Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Неравенства и системы неравенств: метод интервалов

У неравенства ответ не отдельные числа, а промежутки, и на этом держится вся тема. Для подготовки к ЕНТ важно уверенно владеть тремя приёмами: линейные неравенства со сменой знака, квадратные неравенства по параболе и метод интервалов для дробей. Здесь собраны правила, порядок решения, примеры с решением и задания в формате ЕНТ с разбором.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 04 «Неравенства», тема 10; раздел 05 «Системы неравенств», тема 11. В наших пробных вариантах по профильной математике — задание 10; по жребию задания 11, 25 и 36–40; задание 29, если выпадет контекст «Такси».

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 04. Неравенства

    • Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства

    Раздел 05. Системы неравенств

    • Тема 11. Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, задание на основе контекста, один или несколько правильных ответов

    В наших пробных вариантах — задание 10; по жребию задания 11, 25 и 36–40; задание 29, если выпадет контекст «Такси».

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Линейное неравенство решают как уравнение, но при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: из −2x>6-2x > 6 следует x<−3x < -3.
  • Для квадратного неравенства найдите корни трёхчлена x1<x2x_1 < x_2. При a>0a > 0 ветви параболы направлены вверх: значения больше нуля вне корней, меньше нуля между корнями. При a<0a < 0 всё наоборот.
  • Методом интервалов решают и дробные неравенства, и неравенства высоких степеней: отметьте на оси нули числителя и знаменателя, расставьте знаки на промежутках и выберите нужные. Знак меняется при переходе через корень нечётной кратности и не меняется через корень чётной.
  • Нули знаменателя всегда выколоты — на нуль делить нельзя. Нули числителя входят в ответ, если неравенство нестрогое (≤\le, ≥\ge), и не входят, если строгое.
  • В ответе строгому знаку и бесконечности соответствует круглая скобка, нестрогому — квадратная. Промежутки пишут с точкой с запятой и соединяют знаком объединения: (−∞;−3]∪[1;4)(-\infty; -3] \cup [1; 4).
  • Решение системы неравенств — общая часть решений каждого неравенства. Чтобы сосчитать целые решения, запишите промежуток и перечислите целые числа в нём с учётом того, входят ли концы.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Приведите неравенство к сравнению с нулём

    Перенесите все слагаемые в одну часть. У дробного неравенства сведите левую часть к одной дроби и разложите числитель и знаменатель на множители.

  2. 2.Найдите нули

    Приравняйте к нулю каждый множитель числителя и знаменателя. У квадратного неравенства это корни трёхчлена, их находят через дискриминант или по теореме Виета.

  3. 3.Отметьте нули на числовой оси

    Нули знаменателя — выколотые точки. Нули числителя закрашены при нестрогом знаке и выколоты при строгом.

  4. 4.Расставьте знаки на промежутках

    Определите знак в одном промежутке, подставив любое число из него, и дальше чередуйте знаки через корни нечётной кратности. Для квадратного неравенства достаточно эскиза параболы.

  5. 5.Выберите промежутки нужного знака и запишите ответ

    Для знака «меньше нуля» берите промежутки с минусом, для «больше нуля» — с плюсом. Объедините промежутки знаком ∪\cup и проверьте скобки на концах.

  6. 6.Для системы найдите общую часть и сосчитайте целые

    Решите каждое неравенство отдельно, отметьте решения на одной оси и возьмите пересечение. Если спрашивают о целых числах, перечислите их по промежутку.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Линейное неравенство со сменой знака

    Решите неравенство: 7−3x<2x+177 - 3x < 2x + 17.

  2. 2.Квадратное неравенство

    Решите неравенство: 2x2−3x−5≥02x^2 - 3x - 5 \ge 0.

  3. 3.Дробное неравенство, метод интервалов

    Решите неравенство: (x+3)(x−1)x−4≤0\frac{(x + 3)(x - 1)}{x - 4} \le 0.

  4. 4.Система с квадратным неравенством

    Решите систему неравенств и укажите, сколько у неё целых решений: {2x−1>5x2−10x+21≤0\begin{cases} 2x - 1 > 5 \\ x^2 - 10x + 21 \le 0 \end{cases}

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один или несколько правильных ответов

Задание 1.

Какие из данных чисел являются решениями системы неравенств {3x+8>0x+3≤2\begin{cases} 3x + 8 > 0 \\ x + 3 \le 2 \end{cases}? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Задание на основе контекста

Две службы такси

В городе работают две службы такси. В службе «Сапар» стоимость поездки складывается из платы за посадку 600 тенге и 120 тенге за каждый километр пути. В службе «Жол» платы за посадку нет, а каждый километр пути стоит 170 тенге. На рисунке показаны графики зависимости стоимости поездки (в тенге) от длины пути (в километрах) для обеих служб.

Задание 2.

Какое наибольшее целое число километров можно проехать в службе «Жол», имея 2540 тенге?
24681012141618202224100020003000400050000x, кмy, тенге«Сапар»«Жол»

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Решите неравенство: 5(x+5)>4x+295(x + 5) > 4x + 29.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Решите неравенство: x2+8x+12≤0x^2 + 8x + 12 \le 0.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Найдите число целых решений неравенства x−6x+3≤0\frac{x - 6}{x + 3} \le 0.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Какие из данных чисел являются решениями неравенства x2+x≤0x^2 + x \le 0? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Забывают изменить знак неравенства, когда делят или умножают обе части на отрицательное число: из −5x<10-5x < 10 получают x<−2x < -2 вместо x>−2x > -2.
  • Включают в ответ нуль знаменателя. Он выколот при любом знаке неравенства — делить на нуль нельзя.
  • Берут для x2>9x^2 > 9 ответ x>3x > 3 и теряют левый промежуток. Правильно: (−∞;−3)∪(3;+∞)(-\infty; -3) \cup (3; +\infty).
  • Не те скобки на концах: строгому знаку и бесконечности — круглая, нестрогому знаку — квадратная.
  • Считают целые решения, не проверив концы: если конец не входит, целое число на нём не считают.

Запомните

  • Делим или умножаем на отрицательное число — знак неравенства меняется.
  • Квадратное неравенство при a>0a > 0: «больше нуля» — вне корней, «меньше нуля» — между корнями.
  • Нуль знаменателя всегда выколот; нуль числителя входит при нестрогом знаке.
  • Ответ — промежутки, соединённые знаком ∪\cup; на бесконечности скобка круглая.
  • Система — общая часть решений. Целые решения считайте по промежутку с учётом концов.

Вопросы и ответы

  1. 1.Как решать неравенство методом интервалов?+
    Ответ:Приведите неравенство к сравнению с нулём и разложите на множители. Отметьте на оси нули числителя и знаменателя, расставьте знаки на промежутках: справа знак старшего коэффициента, дальше они чередуются через корни нечётной кратности. Выберите промежутки со знаком, который требует неравенство, и проверьте концы: нули знаменателя выколоты всегда.
  2. 2.Когда меняется знак неравенства?+
    Ответ:Только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Перенос слагаемого из одной части в другую со сменой знака слагаемого знак самого неравенства не меняет.
  3. 3.Чем круглая скобка отличается от квадратной в ответе?+
    Ответ:Круглая скобка означает, что конец промежутка не входит в решение, квадратная — что входит. Для бесконечности всегда ставят круглую скобку: (−∞;3](-\infty; 3], [2;+∞)[2; +\infty). Строгим знакам << и >> соответствуют круглые скобки, нестрогим ≤\le и ≥\ge — квадратные.
  4. 4.Как найти число целых решений неравенства?+
    Ответ:Сначала решите неравенство и запишите ответ промежутками. Затем перечислите целые числа в каждом промежутке и посмотрите, входят ли концы. Пример: решение (−2;4](-2; 4] содержит целые числа −1,0,1,2,3,4-1, 0, 1, 2, 3, 4, их шесть, потому что левый конец не входит, а правый входит.
  5. 5.Как решать систему неравенств?+
    Ответ:Решите каждое неравенство отдельно и отметьте решения на одной числовой оси. Решением системы будет общая часть — промежуток, который закрыт обоими решениями. Если общей части нет, у системы нет решений. Одно неравенство в системе может быть линейным, другое — квадратным или дробным.
  6. 6.Какие неравенства названы в спецификации ЕНТ для профильной математики?+
    Ответ:В разделе 04 «Неравенства» спецификация называет линейные, квадратные и рациональные неравенства, простейшие тригонометрические и простейшие иррациональные неравенства, показательные и логарифмические неравенства. В разделе 05 «Системы неравенств» — систему линейных неравенств, систему дробно-рациональных неравенств с одной переменной, систему нелинейных неравенств, системы показательных и логарифмических неравенств. На этой странице разобраны линейные, квадратные и дробно-рациональные неравенства и их системы; показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства — на отдельных страницах.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут