Какой способ выбрать: подстановку или сложение?

Если у какой-то переменной коэффициент равен $1$ или $-1$, удобнее подстановка. Если коэффициенты у обеих переменных больше единицы, быстрее сложение. Оба способа дают одно и то же решение, различается только объём вычислений.

Сколько решений может быть у системы из двух линейных уравнений?

Одно, ни одного или бесконечно много. Каждое уравнение задаёт прямую: если прямые пересекаются, решение одно; если параллельны, решений нет; если совпадают, подходит любая точка этой прямой.

Как решать систему, где есть $x^2 + y^2$ и $xy$?

Выразите эти величины через сумму и произведение: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$. Когда сумма и произведение найдены, числа $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$. Не забудьте, что пары $(x; y)$ и $(y; x)$ — разные решения.

Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?

Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.

Какие системы называет спецификация?

В теме 08 раздела 03 «Системы уравнений» спецификация НЦТ называет системы линейных и нелинейных уравнений с двумя переменными. В теме 09 она называет системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений; способы решения те же, а сначала каждое уравнение приводят к алгебраическому виду.

Как записывать ответ к системе?

Парой чисел в порядке $(x; y)$, например $(3; -1)$. Если решений несколько, перечислите все пары. Если система не имеет решений, так и напишите: решений нет.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Системы уравнений: подстановка, сложение и системы второй степени

Спецификация профильной математики называет системы линейных и нелинейных уравнений с двумя переменными; нелинейные — это, например, системы с суммой квадратов или с произведением. Здесь собраны способы подстановки и сложения, приём через сумму и произведение, число решений, примеры с разбором и задания в формате ЕНТ для подготовки.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 03 «Системы уравнений», темы 08 и 09. В наших пробных вариантах по профильной математике — задание 8; по жребию задания 9, 25 и 31–35.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 03. Системы уравнений

Тема 08. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.
Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 03. Системы уравнений
- Тема 08. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.
- Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, установление соответствия
В наших пробных вариантах — задание 8; по жребию задания 9, 25 и 31–35.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Решение системы с двумя переменными — пара чисел $(x; y)$ , которая обращает в верное равенство каждое уравнение. Ответ записывают парой в порядке $(x; y)$ .
Способ подстановки: выразите одну переменную из одного уравнения (лучше из того, где коэффициент равен $\pm 1$ ) и подставьте во второе. Получится уравнение с одной переменной.
Способ сложения: умножьте уравнения так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и сложите уравнения. Одна переменная исчезнет.
Число решений линейной системы определяется взаимным положением двух прямых: пересекаются — одно решение, параллельны — решений нет, совпадают — их бесконечно много. Например, система $x + 2y = 5$ и $2x + 4y = 3$ решений не имеет: удвоенное первое уравнение даёт $2x + 4y = 10$ , а не $3$ .
В системах с суммой $x + y$ и произведением $xy$ числа $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$ , где $s = x + y$ и $p = xy$ . Сумму квадратов находят так: $x^2 + y^2 ={}$ $(x + y)^2 - 2xy$ .
Если в системе есть разность квадратов, раскладывайте её: $x^2 - y^2 ={}$ $(x - y)(x + y)$ . Известная сумма или разность тогда сводит систему к линейной.

Как решать: по шагам

по порядку

1.Определите вид системы
Посмотрите, линейны ли оба уравнения. Если есть $x^2$ , $y^2$ или $xy$ , поищите сумму $x + y$ , разность $x - y$ или произведение $xy$ — они подскажут приём.
2.Выберите способ для линейной части
Если у какой-то переменной коэффициент $1$ или $-1$ , удобна подстановка. Если коэффициенты большие, умножьте уравнения на числа и сложите их.
3.Сведите систему к одной переменной
Подставьте выражение или сложите уравнения. Нелинейную систему сначала сделайте линейной через сумму и разность или через квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$ .
4.Решите уравнение с одной переменной
Найдите значение (или значения) оставшейся переменной. Если получилось квадратное уравнение, помните, что корней может быть два.
5.Найдите вторую переменную и запишите пары
Подставьте найденное значение в удобное уравнение. Запишите каждую пару в порядке $(x; y)$ . В симметричной системе пары $(2; 4)$ и $(4; 2)$ — разные решения.
6.Проверьте подстановкой в оба уравнения
Проверка по одному уравнению не ловит ошибку, допущенную в другом. Подставьте пару в обе части обоих уравнений.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Способ подстановки
Решите систему уравнений $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ 3x + y = 8 \end{cases}$ .
2.Способ сложения
Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x + 4y = 2 \\ 5x - 6y = 16 \end{cases}$ .
3.Сумма и сумма квадратов
Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$ .
4.Разность квадратов в системе
Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = 7 \end{cases}$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Пара чисел

(x_0; y_0)

— решение системы уравнений

\begin{cases} -x - 2y = 0 \\ 3x + 3y = -9 \end{cases}

. Установите соответствие между величинами и их значениями.

x_0

y_0

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Пара чисел

(x; y)

является решением системы уравнений

\begin{cases} x + y = 10 \\ xy = 16 \end{cases}

. Найдите

x^2 + y^2

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Решите систему уравнений:

\begin{cases} x + 4y = 29 \\ -3x - 3y = -33 \end{cases}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Решите систему уравнений:

\begin{cases} -2x + 3y = 14 \\ x + 4y = 15 \end{cases}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Пара чисел

(x; y)

является решением системы уравнений

\begin{cases} x - y = 7 \\ x^2 - y^2 = 63 \end{cases}

. Найдите

xy

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Пара чисел

(x; y)

является решением системы уравнений

\begin{cases} x - y = -11 \\ x^2 - y^2 = -77 \end{cases}

. Найдите

xy

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Подставляют выражение в то же уравнение, из которого его получили: выходит верное равенство вроде $0 = 0$ и никакой информации. Подставляйте во второе уравнение.
При сложении умножают на число только левую часть уравнения. Правая часть умножается на то же число.
Находят только одну переменную и записывают её как ответ, либо записывают пару в порядке $(y; x)$ . Ответ — пара $(x; y)$ .
Теряют вторую пару в симметричной системе: если $(2; 4)$ — решение, то $(4; 2)$ тоже.
Пишут $x^2 + y^2 = (x + y)^2$ и забывают вычесть $2xy$ .

Запомните

Решение системы — пара $(x; y)$ , подходящая обоим уравнениям.
Подстановка: выразить, подставить. Сложение: уравнять коэффициенты, сложить.
$x^2 + y^2 ={}$ $(x + y)^2 - 2xy$ и $x^2 - y^2 ={}$ $(x - y)(x + y)$ .
Числа с суммой $s$ и произведением $p$ — корни уравнения $t^2 - st + p = 0$ .
Проверяйте пару подстановкой в оба уравнения.

Вопросы и ответы

1.Какой способ выбрать: подстановку или сложение?+
Ответ:Если у какой-то переменной коэффициент равен $1$ или $-1$ , удобнее подстановка. Если коэффициенты у обеих переменных больше единицы, быстрее сложение. Оба способа дают одно и то же решение, различается только объём вычислений.
2.Сколько решений может быть у системы из двух линейных уравнений?+
Ответ:Одно, ни одного или бесконечно много. Каждое уравнение задаёт прямую: если прямые пересекаются, решение одно; если параллельны, решений нет; если совпадают, подходит любая точка этой прямой.
3.Как решать систему, где есть $x^2 + y^2$ и $xy$ ?+
Ответ:Выразите эти величины через сумму и произведение: $x^2 + y^2 ={}$ $(x + y)^2 - 2xy$ . Когда сумма и произведение найдены, числа $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$ . Не забудьте, что пары $(x; y)$ и $(y; x)$ — разные решения.
4.Можно ли на ЕНТ пользоваться калькулятором?+
Ответ:Свой калькулятор проносить нельзя, но можно пользоваться калькулятором, встроенным в программу тестирования, — так сказано в Правилах проведения ЕНТ. В наших пробных вариантах калькулятора нет, и числа подобраны так, чтобы считать на черновике.
5.Какие системы называет спецификация?+
Ответ:В теме 08 раздела 03 «Системы уравнений» спецификация НЦТ называет системы линейных и нелинейных уравнений с двумя переменными. В теме 09 она называет системы тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений; способы решения те же, а сначала каждое уравнение приводят к алгебраическому виду.
6.Как записывать ответ к системе?+
Ответ:Парой чисел в порядке $(x; y)$ , например $(3; -1)$ . Если решений несколько, перечислите все пары. Если система не имеет решений, так и напишите: решений нет.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Системы уравнений: подстановка, сложение и системы второй степени

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Определите вид системы

2.Выберите способ для линейной части

3.Сведите систему к одной переменной

4.Решите уравнение с одной переменной

5.Найдите вторую переменную и запишите пары

6.Проверьте подстановкой в оба уравнения

Примеры с решением

1.Способ подстановки

2.Способ сложения

3.Сумма и сумма квадратов

4.Разность квадратов в системе

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники