Что называет спецификация про показательные уравнения?

В спецификации НЦТ для профильной математики показательные уравнения стоят в разделе 02, теме 07 вместе с логарифмическими. Системы показательных уравнений названы в разделе 03, теме 09, показательные неравенства — в разделе 04, теме 10, системы показательных и логарифмических неравенств — в разделе 05, теме 11. Способы решения спецификация не перечисляет.

Как решить показательное уравнение, если основания разные?

Попробуйте разложить числа на простые множители и привести степени к одному основанию: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $27 = 3^3$. Если это невозможно, поделите обе части на одну из степеней или перейдите к логарифмам: $a^x = b$ даёт $x = \log_a b$.

Почему после замены нужно помнить, что $t > 0$?

Потому что $t = a^x$, а показательная функция принимает только положительные значения. Если квадратное уравнение относительно $t$ даёт корень $t \le 0$, исходное уравнение для него корней не имеет, и такой корень отбрасывают.

Как решать показательное неравенство?

Приведите обе части к степеням одного основания и сравните показатели. При основании больше единицы функция возрастает, и знак сохраняется. При основании от нуля до единицы функция убывает, и знак меняется на противоположный. Строгость неравенства сохраняется.

Как записать число в виде степени?

Разложите его на простые множители и подберите общее основание. Например, $\frac{1}{8} = 2^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$, а $0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$. Десятичные дроби сначала переведите в обыкновенные.

Чем показательное уравнение отличается от степенного?

В показательном переменная стоит в показателе, например $2^x = 8$. В степенном она в основании, например $x^2 = 4$. Свойства степеней у них одни и те же, но способы решения разные: показательное сводят к уравнению для показателей, степенное решают через корень.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Показательные уравнения и неравенства: приведение к одному основанию, замена и основание меньше единицы

Показательное уравнение содержит переменную в показателе степени. К ЕНТ нужно уметь приводить обе части к одному основанию, выносить общий множитель, делать замену и решать показательные неравенства, помня про основание меньше единицы. Здесь собраны правила, порядок решения, примеры с разбором и задания в формате ЕНТ.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 02 «Уравнения», тема 07; раздел 03 «Системы уравнений», тема 09; раздел 04 «Неравенства», тема 10; раздел 05 «Системы неравенств», тема 11. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 7, 11 и 12.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 02. Уравнения

Тема 07. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.

Раздел 03. Системы уравнений

Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.

Раздел 04. Неравенства

Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства

Раздел 05. Системы неравенств

Тема 11. Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 02. Уравнения
- Тема 07. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.
Раздел 03. Системы уравнений
- Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.
Раздел 04. Неравенства
- Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства
Раздел 05. Системы неравенств
- Тема 11. Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх
В наших пробных вариантах — по жребию задания 7, 11 и 12.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ , $a \neq 1$ принимает только положительные значения. При $a > 1$ она возрастает, при $0 < a < 1$ убывает. Поэтому, например, уравнения $5^x = -25$ и $10^x = 0$ корней не имеют.
Самый простой вид: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ . Тогда $f(x) = g(x)$ , потому что каждое значение показательная функция принимает только один раз. Если справа стоит число, запишите его как степень основания: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , $8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ .
Свойства степеней, которые нужны для преобразований: $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} ={}$ $a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $a^0 = 1$ .
Если в уравнении есть слагаемые $a^{x+k}$ и $a^x$ , вынесите общий множитель $a^x$ за скобки. Если есть $a^{2x}$ и $a^x$ , введите новую переменную $t = a^x$ и помните, что $t > 0$ .
Неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ при $a > 1$ равносильно $f(x) > g(x)$ , а при $0 < a < 1$ знак меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$ .
Если число справа нельзя записать как целую степень основания, ответ выражается через логарифм: $a^x = b$ при $b > 0$ даёт $x = \log_a b$ .

Как решать: по шагам

по порядку

1.Определите вид уравнения
Посмотрите, одно ли основание у степеней, есть ли общий множитель при $a^x$ и есть ли в записи $a^{2x}$ вместе с $a^x$ . От этого зависит способ.
2.Приведите степени к одному основанию
Разложите числа на множители и запишите каждую степень с одним и тем же основанием. Например, $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $\frac{1}{27} = 3^{-3}$ .
3.Вынесите общий множитель или сделайте замену
При степенях $a^{x+k}$ и $a^x$ вынесите наименьшую из них. При $a^{2x}$ и $a^x$ положите $t = a^x$ и решите квадратное уравнение относительно $t$ .
4.Перейдите к показателям
Когда с обеих сторон стоит одна и та же степень, приравняйте показатели. Для неравенства сначала решите, возрастает функция или убывает, и только после этого запишите знак.
5.Верните переменную и проверьте
После замены вернитесь к $x$ через $a^x = t$ . Отбросьте $t \le 0$ : такое равенство невозможно. Подставьте найденный корень в исходное уравнение, чтобы убедиться, что он подходит.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Приведение к одному основанию
Решите уравнение $4^{x+1} = 8^{x-2}$ .
2.Вынесение общего множителя
Решите уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$ .
3.Замена переменной
Решите уравнение $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 ={}$ $0$ .
4.Неравенство с основанием меньше единицы
Решите неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x-1} \ge \frac{1}{8}$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Решите уравнение:

3^{2x + 4} = \frac{1}{9}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Решите уравнение:

3^{3x - 3} = 9

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Решите неравенство:

\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 2} < 3

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Решите неравенство:

\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} < \frac{1}{4}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Найдите корень уравнения

2^{x+1} + 2^x = 24

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 4.

Отметьте все уравнения, которые не имеют корней. Верных ответов может быть от одного до трёх.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Не меняют знак неравенства, когда основание лежит между нулём и единицей. Функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ убывает, и большему значению отвечает меньший показатель.
После замены $t = a^x$ оставляют корень $t \le 0$ и пытаются найти для него $x$ . Такое равенство невозможно, этот корень отбрасывают.
Приравнивают показатели, не приведя степени к одному основанию. Равенство $2^{x} = 4^{y}$ нельзя читать как $x = y$ .
Неверно выносят множитель: $3^{x+2} - 3^x ={}$ $3^x \cdot (3^2 - 1)$ , а не $3^x \cdot 2$ . Степень $3^{x+2}$ равна $9 \cdot 3^x$ .
Теряют знак у отрицательного показателя: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , а не $5^2$ . Запишите дробь как степень до того, как приравнивать показатели.

Запомните

$a^{f(x)} ={}$ $a^{g(x)} \iff f(x) ={}$ $g(x)$ , где $a > 0$ , $a \neq 1$ .
$a^x > 0$ при любом $x$ : уравнение $a^x = b$ при $b \le 0$ корней не имеет.
При $a > 1$ знак неравенства сохраняется, при $0 < a < 1$ меняется.
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $a^{x+k} ={}$ $a^k \cdot a^x$ , $a^{2x} = (a^x)^2$ .

Вопросы и ответы

1.Что называет спецификация про показательные уравнения?+
Ответ:В спецификации НЦТ для профильной математики показательные уравнения стоят в разделе 02, теме 07 вместе с логарифмическими. Системы показательных уравнений названы в разделе 03, теме 09, показательные неравенства — в разделе 04, теме 10, системы показательных и логарифмических неравенств — в разделе 05, теме 11. Способы решения спецификация не перечисляет.
2.Как решить показательное уравнение, если основания разные?+
Ответ:Попробуйте разложить числа на простые множители и привести степени к одному основанию: $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $27 = 3^3$ . Если это невозможно, поделите обе части на одну из степеней или перейдите к логарифмам: $a^x = b$ даёт $x = \log_a b$ .
3.Почему после замены нужно помнить, что $t > 0$ ?+
Ответ:Потому что $t = a^x$ , а показательная функция принимает только положительные значения. Если квадратное уравнение относительно $t$ даёт корень $t \le 0$ , исходное уравнение для него корней не имеет, и такой корень отбрасывают.
4.Как решать показательное неравенство?+
Ответ:Приведите обе части к степеням одного основания и сравните показатели. При основании больше единицы функция возрастает, и знак сохраняется. При основании от нуля до единицы функция убывает, и знак меняется на противоположный. Строгость неравенства сохраняется.
5.Как записать число в виде степени?+
Ответ:Разложите его на простые множители и подберите общее основание. Например, $\frac{1}{8} = 2^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ , а $0{,}25 ={}$ $\frac{1}{4} ={}$ $2^{-2}$ . Десятичные дроби сначала переведите в обыкновенные.
6.Чем показательное уравнение отличается от степенного?+
Ответ:В показательном переменная стоит в показателе, например $2^x = 8$ . В степенном она в основании, например $x^2 = 4$ . Свойства степеней у них одни и те же, но способы решения разные: показательное сводят к уравнению для показателей, степенное решают через корень.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

НЦТ, Спецификация теста по предмету «Математика» для ЕНТ (для использования с 2026 года), раздел 02 «Уравнения», тема 07: Показательные уравнения. Логарифмические уравнения; раздел 03, тема 09: системы показательных уравнений; раздел 04, тема 10: показательные неравенства; раздел 05, тема 11: системы показательных и логарифмических неравенств

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Показательные уравнения и неравенства: приведение к одному основанию, замена и основание меньше единицы

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Определите вид уравнения

2.Приведите степени к одному основанию

3.Вынесите общий множитель или сделайте замену

4.Перейдите к показателям

5.Верните переменную и проверьте

Примеры с решением

1.Приведение к одному основанию

2.Вынесение общего множителя

3.Замена переменной

4.Неравенство с основанием меньше единицы

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники