите выражение на множители.
4.Приведите подобные слагаемые или сократите дробь
Следите за знаками: минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого в ней. Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
5.Проверьте на простом значении
Подставьте в исходное выражение и в результат одно и то же небольшое значение переменной. Если числа разные, где-то потерян знак или удвоенное произведение.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Упрощение выражения и значение
Упростите выражение $(2x - 5)^2 -{}$ $(2x + 3)(2x - 3)$ и найдите его значение при $x = 1{,}5$ .
2.Устный счёт по формуле
Вычислите значение дроби $\frac{73^2 - 27^2}{46}$ без вычисления квадратов.
3.Сокращение дроби с кубом
Сократите дробь $\frac{x^3 - 27}{x^2 - 9}$ и укажите, при каких $x$ она не определена.
4.Сумма квадратов через разность и произведение
Известно, что $a - b = 3$ и $ab = 5$ . Найдите $a^2 + b^2$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Сократите дробь:

\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 9}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Сократите дробь:

\frac{x^2 + x - 42}{x^2 - 49}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Найдите значение выражения

(x - 4)^2 - (x - 5)(x + 5)

при

x = -2

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Найдите значение выражения

(x + 3)^2 - (x - 5)(x + 5)

при

x = 1{,}5

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Какие из равенств верны при любых значениях

a

b

? Укажите все верные ответы.

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 4.

Вычислите значение выражения

\frac{25^3 + 15^3}{40}

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Пишут $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ и теряют удвоенное произведение $2ab$ . Квадрат суммы всегда состоит из трёх слагаемых.
Путают квадрат разности $(a - b)^2$ с разностью квадратов $a^2 - b^2$ : у первого три слагаемых и знак «плюс» перед $b^2$ , у второго два.
Не меняют знаки после минуса перед скобкой: в $x^2 - (x^2 - 25)$ получается $+25$ , а не $-25$ .
Берут $a$ и $b$ без коэффициентов: $9x^2 = (3x)^2$ , а не $(9x)^2$ и не $3x^2$ .
Сокращают слагаемые вместо множителей: в дроби $\frac{x^2 + 9}{x + 3}$ ничего сократить нельзя, потому что числитель не раскладывается на множители.

Запомните

$(a \pm b)^2 ={}$ $a^2 \pm 2ab + b^2$ .
$a^2 - b^2 ={}$ $(a - b)(a + b)$ .
$a^3 \pm b^3 ={}$ $(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ .
Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого в ней.
Сокращают множители, а не слагаемые.

Вопросы и ответы

1.Какие формулы сокращённого умножения нужно знать?+
Ответ:Спецификация НЦТ называет формулы сокращённого умножения в теме 04 раздела 01 «Числа», вместе с разложением многочлена и упрощением алгебраических выражений, но перечня формул не даёт. Надёжный минимум — квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумма и разность кубов.
2.Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?+
Ответ:Квадрат разности $(a - b)^2$ равен $a^2 - 2ab + b^2$ — это три слагаемых. Разность квадратов $a^2 - b^2$ равна произведению $(a - b)(a + b)$ . Первое — квадрат одной скобки, второе — произведение двух разных скобок.
3.Как запомнить формулы кубов?+
Ответ:Обе формулы имеют вид «первая скобка — сумма или разность, вторая — неполный квадрат». В формуле суммы кубов перед $ab$ во второй скобке стоит минус (это неполный квадрат разности), в формуле разности кубов — плюс (неполный квадрат суммы). Проверьте на $a = 2$ , $b = 1$ : $2^3 - 1^3 = 7$ и $(2 - 1)(4 + 2 + 1) = 7$ .
4.Зачем читать формулу справа налево?+
Ответ:Так выражение раскладывают на множители, а значит, сокращают дроби, решают уравнения и считают устно. Выражение $x^2 + 6x + 9$ превращается в $(x + 3)^2$ , а разность квадратов двух чисел — в произведение их разности и суммы.
5.Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?+
Ответ:Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.
6.Как проверить, что выражение упрощено верно?+
Ответ:Подставьте в исходное выражение и в результат одно и то же небольшое значение переменной, например $x = 1$ или $x = 2$ . Если значения совпали, упрощение, скорее всего, верное; если нет, проверьте знаки и удвоенное произведение.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы, разность квадратов, сумма и разность кубов

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Узнайте форму выражения

2.Определите, что стоит на месте a и b

3.Примените формулу в нужную сторону

4.Приведите подобные слагаемые или сократите дробь

5.Проверьте на простом значении

Примеры с решением

1.Упрощение выражения и значение

2.Устный счёт по формуле

3.Сокращение дроби с кубом

4.Сумма квадратов через разность и произведение

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники