Что называет спецификация про логарифмы?

В спецификации НЦТ для профильной математики логарифмы стоят в нескольких строках: «Показательные уравнения. Логарифмические уравнения» (раздел 02, тема 07), системы логарифмических уравнений (раздел 03, тема 09), логарифмические неравенства (раздел 04, тема 10) и системы показательных и логарифмических неравенств (раздел 05, тема 11). Отдельной строки про свойства логарифма в списке нет, но без них эти темы не решить.

Что такое ОДЗ и зачем её записывать?

ОДЗ — область допустимых значений: те значения переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. Для логарифма это положительность выражения под знаком и условия на основание. Преобразования, например замена суммы логарифмов на логарифм произведения, расширяют область, и без ОДЗ в ответ попадают лишние корни.

Как перейти к новому основанию?

По формуле $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ с любым подходящим $c$. На практике выбирают $c$ так, чтобы числа стали степенями одного числа. Например, $\log_9 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}$.

Как решать логарифмическое неравенство?

Запишите ОДЗ, приведите обе части к логарифмам по одному основанию и перейдите к неравенству для выражений под знаком. При основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы меняется на противоположный. Ответом служит пересечение решения с ОДЗ.

Чему равен логарифм единицы и логарифм основания?

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, потому что $a^0 = 1$. Логарифм самого основания равен единице, потому что $a^1 = a$. На этих двух значениях строятся многие упрощения в вычислительных заданиях.

Что такое десятичный логарифм?

Это логарифм по основанию 10, его записывают $\lg b$. Все свойства логарифмов выполняются и для него. Например, $\lg 1000 = 3$, потому что $10^3 = 1000$, и $\lg 0{,}01 = -2$, потому что $10^{-2} = 0{,}01$.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Логарифмы: свойства, логарифмические уравнения и неравенства

Логарифм отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число. К ЕНТ нужно уметь вычислять логарифмы по свойствам, решать логарифмические уравнения с проверкой области допустимых значений и логарифмические неравенства. Здесь собраны формулы, порядок решения, примеры с разбором и задания в формате ЕНТ.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 02 «Уравнения», тема 07; раздел 03 «Системы уравнений», тема 09; раздел 04 «Неравенства», тема 10; раздел 05 «Системы неравенств», тема 11. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 7, 11, 12 и 31–40.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 02. Уравнения

Тема 07. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.

Раздел 03. Системы уравнений

Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.

Раздел 04. Неравенства

Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства

Раздел 05. Системы неравенств

Тема 11. Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 02. Уравнения
- Тема 07. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.
Раздел 03. Системы уравнений
- Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.
Раздел 04. Неравенства
- Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства
Раздел 05. Системы неравенств
- Тема 11. Система линейных неравенств. Система дробно-рациональных неравенств с одной переменной. Система нелинейных неравенств. Системы показательных и логарифмических неравенств.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, установление соответствия, один или несколько правильных ответов
В наших пробных вариантах — по жребию задания 7, 11, 12 и 31–40.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ : $\log_a b = c$ означает $a^c = b$ . Определён он при $a > 0$ , $a \neq 1$ и $b > 0$ . Десятичный логарифм записывают $\lg b$ , то есть логарифм по основанию 10.
Особые значения и основное логарифмическое тождество: $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ , $a^{\log_a b} = b$ .
Логарифм произведения, частного и степени: $\log_a(xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y} ={}$ $\log_a x - \log_a y$ , $\log_a x^k ={}$ $k\log_a x$ . Если основание записано степенью: $\log_{a^k} b ={}$ $\frac{1}{k}\log_a b$ .
Переход к новому основанию: $\log_a b ={}$ $\frac{\log_c b}{\log_c a}$ для любого допустимого $c$ . Отсюда $\log_a b ={}$ $\frac{1}{\log_b a}$ .
ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического уравнения — это условие, что каждое выражение под знаком логарифма положительно, а основание положительно и не равно единице. Корень, не попавший в ОДЗ, отбрасывают.
Неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ равносильно $f(x) > g(x)$ , а при $0 < a < 1$ знак меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$ . В обоих случаях к полученному условию добавляют ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ .

Как решать: по шагам

по порядку

1.Запишите ОДЗ
Выпишите условия: выражение под каждым логарифмом больше нуля, основание положительно и не равно единице. Решите эти условия сразу, чтобы потом сверять с ними корни.
2.Приведите к одному основанию
Если в уравнении логарифмы по разным основаниям, перейдите к одному основанию с помощью формулы $\log_a b ={}$ $\frac{\log_c b}{\log_c a}$ или представьте основания как степени одного числа.
3.Соберите логарифмы
Сумму логарифмов замените логарифмом произведения, разность — логарифмом частного, а множитель перед логарифмом внесите в степень под знак логарифма.
4.Перейдите к уравнению без логарифма
Если слева и справа стоят логарифмы по одному основанию, приравняйте выражения под знаком. Если справа число, запишите его как логарифм: $c = \log_a a^c$ , или воспользуйтесь определением $\log_a f(x) ={}$ $c \iff f(x) ={}$ $a^c$ .
5.Решите и сверьте с ОДЗ
Решите получившееся уравнение. Подставьте каждый корень в условия ОДЗ и отбросьте те, что им не удовлетворяют. Для неравенства запишите пересечение решения с ОДЗ.
6.Обратите внимание на основание неравенства
Если основание меньше единицы, знак неравенства при переходе к выражениям под логарифмом меняется на противоположный. Если забыть об этом, получится ответ, противоположный верному.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Вычисление по определению и тождеству
Вычислите $\log_4 8 + 2^{\log_2 7}$ .
2.Уравнение с проверкой ОДЗ
Решите уравнение $\log_2(x^2 - 4) ={}$ $\log_2(3x)$ .
3.Замена переменной в логарифмическом уравнении
Решите уравнение $\log_2^2 x -{}$ $3\log_2 x +{}$ $2 ={}$ $0$ .
4.Неравенство с основанием меньше единицы
Решите неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) > -2$ .

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Установление соответствия

Задание 1.

Вычислите значения логарифмов. Установите соответствие между выражениями и их значениями.

\log_{2} 32

\log_{3} \frac{1}{3}

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один или несколько правильных ответов

Задание 2.

Какие из данных равенств верны? Укажите все верные ответы.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

Математика

Задание 1.

Вычислите:

\log_{3} 54 +{}

\log_{3} 21 -{}

\log_{3} 14

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Вычислите:

\log_{2} 14 +{}

\log_{2} 20 -{}

\log_{2} 35

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 3.

Решите уравнение:

\log_{5}(2x + 5) = 2

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 4.

Решите уравнение:

\log_{5}(3x + 17) = 1

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Применяют несуществующее свойство $\log_a(x + y) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ . Проверьте на числах: $\log_2(4 + 4) = 3$ , а $\log_2 4 + \log_2 4 ={}$ $4$ . Складывать логарифмы можно только тогда, когда под знаком стоит произведение.
Забывают проверить корни по ОДЗ. После преобразований уравнение может приобрести лишние корни, которых исходное не имело.
Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы. Функция $y = \log_a x$ убывает при $0 < a < 1$ , и большему значению функции отвечает меньший аргумент.
Путают $\log_a b$ и $\log_b a$ . Эти числа взаимно обратны: $\log_2 8 = 3$ , а $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ .
При замене $t = \log_a x$ не возвращаются к $x$ и записывают в ответ значения $t$ .

Запомните

$\log_a b ={}$ $c \iff a^c ={}$ $b$ , где $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ .
$\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ , $a^{\log_a b} = b$ .
$\log_a(xy) ={}$ $\log_a x + \log_a y$ , $\log_a x^k ={}$ $k\log_a x$ .
$\log_a b ={}$ $\frac{\log_c b}{\log_c a}$ .
ОДЗ — до решения, проверка корней — после; при основании меньше 1 знак неравенства меняется.

Вопросы и ответы

1.Что называет спецификация про логарифмы?+
Ответ:В спецификации НЦТ для профильной математики логарифмы стоят в нескольких строках: «Показательные уравнения. Логарифмические уравнения» (раздел 02, тема 07), системы логарифмических уравнений (раздел 03, тема 09), логарифмические неравенства (раздел 04, тема 10) и системы показательных и логарифмических неравенств (раздел 05, тема 11). Отдельной строки про свойства логарифма в списке нет, но без них эти темы не решить.
2.Что такое ОДЗ и зачем её записывать?+
Ответ:ОДЗ — область допустимых значений: те значения переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. Для логарифма это положительность выражения под знаком и условия на основание. Преобразования, например замена суммы логарифмов на логарифм произведения, расширяют область, и без ОДЗ в ответ попадают лишние корни.
3.Как перейти к новому основанию?+
Ответ:По формуле $\log_a b ={}$ $\frac{\log_c b}{\log_c a}$ с любым подходящим $c$ . На практике выбирают $c$ так, чтобы числа стали степенями одного числа. Например, $\log_9 27 ={}$ $\frac{\log_3 27}{\log_3 9} ={}$ $\frac{3}{2}$ .
4.Как решать логарифмическое неравенство?+
Ответ:Запишите ОДЗ, приведите обе части к логарифмам по одному основанию и перейдите к неравенству для выражений под знаком. При основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы меняется на противоположный. Ответом служит пересечение решения с ОДЗ.
5.Чему равен логарифм единицы и логарифм основания?+
Ответ:Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, потому что $a^0 = 1$ . Логарифм самого основания равен единице, потому что $a^1 = a$ . На этих двух значениях строятся многие упрощения в вычислительных заданиях.
6.Что такое десятичный логарифм?+
Ответ:Это логарифм по основанию 10, его записывают $\lg b$ . Все свойства логарифмов выполняются и для него. Например, $\lg 1000 = 3$ , потому что $10^3 = 1000$ , и $\lg 0{,}01 = -2$ , потому что $10^{-2} = 0{,}01$ .

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

НЦТ, Спецификация теста по предмету «Математика» для ЕНТ (для использования с 2026 года), раздел 02 «Уравнения», тема 07: Показательные уравнения. Логарифмические уравнения; раздел 03, тема 09: системы логарифмических уравнений; раздел 04, тема 10: логарифмические неравенства; раздел 05, тема 11: системы показательных и логарифмических неравенств

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Логарифмы: свойства, логарифмические уравнения и неравенства

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Запишите ОДЗ

2.Приведите к одному основанию

3.Соберите логарифмы

4.Перейдите к уравнению без логарифма

5.Решите и сверьте с ОДЗ

6.Обратите внимание на основание неравенства

Примеры с решением

1.Вычисление по определению и тождеству

2.Уравнение с проверкой ОДЗ

3.Замена переменной в логарифмическом уравнении

4.Неравенство с основанием меньше единицы

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники